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        構(gòu)造常數(shù)函數(shù)秒殺一類抽象函數(shù)題

        2018-04-09 09:15:27廣東省深圳市鹽田高級(jí)中學(xué)丁小飛
        關(guān)鍵詞:定義解題研究

        ■廣東省深圳市鹽田高級(jí)中學(xué) 丁小飛

        高考或模擬考試中,在選擇題中經(jīng)常用抽象函數(shù)進(jìn)行壓軸。這樣的題對(duì)函數(shù)知識(shí)、性質(zhì)等要求較高,特別是構(gòu)造函數(shù)和求導(dǎo)、利用單調(diào)性解題,給很多同學(xué)帶來困擾。有很多專家對(duì)此進(jìn)行了詳細(xì)的研究并給出了詳細(xì)的分析。但筆者近期在思考,因?yàn)槭切☆},有重結(jié)果不重過程之特點(diǎn),能不能小題小解?于是帶著這種思路去探索,試圖找出簡便的解答。筆者通過研究,發(fā)現(xiàn)有一類抽象函數(shù)題,在構(gòu)造函數(shù)中,直接構(gòu)造成常數(shù)函數(shù)可以快速準(zhǔn)確解答。而這種構(gòu)造簡易方便,各個(gè)層次的同學(xué)都能掌握。在此以《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2017年第5期(上)刊登的《一道??歼x擇壓軸題的分析與探究》的題型與變式研究來探究這種解法,以供參考。

        1.原文試題、變式再現(xiàn)與研究

        (1)原文試題:

        定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>1且f(x)+f'(x)>1,f(0)=5,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)-1]>ln4-x的解集為()。

        A.(0,+∞)

        B.(-∞,0)∪(3,+∞)

        C.(-∞,0)∪(0,+∞)

        D.(-∞,0)

        原文給出了詳細(xì)的分析和解答:

        故exf(x)-ex>4,令h(x)=exf(x)-ex-4,則h'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]。

        因?yàn)閒(x)+f'(x)>1,所以h'(x)=ex[f(x)+f'(x)-1]>0。

        所以h(x)單調(diào)遞增,又f(0)=5,所以h(0)=e0f(0)-e0-4=0。

        故h(x)=exf(x)-ex-4>0=h(0)的解集為(0,+∞)。故答案為A。

        對(duì)于此題,筆者通過研究,發(fā)現(xiàn)在構(gòu)造函數(shù)中,直接構(gòu)造成常數(shù)函數(shù)可以快速準(zhǔn)確解答,而且構(gòu)造的常數(shù)函數(shù)中的常數(shù)就是題干中給出等式中的函數(shù)值。請(qǐng)看筆者的妙解:

        根據(jù)筆者研究的結(jié)論,可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=5,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)f(x)=5滿足題干中所有條件:定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>1且f(x)+f'(x)>1,f(0)=5,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

        于是可以用它來解題,ln[f(x)-1]>ln4-x的解集可用構(gòu)造函數(shù)來解答。

        因?yàn)閒(x)=5,所以ln[f(x)-1]>ln4-x可化為ln[5-1]>ln4-x,即ln4>ln4-x,則0>-x,x>0。所以其解集為(0,+∞)。故答案為A。

        由此解答既快又準(zhǔn),同學(xué)們也容易掌握,豈是一“妙”字了得!

        也許有些讀者認(rèn)為是碰巧,這種方法會(huì)不會(huì)恰好只能適用于這一題。筆者嘗試著解答,發(fā)現(xiàn)這種解法還能解答這篇文章中的變式或與變式類似的題目。

        (2)原文中變式1:

        定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>-1且2f(x)+f'(x)+2>0,f(0)=e-1,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)+1]>1-2x的解集為()。

        A.(0,+∞)

        B.(-∞,0)∪(3,+∞)

        C.(-∞,0)∪(0,+∞)

        D.(-∞,0)

        筆者的妙解:

        構(gòu)造函數(shù)f(x)=e-1。(滿足題干中所有的條件:定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>-1且2f(x)+f'(x)+2>0,f(0)=e-1,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))

        則不等式ln[f(x)+1]>1-2x可化為ln[e-1+1]>1-2x,即lne>1-2x,即0>-2x。馬上可以得出其解集為(0,+∞),答案為A。

        (3)原文中變式2:

        定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>4且3f(x)+f'(x)<12,f(1)=4+,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)-4]>2-3x的解集為()。

        A.(1,+∞)

        B.(-∞,1)∪(2,+∞)

        C.(-∞,1)∪(1,+∞)

        D.(-∞,1)

        如果把小于12改成大于12,筆者的解法也是可以求解的。

        新變式:定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>4且3f(x)+f'(x)>12,f(1)=4+,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)-4]>2-3x的解集為()。

        A.(1,+∞)

        B.(-∞,1)∪(2,+∞)

        C.(-∞,1)∪(1,+∞)

        (4)原文中變式3:

        定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>2且4f(x)-f'(x)-8<0,f(-)=3,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)-2]>1+4x的解集為()。

        同理,如果此變式中的小于0改成大于0,運(yùn)用此法也是可以求解的。

        新變式:定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>2且4f(x)-f'(x)-8>0,f(-)=3,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)-2]>1+4x的解集為()。

        新變式的解答:構(gòu)造函數(shù)f(x)=3。(滿足題干中所有的條件:f(x)>2且4f(x)-f'(x)-8>0,f(-)=3,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))

        則所求的解集與ln[3-2]>1+4x的解集相同,即0>1+4x,解集為

        是不是有秒殺之感?

        這種構(gòu)造其實(shí)是碰巧中有必然,何種題型可以構(gòu)造呢?原文中最后“試題的解題規(guī)律”也是可應(yīng)用此種解法的題型:

        定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>-a且bf(x)-f'(x)+ab>0,f(-)=1-a,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式ln[f(x)+a]>bx+c的解集為____。

        解析:此種題型恰好能構(gòu)造f(x)=1-a,滿足題干中所有的條件:定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>-a且bf(x)-f'(x)+ab>0,f(-)=1-a,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。所以不等式ln[f(x)+a]>bx+c的解集與不等式ln[1-a+a]>bx+c的解集相同,與0>bx+c的解集相同。

        2.啟示

        數(shù)學(xué)是神奇的,里面隱藏著美妙的思維。多去思考探究,往往能有意外的驚喜,不但可以幫助我們解決“難題”,而且可以帶領(lǐng)我們走進(jìn)數(shù)學(xué)的美妙殿堂,讓我們體會(huì)到數(shù)學(xué)的美。

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