牛大田，袁學(xué)剛，張 友

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116650)

瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding在其名著《Encounter with Mathematics》中說(shuō)：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多?！痹谧匀豢茖W(xué)、航空航天、工程技術(shù)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域中，涉及到的問(wèn)題要么是線性問(wèn)題，要么是非線性問(wèn)題。然而，多數(shù)非線性問(wèn)題最終也要約化為線性問(wèn)題，進(jìn)而借助線性代數(shù)的知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行數(shù)值求解?！熬€性代數(shù)”作為理、工、經(jīng)、管等專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，學(xué)生對(duì)線性代數(shù)知識(shí)的掌握、理解程度和應(yīng)用能力，直接決定了后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，對(duì)畢業(yè)后從事的工作也將產(chǎn)生重要的影響[1]。本文從“線性代數(shù)”課程的教與學(xué)中存在的問(wèn)題入手，對(duì)該課程的教材知識(shí)體系建設(shè)、教學(xué)方法和手段等方面進(jìn)行了一些有益的探索和創(chuàng)新。

1 “線性代數(shù)”教與學(xué)中的問(wèn)題

1.1 教學(xué)中遇到的問(wèn)題

(1)教材的知識(shí)體系問(wèn)題。目前，國(guó)內(nèi)的“線性代數(shù)”教材基本采用兩種知識(shí)體系：一是以矩陣為主線，一是以方程組為主線[2]。目前使用最廣泛的教材以矩陣為主線，多數(shù)教材的第一章“行列式”的內(nèi)容都是基于“逆序數(shù)”進(jìn)行定義和證明的，使初入大學(xué)的學(xué)生摸不著頭緒，苦不堪言，從互聯(lián)網(wǎng)上可以看到大部分學(xué)生對(duì)該類知識(shí)體系的吐槽。因此，針對(duì)不同層次的學(xué)生，“線性代數(shù)”教材到底采用哪一種體系，各教學(xué)內(nèi)容之間的先后順序該如何安排，哪些內(nèi)容需要重點(diǎn)講解，哪些內(nèi)容可以一帶而過(guò)，這都是需要研究的問(wèn)題。

(2)教學(xué)方法和手段問(wèn)題。“線性代數(shù)”課程涉及到大量的計(jì)算、推導(dǎo)，教師的板書(shū)量很大。如果全用板書(shū)，教師在黑板上一直“寫(xiě)寫(xiě)寫(xiě)”，不僅時(shí)間不夠用，缺少必要的講解，學(xué)生也提不起興趣?，F(xiàn)代化多媒體教學(xué)是對(duì)教學(xué)方法與手段的重要補(bǔ)充。但是，如果完全用多媒體教學(xué)，學(xué)生的思維根本跟不上教師的翻頁(yè)速度，解題的連貫性也很難銜接起來(lái)，學(xué)習(xí)效果必然很差。因此，多媒體教學(xué)資源該如何利用、多媒體與板書(shū)的比例該如何協(xié)調(diào)等，一直都是該課程教學(xué)過(guò)程中需要解決的問(wèn)題[3]。

(3)理論和實(shí)際相結(jié)合問(wèn)題?！熬€性代數(shù)”是一門實(shí)用性非常強(qiáng)的課程，經(jīng)濟(jì)、金融、計(jì)算機(jī)、工程領(lǐng)域等相關(guān)學(xué)科，都需要大量的線性代數(shù)知識(shí)[4]。但是，在目前的教材中，關(guān)于各知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用涉及的很少，甚至根本不涉及。同時(shí)，大部分教師都是數(shù)學(xué)專業(yè)出身，自身所經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過(guò)程就是重理論、輕應(yīng)用，且自身科研的方向很少能涉及到線性代數(shù)知識(shí)的具體應(yīng)用背景和應(yīng)用方式，課堂上自然也講不出來(lái)。教材中不提應(yīng)用，教師又講不出應(yīng)用，學(xué)生每天都是推導(dǎo)、證明、計(jì)算，慢慢就會(huì)喪失學(xué)習(xí)該課程的興趣。因此，如何在講授理論知識(shí)的同時(shí)，恰當(dāng)?shù)貪B透其具體應(yīng)用，是十分重要的研究課題。

1.2 學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題

(1)思維方式的跨越問(wèn)題。幾乎所有的高校都將“線性代數(shù)”課程安排在大學(xué)一年級(jí)開(kāi)設(shè)。但是，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”時(shí)，還未完成從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的思維跨越，總是面臨著許多困難，如學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”時(shí)要用矩陣、向量的視角來(lái)看待問(wèn)題，但是學(xué)生在初高中時(shí)的思維習(xí)慣集中于數(shù)量之間的關(guān)系，因此一接觸到“線性代數(shù)”時(shí)，往往弄不清楚教材中的符號(hào)或量到底是數(shù)量、向量還是矩陣，學(xué)習(xí)效果很差，甚至放棄該課程的學(xué)習(xí)。

(2)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的銜接問(wèn)題。與“高等數(shù)學(xué)”(或“微積分”)課程相比，“線性代數(shù)”的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較少，但是各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系非常緊密，如矩陣為方陣時(shí)，方程組有唯一解、行列式不為零、列向量組線性無(wú)關(guān)、矩陣可逆、特征值全不為零，這些結(jié)論都是等價(jià)關(guān)系，但分布于不同的章節(jié)，學(xué)生往往看不到這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。當(dāng)然，線性代數(shù)知識(shí)是抽象化、公理化的表述，這一點(diǎn)自然也會(huì)造成學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的困擾。

(3)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)問(wèn)題。大多數(shù)高等院校都面臨同一個(gè)問(wèn)題：招生生源分布于不同地區(qū)，教育資源和水平不均衡，學(xué)生的基礎(chǔ)參差不齊。尤為突出的是民族院校，要求少數(shù)民族學(xué)生占在校生的60%以上。這些學(xué)校的很多學(xué)生來(lái)自于民族地區(qū)，甚至有些學(xué)生高考時(shí)的試卷和答題方式都使用的是本民族語(yǔ)言，這也為“線性代數(shù)”課程的教學(xué)帶來(lái)了一些困難。

2 “線性代數(shù)”課程的探索和創(chuàng)新

2.1 教材創(chuàng)新

編寫(xiě)適合學(xué)生學(xué)習(xí)的“線性代數(shù)”教材，可以有效地提高該課程的教學(xué)效果。在綜合國(guó)內(nèi)外“線性代數(shù)”教材內(nèi)容和體系的基礎(chǔ)上，結(jié)合普通高校學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，編寫(xiě)了具有自身特色的“線性代數(shù)”教材(已由科學(xué)出版社出版)[5]，并被列入普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材、大學(xué)數(shù)學(xué)漢英對(duì)照類規(guī)劃教材。

(1)知識(shí)構(gòu)架創(chuàng)新。線性代數(shù)的發(fā)展是從研究線性方程組的解開(kāi)始，逐步發(fā)展和完善的。與傳統(tǒng)的“線性代數(shù)”教材知識(shí)體系不同，以線性方程組為主線，把行列式、矩陣、向量作為研究線性方程組的一種工具來(lái)學(xué)習(xí)，變抽象為具體，便于學(xué)生理解課程的基本概念和基本原理，使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)有整體的把握。將初等變換作為貫穿全書(shū)的計(jì)算工具，強(qiáng)調(diào)初等變換是矩陣的同秩變換、向量組的同線性關(guān)系變換、方程組的同解變換，將線性代數(shù)各章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)非常緊密地聯(lián)系在一起。這樣的體系結(jié)構(gòu)，符合線性代數(shù)的發(fā)展歷史，同時(shí)也可以逐步地、有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量思維到矩陣、向量思維的轉(zhuǎn)化。

(2)內(nèi)容設(shè)計(jì)創(chuàng)新。教材內(nèi)容設(shè)計(jì)上做到深入淺出，簡(jiǎn)明實(shí)用，淡化理論證明，努力做到在定義或定理之前都給出簡(jiǎn)單、具體的引例。此外，在章節(jié)和內(nèi)容的安排上也做了精心設(shè)計(jì)，在保證教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生考研需要的同時(shí)，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了必要的刪減，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的引入和聯(lián)系進(jìn)行了重新編排，例如行列式一章，并沒(méi)有涉及逆序數(shù)這一概念，而是從二階行列式推廣到三階、n階行列式時(shí)，直接引入行列式按行、按列展開(kāi)的計(jì)算公式，后續(xù)行列式的所有性質(zhì)，都通過(guò)展開(kāi)公式進(jìn)行推導(dǎo)，并對(duì)例題進(jìn)行了分類，在提供例題解答的同時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)各類型行列式的計(jì)算方法。此外，教材的每節(jié)都安排思考題，每章都配備習(xí)題和補(bǔ)充題。思考題便于加深學(xué)生對(duì)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的理解；習(xí)題難度中等，面向所有學(xué)生；補(bǔ)充題則是面向考研或?qū)€性代數(shù)有更高要求的學(xué)生設(shè)計(jì)的。通過(guò)這種安排，以滿足不同層次和需求的學(xué)生的需要。

(3)雙語(yǔ)改革創(chuàng)新。目前，不僅社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等方面逐步進(jìn)入國(guó)際化趨勢(shì)，科學(xué)與技術(shù)方面也面臨著國(guó)際化的需求。只有具有良好的外語(yǔ)基礎(chǔ)和專業(yè)基礎(chǔ)，才能夠及時(shí)追蹤和掌握國(guó)際學(xué)術(shù)發(fā)展動(dòng)態(tài)。因此，雙語(yǔ)教學(xué)有其必要性和必然性。但是，在雙語(yǔ)教學(xué)過(guò)程中，并不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地采用英語(yǔ)授課或全英文教材這種傳統(tǒng)方式，沒(méi)有專業(yè)知識(shí)體系作為背景支撐，雙語(yǔ)教學(xué)步履維艱，學(xué)生的學(xué)習(xí)很難達(dá)到理想效果。與傳統(tǒng)雙語(yǔ)教材相比，首次采用漢英對(duì)照的方式編寫(xiě)，內(nèi)容詳實(shí)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)知識(shí)的同時(shí)，又能學(xué)習(xí)到專業(yè)詞匯、專業(yè)語(yǔ)句良好的基礎(chǔ)。

2.2 教學(xué)方式、方法、手段創(chuàng)新

(1)在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)各知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用背景?！熬€性代數(shù)”是一門實(shí)用性非常強(qiáng)的課程，精心準(zhǔn)備了包括投入產(chǎn)出模型、種群模型、幾何變換等大量的例子，通過(guò)這些例子引入線性方程組、矩陣、行列式、特征值與特征向量等教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)這種方式使學(xué)生掌握各知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用背景，讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)這些知識(shí)不僅僅是理論上的需要，而且確實(shí)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)各領(lǐng)域都有應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)效果。

(2)在教學(xué)中貫徹初等變換這一主線。初等變換是“線性代數(shù)”各章節(jié)計(jì)算相關(guān)內(nèi)容的主要方法。在授課時(shí)從行列式部分就開(kāi)始引入初等變換的概念，并一直貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程。通過(guò)初等變換這一主線，將行列式、線性方程組、矩陣、向量及向量組的關(guān)系、二次型、特征值與特征等教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。通過(guò)這一方式，便于學(xué)生掌握各知識(shí)點(diǎn)、各類題型的計(jì)算方法和技巧，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深對(duì)理論知識(shí)的掌握和理解。

(3)在教學(xué)中堅(jiān)持講思路講方法講思維方式。通過(guò)集體備課，細(xì)致分析各例題，在授課時(shí)并不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地將答案告訴學(xué)生，而是從問(wèn)題出發(fā)，一步步地去分析針對(duì)已知條件該采用哪種方法，為什么采用這種方法，各解題步驟間的聯(lián)系和邏輯順序。通過(guò)這種方式，使學(xué)生在解決線性代數(shù)問(wèn)題和其它學(xué)科領(lǐng)域的問(wèn)題時(shí)，不是手足無(wú)措，而是能自己分析、判斷和使用合適的方法進(jìn)行求解，提高學(xué)生的綜合能力。

(4)在教學(xué)中貫徹算法設(shè)計(jì)分析的思想?！熬€性代數(shù)”與數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域密切相關(guān)[6]。將課程設(shè)置在大一下學(xué)期，此時(shí)學(xué)生已學(xué)習(xí)了C、VB等編程語(yǔ)言，具備了一定的編程基礎(chǔ)。授課時(shí)，在講解完一些計(jì)算題的計(jì)算步驟后，嘗試讓學(xué)生自己編程實(shí)現(xiàn)初等變換并進(jìn)一步將矩陣化為要求的結(jié)構(gòu)形式，并通過(guò)讓學(xué)生數(shù)值求解不同規(guī)模的線性代數(shù)問(wèn)題，觀察計(jì)算時(shí)間與問(wèn)題規(guī)模之間的關(guān)系。通過(guò)這些嘗試，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)值算法設(shè)計(jì)和分析能力，使學(xué)生在掌握理論知識(shí)的同時(shí)，提高對(duì)算法方面的重視。

(5)在教學(xué)中貫徹雙語(yǔ)教學(xué)改革。大連民族大學(xué)一直鼓勵(lì)和推進(jìn)各專業(yè)、各課程的語(yǔ)碼轉(zhuǎn)換式雙語(yǔ)教學(xué)模式改革。編寫(xiě)了漢英對(duì)照式雙語(yǔ)教材，并通過(guò)板書(shū)和多媒體課件演示相結(jié)合的方式，與學(xué)生在專業(yè)知識(shí)以及雙語(yǔ)學(xué)習(xí)方面進(jìn)行實(shí)時(shí)的互動(dòng)交流。另外、學(xué)校層面也每年舉辦學(xué)生英語(yǔ)論文、英文翻譯等比賽，引導(dǎo)大多數(shù)同學(xué)參加，并評(píng)定等級(jí)，給予一定的物質(zhì)和榮譽(yù)獎(jiǎng)勵(lì)。通過(guò)學(xué)校、老師、學(xué)生三方面的積極參與，提高學(xué)生的英漢互譯、英文閱讀和英文寫(xiě)作能力。

3 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)“線性代數(shù)”過(guò)程中存在著一些問(wèn)題和困難，在該課程教學(xué)改革中做了一些有益的探索，在教材編寫(xiě)和教學(xué)方法、方式、手段的改革方面進(jìn)行了有自己特色的創(chuàng)新性的實(shí)踐，取得了較好的效果。當(dāng)然，隨著時(shí)代的發(fā)展，課程建設(shè)的改革與創(chuàng)新還任重道遠(yuǎn)，還會(huì)與時(shí)俱進(jìn)，在教學(xué)過(guò)程中以提高教學(xué)質(zhì)量為前提，不斷進(jìn)行改革創(chuàng)新。

[1] 韓冰,李潔,楊威,等.線性代數(shù)教學(xué)改革中的幾點(diǎn)探討[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013,16(4):72-74.

[2]周玲.“線性代數(shù)”課程教學(xué)點(diǎn)滴談[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2005,21(4):30-32.

[3]孫艷.“線性代數(shù)”課程教學(xué)改革的實(shí)踐與思考[J].長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版), 2007,20(1):42-43.

[4]王海俠,孫和軍,王青云.改進(jìn)線性代數(shù)教學(xué)方法的幾點(diǎn)想法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010,13(6):13-15.

[5]牛大田,袁學(xué)剛,張友.線性代數(shù)(漢英雙語(yǔ)版)[M]. 北京：科學(xué)出版社,2017.

[6]陳懷琛.線性代數(shù)要與科學(xué)計(jì)算結(jié)成好伙伴[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2010,26(增刊1):28-34.