一、選擇題

1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.B 11.C 12.A 13.A 14.C 15.B 16.C 17.B 18.A 19.C 20.D 21.B 22.A 23.D 24.B 25.B 26.D 27.B 28.C 29.D 30.C 31.D 32.D 33.D 34.C 35.D 36.C 37.D 38.A 39.A

二、填空題

三、解答題

54.因?yàn)閒(x)=x3+ax2+bx+1,所以f'(x)=3x2+2ax+b。

令x=1,得f'(1)=3+2a+b。又f'(1)=2a,所以3+2a+b=2a,b=-3。

令x=2,得f'(2)=12+4a+b。又f'(2)=-b,所以12+4a+b=-b。

55.(1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=x3-32x2+3x+1,則f'(x)=3x2-62x+3。

令f'(x)=0,解得x1=2-1,x2=2+1。

當(dāng)x∈(-∞,2-1)時(shí),f'(x)＞0,f(x)在(-∞,2-1)上是增函數(shù);

當(dāng)x∈(2-1,2+1)時(shí),f'(x)＜0,f(x)在(2-1,2+1)上是減函數(shù);

當(dāng)x∈(2+1,+∞)時(shí),f'(x)＞0,f(x)在(2+1,+∞)上是增函數(shù)。

所以f(x)在(2,+∞)上是增函數(shù),于是當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),f(x)≥f(2)≥0。

56.(1)由題意知x∈(0,+∞)。因?yàn)閒(x)=a(x-5)2+6lnx,所以f'(x)=2a(x-5)+。

令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a。

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-16a=(6-8a)(x-1)。

令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3。

當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí),f'(x)＞0,故f(x)在(0,2)和(3,+∞)上為增函數(shù);

當(dāng)2＜x＜3時(shí),f'(x)＜0,故f(x)在(2,3)上為減函數(shù)。

57.(1)因?yàn)閒(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),所以-m2+2m+3＞0。故m2-2m-3＜0,解得-1＜m＜3。又m∈Z,所以m=0,1,2。

而m=0或2時(shí),f(x)=x3不是偶函數(shù),m=1時(shí),f(x)=x4是偶函數(shù),所以f(x)=x4。

很顯然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根。

為使g(x)僅在x=0處有極值,必須x2+3ax+9≥0恒成立,即有Δ=9a2-36≤0。

解不等式得a∈[-2,2]。

這時(shí),g0()=-b是唯一極值,所以a∈[-2,2]。

58.(1)由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。

因?yàn)閍＞2,所以a-1＞1。

故當(dāng)1＜x＜a-1時(shí)f'(x)＜0;

當(dāng)0＜x＜1或x＞a-1時(shí)f'(x)＞0。

故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,a-1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,1)和(a-1,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由a=1知g(x)=x3+x2-2x,所以Sn=n3+n2-2n。

綜上,不等式得證。

(2)令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(1,+∞)。

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F'(x)＜0,所以F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減。

故當(dāng)x＞1時(shí),F(x)＜F(1)=0,即當(dāng)x＞1時(shí),f(x)＜x-1。

(3)由(2)知,當(dāng)k=1時(shí),不存在x0＞1滿足題意。

當(dāng)k＞1時(shí),對(duì)于x＞1,有f(x)＜x-1＜k(x-1),則f(x)＜k(x-1),從而不存在x0＞1滿足題意。

當(dāng)k＜1時(shí),令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈ (1,+∞)。

由G'(x)=0,得:

-x2+(1-k)x+1=0。

60.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3-1,f(2)=3。

f'(x)=3x2-3x,f'(2)=6,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為:

y-3=6(x-2),即y=6x-9。

(2)f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1)。令f'(x)=0,解得x=0或x=

當(dāng)x∈ (1,x2)時(shí),G'(x)＞0,故G(x)在[1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增。

從而當(dāng)x∈ (1,x2)時(shí),G(x)＞G(1)=0,即f(x)＞k(x-1)。

綜上,k的取值范圍是(-∞,1)。

以下分兩種情況討論:

當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如表1:

表1

解不等式組得-5＜a＜5。

因此,0＜a≤2。

當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如表2:

表2

綜合①②,a的取值范圍為0＜a＜5。