楊祺帆

（鞏義市第二高級(jí)中學(xué) 河南鞏義 451200）

概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用是非常廣泛的例如對(duì)于一些不確定事物的分析和預(yù)測(cè)、對(duì)于一些確定性事物的結(jié)果統(tǒng)計(jì)，幾乎用到概率方面的知識(shí)。在高中階段的數(shù)學(xué)概率知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生要善于利用自己的錯(cuò)題進(jìn)行技巧總結(jié)和方法分析，為進(jìn)一步提高自己實(shí)際應(yīng)用能力打好基礎(chǔ)。[1]

一、概念的錯(cuò)誤界定

在解決概率的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常常會(huì)因?yàn)轭}目的概念解讀錯(cuò)誤而做錯(cuò)題目，這也是概率解題過(guò)程中常常出現(xiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型。例如，學(xué)生常常將“非等可能”與“等可能”搞混。有這樣一道題目：同時(shí)拋擲兩枚色子，求所得的點(diǎn)數(shù)總和為6的概率。學(xué)生很可能被點(diǎn)數(shù)總和為6這一語(yǔ)言所誤導(dǎo)，因?yàn)閽仈S兩枚色子的情況下出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)2、3、4…12等一共11種事件類(lèi)型，而所得點(diǎn)數(shù)總和為六的情況只占11種類(lèi)型中的一種基本事件，他們認(rèn)為概率p等于1/11。但事實(shí)上基本事件的類(lèi)型不止有11種，例，點(diǎn)數(shù)之和為2的只有（1,1）情況，但是點(diǎn)數(shù)之和為六的卻有（1，5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1）共五種形式，因此，實(shí)際上基本事件的類(lèi)型一共有6x6等于36種形式，并且這36種事件的發(fā)生概率是相，兩色子點(diǎn)數(shù)總和為六的概率為P等于5/36。再比如，學(xué)生常常將對(duì)立事件與互斥事件的概念搞混。已知有紅色，黑色，白色和藍(lán)色四種顏色的紙牌，隨機(jī)分給甲乙丙丁四位學(xué)生，每位學(xué)生只能得到一張紙牌，請(qǐng)問(wèn)事件1甲分得紅牌的事件與事件2乙分得紅牌的事件是對(duì)立事件還是互斥事件呢？很多學(xué)生認(rèn)為答案是對(duì)立事這是因?yàn)?。這是因?yàn)樗麄儧](méi)有將對(duì)立事件和互斥事件的概念明確，實(shí)際上，2事件一旦對(duì)立，則必定是互斥事件，但是互斥事件卻未必是對(duì)立事件，并且互斥的概念適用于多個(gè)事件，但是對(duì)立的概只適用于兩個(gè)事件。兩個(gè)世界互斥，則說(shuō)明兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，可以只發(fā)生其中的一個(gè)，但可以?xún)烧叨疾话l(fā)生，但兩事件對(duì)立，則表示它們有且僅有一個(gè)事件會(huì)發(fā)生。在這道題目中，甲分得紅牌和乙分得紅牌，可以?xún)烧甙l(fā)生一個(gè)也可以一個(gè)都不發(fā)生，因此他們兩的事件因是互斥但不對(duì)立的。[2]

二、順序的錯(cuò)誤界定

有序事件和無(wú)序事件也是高中數(shù)學(xué)階段概率題目常常出現(xiàn)的一種問(wèn)題類(lèi)型。例如這樣一道題目已，其中存在3件次品，將這10件產(chǎn)品一件一件不放回地進(jìn)行抽取，抽取4件，求抽取的2件樣品中恰好有1次次品的概率。學(xué)生會(huì)認(rèn)為第一次抽取的方法有10種，第二次有9種，第三次有8種第四次有7種，因此一共有10×9×8×7個(gè)基本事件。設(shè)從4件樣品中恰好取出1件次品的事件，因此事件A一共有種取法，最終答案為P=1/48.分析這一道題目，需要用到排列的概念，即考慮到抽取的順序，但是在上述的計(jì)算過(guò)程中卻只用了組合的方法，沒(méi)有考慮到抽取的順序。這就是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有了解到在什么情景下需要使用組合的方式在什么情景下需要使用排列的方式。在這一題目中有兩種解題的思路，一種是采取排列的方式，另外一種是采取組合的方法。用排列的方法解決問(wèn)題既，任意取出四個(gè)含有個(gè)基本事件，其中又包含了個(gè)基本事件，因此，最終得到的答案為P(A)等于而采用組合的方法，學(xué)生可以將不放回的抽取4件轉(zhuǎn)化為一次性抽取4件，因此，整個(gè)事件有個(gè)基本事件，而A中又包含個(gè)基本事件，因此，最終得到的答案為P(A)等于由此可見(jiàn)，學(xué)生在解決排列組合問(wèn)題的時(shí)候，必須要分清排列和組合之間的區(qū)別，這兩者的區(qū)別就是是否按照順序排列。排列是從n個(gè)不同的元素中取幾個(gè)不重復(fù)的元素，是按照順序進(jìn)行排列的。而組合則是從n個(gè)不同的元素中去幾個(gè)不重復(fù)的元素組成一個(gè)子集，但不考慮子集中各個(gè)元素的順序，只要掌握了這一點(diǎn)，學(xué)生就能夠順利的解決排列問(wèn)題和組合問(wèn)題。

三、錯(cuò)誤的辨認(rèn)界定

在概率題目中常常會(huì)出現(xiàn)可辨認(rèn)的球，不可辨認(rèn)的球，相同顏色的球，不同顏色的球等等，這些信息其實(shí)都是混淆學(xué)生的概念的，不論顏色和大小，學(xué)生只需要根據(jù)這些球是否可以辨認(rèn)進(jìn)行題目的解答。例如，已知有n個(gè)大小和形狀都相同的球放入到m個(gè)編號(hào)不同的盒子中,求事件A:某指定的n個(gè)盒子中恰好有一個(gè)球的概率。這一題目是概率題中難度較高的，很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為這種可能的結(jié)果數(shù)為其中包含有n！種結(jié)果，因此不可否認(rèn)的是，學(xué)生的這種解題思路是正確的，但是解法確實(shí)不全面的，因?yàn)轭}目并沒(méi)有告知求事，可辨認(rèn)的還是不可辨認(rèn)的。如果這些小球是不可辨認(rèn)的，那么答案則是正確的；如果小球事可辨認(rèn)的，那么答案則是錯(cuò)誤的。為了便于學(xué)生的理解，可以采用圖示的方法，用正方形表示盒子，用圓表示求，將盒子按照號(hào)碼排列起來(lái)，如圖所示。

這樣的m個(gè)盒子有n+1個(gè)隔斷，然后將n個(gè)球任意的放入m個(gè)盒子中，每一個(gè)盒子不用限制球的數(shù)量，可以按照任意的順序排列，可以去別的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為也就是說(shuō)交n個(gè)不可辯的球放入指定的m個(gè)盒子中使得每一個(gè)盒子剛好只有一個(gè)球的方法，只有一種，因此事件A只包含一個(gè)結(jié)果，最終的答案為

由此可見(jiàn)，在高中數(shù)學(xué)的概念習(xí)題，解題過(guò)程中，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)普遍在于概念的區(qū)分，因此，作為高中生，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要注重對(duì)于基本概念的理解，分析自己錯(cuò)題產(chǎn)生的原因，實(shí)現(xiàn)變廢為寶，在錯(cuò)題中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。