☉廣西柳州高級(jí)中學(xué) 林 軍 吳佐慧

☉湖北大學(xué)數(shù)學(xué)系 劉合國(guó)

文［1］中的作者提出如下定理：

定理：在雙曲線所在平面內(nèi)任取一點(diǎn)（該點(diǎn)不在雙曲線和其漸近線上），過(guò)此點(diǎn)作兩條漸近線的平行線，這兩條線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，與漸近線相交于兩點(diǎn)，則雙曲線上兩點(diǎn)的連線平行于漸近線上兩點(diǎn)的連線.

文［2］從有公共交點(diǎn)曲線系的角度給出該定理的一個(gè)簡(jiǎn)證，本文將從線性變換的角度給出定理的另一種簡(jiǎn)潔證明，并對(duì)定理進(jìn)行推廣.

性質(zhì)1：線性變換把直線變成直線.

性質(zhì)2：線性變換把平行直線變成平行直線.

性質(zhì)3：線性變換保持共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)單比值不變.

性質(zhì)4：線性變換把共線的三點(diǎn)變成共線的三點(diǎn)，把不共線的三點(diǎn)變成不共線的三點(diǎn).

性質(zhì)5：線性變換把線段變成線段，并保持線段的分比不變.

性質(zhì)6：線性變換按同一比值改變平面上所有（有面積的）圖形的面積.

在文［4］中，線性變換把圓錐曲線的某些問(wèn)題簡(jiǎn)化成圓或者平面幾何的問(wèn)題，利用其方程的簡(jiǎn)潔性或圓的一些幾何性質(zhì)，化繁為簡(jiǎn)、化難為易，充分體現(xiàn)了化歸的力量.基于這樣的思想，在處理雙曲線的某些問(wèn)題時(shí)，同樣可以用線性變換把雙曲線轉(zhuǎn)換成等軸雙曲線，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化.

則通過(guò)線性變換可將雙曲線變成等軸雙曲線x′y′=1，其漸近線恰為兩坐標(biāo)軸.線段AB的斜率k變成線段A′B′的斜率k′，且k|AB|，面積

接下來(lái)我們給出文［1］定理的證明.證明：將雙曲線用線性變換（*）變成等軸雙曲線x′y′=1，原雙曲線的漸近線變成兩坐標(biāo)軸（如圖1），設(shè)點(diǎn)P（x0，y0） 是不在雙曲線x′y′=1及漸近線上的任一點(diǎn)，過(guò)P分別作漸近線的平行線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，交漸近線于E、F兩點(diǎn)，則AE（x，0），F(xiàn)（0，y），直線AB00

由于kEF=kAB，所以AB∥EF.由線性變換的性質(zhì)2知，在原坐標(biāo)系下此結(jié)論仍成立.

在以上的證明過(guò)程中，通過(guò)線性變換改變了雙曲線方程的形式，使方程變得更為簡(jiǎn)潔，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.基于這樣一種思路，我們可得到雙曲線的另外一些有趣的性質(zhì).

圖2

圖3

證明：通過(guò)線性變換（*）將雙曲線C變成等軸雙曲線x′y′=1，原雙曲線的漸近線變成兩坐標(biāo)軸，相應(yīng)的點(diǎn)變成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖3.設(shè)T′（x0，y0），則

又設(shè)線段A′B′，E′F′，P′Q′的中點(diǎn)分別為M′，N′，G′，

則各線段的中點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率別為

所以kOM′=kON′=kOG′=kOT′，故O，M′，N′，G′，T′五點(diǎn)共線，由線性變換的性質(zhì)4（線性變換把共線的三點(diǎn)變成共線的三點(diǎn)）知命題成立.

注：（1）由上述證明過(guò)程我們可以得到如下結(jié)論：過(guò)不在雙曲線及漸近線上的任一點(diǎn)P作兩漸近線的平行線交雙曲線于兩點(diǎn)A，B，則直線OP總平分線段AB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（2）因?yàn)閗A′B′+kOM′=-0，即是我們得到了文［5］的結(jié)論.

圖4

（1）當(dāng)A，B在雙曲線的同一支上時(shí)，則|AB|=|EF|-|PQ|；

（2）當(dāng)A，B在分別在雙曲線的兩支上時(shí)，則|AB|=|EF|+|PQ|.

證明：通過(guò)線性變換（*）將雙曲線C變成等軸雙曲線x′y′=1，原雙曲線的漸近線變成兩坐標(biāo)軸，相應(yīng)的點(diǎn)變成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖5.設(shè)

圖5

（1）若點(diǎn)A′，B′在雙曲線的同一支上，不妨設(shè)A′，B′均在第一象限的同一支上，且0＜x2＜x1，

圖6

圖7

證明：通過(guò)線性變換（*）將雙曲線C1，C2變成等軸雙曲線C1′：x′y′=1和C2′：x′y′=-1，漸近線變成坐標(biāo)軸，相應(yīng)的點(diǎn)變成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖8.設(shè)x1）.對(duì)圖形6的情形，則C′（x1，0），

圖8

由線性變換性質(zhì)2知，AB∥CD∥EF.

所以|A′B′|+|E′F′|=2|C′D′|，由線性變換性質(zhì)5知，

2|CD|=|AB|+|EF|.

同理可證圖7的情形：2|CD|=|EF|-|AB|.

特別地，當(dāng)A，B重合時(shí)，|EF|=2|CD|，即過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)作兩漸近線的平行線被其共軛雙曲線截得的線段長(zhǎng)是被兩漸近線截得線段長(zhǎng)的2倍.

圖9

圖10

證明：通過(guò)線性變換（*）將雙曲線C1，C2變成等軸雙曲線C1′：x′y′=1和C2′：x′y′=-1，漸近線變成坐標(biāo)軸，相應(yīng)的點(diǎn)變成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖10.設(shè)

證明：通過(guò)線性變換（*）將雙曲線C1，C2變成等軸雙曲線C1′：x′y′=1和C2′：x′y′=-1，相應(yīng)的點(diǎn)變成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖11.在C1上任取一點(diǎn)所以.由線性變換性質(zhì)6知，

圖11

參考文獻(xiàn)：

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