☉江蘇省東臺(tái)中學(xué) 房 勝

橢圓是最重要的圓錐曲線之一，其知識點(diǎn)是歷年高考的必考內(nèi)容，且在高考試卷中所占的分值比重較大，在選擇題、填空題、解答題等各類題型中均有體現(xiàn)，多以中檔題為主，而高考對橢圓離心率的考查頻率更高，本文便從2017年的一道高考試題談起.

一、真題重現(xiàn)

【高考真題】已知P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)，使得∠F1PF2=120°，則橢圓的離心率取值范圍是______.

圖1

思路分析：在橢圓的焦點(diǎn)三角形中，求離心率問題時(shí)，橢圓的定義、余弦定理和基本不等式是常用工具.

解析：由于橢圓的離心率只與橢圓的形狀有關(guān)，故不妨以焦點(diǎn)在x軸為例.如圖1，設(shè)|F1P|=m，|F2P|=n，根據(jù)橢圓定義知，m+n=2a，|F1F2|=2c.

在△F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncos120°，整理得mn=4a2-4c2.而據(jù)基本不等式有mn≤當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，取等號.

點(diǎn)評：這道中檔離心率的問題，解答起來并非十分困難，只要對橢圓的定義清楚，余弦定理和基本不等式熟練掌握，問題便可解決.可是，高考時(shí)，時(shí)間精確到分分秒秒，時(shí)間便是分?jǐn)?shù)，考生必須在規(guī)定時(shí)間內(nèi)作答，所以，答題時(shí)所采用的解題方法對考生的成績也有非常大的影響.那么，此題有沒有更優(yōu)的解法呢？

我們先來思考這樣一個(gè)問題：點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)P在何處時(shí)，∠F1PF2最大？

如圖2，設(shè)|F1P|=m，|F2P|=n，∠F1PF2=θ（0≤θ＜π），根據(jù)橢圓定義知，m+n=2a，|F1F2|=2c.

圖2

在△F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncosθ，整理得.由于余弦函數(shù)在（0，π）上單調(diào)遞減，所以要使θ最大，則cosθ最小，而當(dāng)mn取到最大值時(shí)，cosθ最當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，mn取到最大值，此時(shí)點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn).因此，有如下結(jié)論：

結(jié)論1：若點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大.

有了這一結(jié)論后，我們再來看這道高考題：既然題目已知∠F1PF2=120°，說明當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，所成角應(yīng)不小于120°，如圖3，即60°≤∠F1QO＜90°.

所以sin60°≤sin∠F1QO＜sin90°，

顯然，比上面的常規(guī)解法要便捷得多.

二、結(jié)論應(yīng)用

圖4

應(yīng)用1：已知F1、F2為橢圓（a＞b＞0）上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF—→1·PF—→2=0，求橢圓的離心率的取值范圍.

解析：要使PF—→1·PF—→2=0，即∠F1PF2=90°，根據(jù)結(jié)論1，只有當(dāng)∠F1PF2達(dá)到最大時(shí)度數(shù)不小于90°，橢圓上才能存在使∠F1PF2=90°的點(diǎn)P，如圖4，所以∠F1PO≥45°，

圖5

三、結(jié)論延伸

好了，有了結(jié)論1的基礎(chǔ)后，若把結(jié)論1中的焦點(diǎn)F1、F2改成橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)A，B，那么新結(jié)論還成立嗎？

若點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A，B為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，∠APB最大？

我們不妨來證一證：

如圖6，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨在第一象限的橢圓曲線上取點(diǎn)P（x，y），過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H.

設(shè)∠APH=α，∠BPH=β，

圖6

結(jié)論2：若點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，A，B為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，∠APB最大.

對于結(jié)論2，我們再舉一例，鞏固一下：

圖7

解析：根據(jù)結(jié)論2可知，∠APB最大時(shí)，其度數(shù)應(yīng)不小于120°，即∠AQO≥60°，如圖7，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，有tan∠AQO≥tan60°，所以所以a2≥

掌握文中所述的兩個(gè)結(jié)論，對此類橢圓中的離心率問題的解決，必定水到渠成、得心應(yīng)手.J