楊松堯

(遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧 錦州　121000)

在鐵路線路的設(shè)計(jì)過程中，緩和曲線地段內(nèi)的內(nèi)外側(cè)加寬值計(jì)算基本采用以下兩種方法：一是先計(jì)算圓曲線范圍內(nèi)的加寬值，然后將這個(gè)加寬值沿緩和曲線的長度均勻分?jǐn)?，這種方法運(yùn)算簡單,但是計(jì)算值精度并不高；二是采用圖形法，即在AutoCAD中繪制出緩和曲線的線型和列車車體位置，利用CAD系統(tǒng)的測(cè)量命令得到所需的加寬值，雖然這種方法計(jì)算值的精度高，但是實(shí)際運(yùn)算非常復(fù)雜。隨著對(duì)客運(yùn)專線和磁浮鐵路研究的深入，在客運(yùn)站內(nèi)站線的曲線也需要配置緩和曲線，所以沿到發(fā)線設(shè)置高站臺(tái)時(shí)需要對(duì)緩和曲線范圍內(nèi)的建筑限界加寬值進(jìn)行詳細(xì)測(cè)算，傳統(tǒng)的兩種方法在進(jìn)行計(jì)算時(shí)都有一定的缺陷。本研究通過采用解析幾何等數(shù)學(xué)方法，提出了緩和曲線范圍內(nèi)的建筑限界加寬值計(jì)算公式，并對(duì)公示進(jìn)行了推導(dǎo)。

1　緩和曲線地段建筑限界內(nèi)加寬的計(jì)算思路

研究考慮了兩種情況下求解內(nèi)加寬值的方法，如圖1所示。

圖1　求解內(nèi)加寬值的方法

(1)根據(jù)已知的車輛后軸所在位置求此時(shí)車體對(duì)應(yīng)的最大內(nèi)加寬值及對(duì)應(yīng)此內(nèi)加寬值的點(diǎn)在緩和曲線上的位置。求解的主要思路如下：

第一步：根據(jù)車輛后軸(a點(diǎn))的坐標(biāo)(xa,ya)以及函數(shù)F(xa,ya)求得車輛前軸(b點(diǎn))距ZH點(diǎn)的距離Lb以及坐標(biāo)(xb,yb)。

第二步：根據(jù)第一步得到的a點(diǎn)、b點(diǎn)距ZH的距離La、Lb，找到在緩和曲線(圓曲線)上在{La,Lb}范圍內(nèi)的所有點(diǎn)中距直線ab的距離與外軌超高加寬之和最大的一點(diǎn)。

①當(dāng)l≤l0時(shí)，該點(diǎn)的坐標(biāo)可以由緩和曲線的計(jì)算方程得到。此時(shí)關(guān)于l的方程可表示為f(l)=getDistancePtLine(x1,y1，xa,ya，xb,yb)+Hhl/1 500l0,其中H為站臺(tái)高度，h為曲線外軌超高值。

②當(dāng)l>l0時(shí)，該點(diǎn)坐標(biāo)可以由圓曲線的方程得到。此時(shí)關(guān)于l的方程可表示為f(l)=getDistancePtLine(x1,y1，xa,ya，xb,yb)+Hh/1 500,其中H為站臺(tái)高度，h為曲線外軌超高值。

③采用一維黃金分割搜索法求出f(l)在{La，Lb}值域范圍內(nèi)的極大值，從而得到最大內(nèi)加寬值及M點(diǎn)距ZH點(diǎn)的距離。

(2)求緩和曲線上任意一點(diǎn)(M點(diǎn))對(duì)應(yīng)的最大建筑限界內(nèi)加寬值以及此時(shí)車輛后軸所處的位置。主要思路是找到當(dāng)車輛后軸處于某一位置時(shí)，車軸連線的斜率與該點(diǎn)的切線斜率相同。具體求解步驟概述如下：

第一步：先求出當(dāng)車輛后軸(a點(diǎn))位于ZH點(diǎn)時(shí)車輛前軸(b點(diǎn))所處坐標(biāo)，得到此時(shí)車軸連線的斜率K0。

第二步：將M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切線斜率K與K0相比較，KK0時(shí)說明該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大內(nèi)加寬是當(dāng)車輛后軸位于緩和曲線上的某一點(diǎn)時(shí)發(fā)生。

①當(dāng)K

②當(dāng)K>K0時(shí)，可以先假設(shè)a點(diǎn)的坐標(biāo)為(xa,ya)，xa=l-l5/40C2+l9/3 456C4，ya=l3/6C-l7/336C3+l11/42 240C5, b點(diǎn)坐標(biāo)可由函數(shù)F(xb,yb)得到，此時(shí)關(guān)于l的方程f(l)為(ya-yb)/(xa-xb)=K，展開后為f(l)=l11/42 240C5-Kl9/3 456C4-l7/336C3+Kl5/40C2+l3/6C-Kl+Kxb-yb。

可以通過二分法求出f(l)=0時(shí)l的值進(jìn)而得到a點(diǎn)的坐標(biāo)。進(jìn)而通過M點(diǎn)距AB直線的距離加上外軌超高產(chǎn)生的內(nèi)加寬值Hhl/1 500l0獲得M點(diǎn)處最大內(nèi)加寬值。

2　緩和曲線地段建筑限界外加寬的計(jì)算思路

研究考慮了兩種情況下求解外加寬值的方法，如圖2所示。

圖2　求解外加寬值的方法

(1)根據(jù)已知的車輛后軸所在位置求此時(shí)車體對(duì)應(yīng)的最大外加寬值及對(duì)應(yīng)此外加寬值的點(diǎn)的位置。計(jì)算的主要思路是在緩和曲線或圓曲線上求得一點(diǎn)，使得該點(diǎn)與車體邊緣連線的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切線垂直。具體求解步驟概述如下：

第一步：根據(jù)車輛后軸(a點(diǎn))的坐標(biāo)(xa,ya)以及函數(shù)F(xa,ya)求得車輛前軸(b點(diǎn))距ZH點(diǎn)的距離Lb以及坐標(biāo)(xb,yb)。

第二步：根據(jù)車軸至車體邊緣的距離Lcd以及車軸的斜率計(jì)算出車體邊緣的c點(diǎn)和d點(diǎn)的坐標(biāo)(xc,yc)，(xd,yd)。

第三步：判斷c點(diǎn)和d點(diǎn)的投影點(diǎn)是否位于緩和曲線的長度范圍內(nèi)，如果這兩點(diǎn)的x坐標(biāo)都小于0說明肯定不在緩和曲線范圍內(nèi)，反之可以先得到HY點(diǎn)與圓心點(diǎn)連線在Y軸上的交點(diǎn)(M點(diǎn))，判斷c點(diǎn)或d點(diǎn)與M點(diǎn)、ZH點(diǎn)之間的夾角。當(dāng)夾角角度大于緩和曲線切線角β0時(shí)說明投影點(diǎn)落在圓曲線范圍內(nèi)，小于β0說明投影點(diǎn)落在緩和曲線范圍內(nèi)。

①先假設(shè)最大外加寬處在緩和曲線上的投影點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為(xe,ye)，xe=l-l5/40C2+l9/3 456C4，ye=l3/6C-l7/336C3+l11/42 240C5,當(dāng)E點(diǎn)處切線的斜率K1=tg(l2/2Rl0)與直線ED的斜率K2=(ye-yd)/(xe-xd)滿足K1×K2=-1時(shí)，說明兩線垂直。則關(guān)于l的方程為f(l)=K1l11/42 240C5+l9/3 456C4-K1l7/336C3-l5/40C2+K1l3/6C+l+K1yd-xd。

可以通過二分法求出f(l)=0時(shí)l的值進(jìn)而得到E點(diǎn)的坐標(biāo)。進(jìn)而通過E點(diǎn)距AB直線的距離獲得最大外加寬值。

②如果投影點(diǎn)E點(diǎn)落在ZH點(diǎn)前的直線上時(shí)，可直接將E點(diǎn)至直線的垂距定為外加寬值，如果投影點(diǎn)E點(diǎn)落在HY點(diǎn)后的圓曲線范圍內(nèi)，則圓心至E的距離減去曲線半徑即為外加寬值。

(2)求緩和曲線上任意一點(diǎn)(M點(diǎn))對(duì)應(yīng)的最大建筑限界外加寬值及此時(shí)車輛后軸所處的位置。主要思路是找到當(dāng)車輛后軸處于某一位置時(shí)，車體邊緣與M點(diǎn)連線的斜率與M點(diǎn)所處緩和曲線的切線斜率相垂直。具體求解步驟概述如下：

第一步：先求出M點(diǎn)的切線斜率K1，并假設(shè)車輛后軸(a點(diǎn))所處位置距ZH點(diǎn)l米處，由函數(shù)F(xa,ya)得到a點(diǎn)坐標(biāo)(xa,ya)和車輛前軸(b點(diǎn))坐標(biāo)(xb,yb)。

第二步：根據(jù)a點(diǎn)、b點(diǎn)的坐標(biāo)得到車體邊緣的C點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)(xc,yc)，(xd,yd)。

第三步：用二分法求解方程(yM-yc)/(xM-xc)K1=-1，其中xc、yc都有關(guān)于l的方程f(l)。

第四步：l值求出后通過計(jì)算M點(diǎn)至直線AB的距離即可得到最大外加寬值。

3　結(jié)束語

本研究通過采用解析幾何、微積分等數(shù)學(xué)方法并結(jié)合計(jì)算機(jī)編程來解決緩和曲線范圍內(nèi)的建筑限界加寬值詳細(xì)計(jì)算問題。研究了曲線地段建筑限界加寬值計(jì)算所需的公式，對(duì)各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行逐項(xiàng)分解，據(jù)此算法編制的程序可以針對(duì)具體車型計(jì)算曲線(包含緩和曲線)上任意點(diǎn)最大內(nèi)外加寬值，以及指定最大內(nèi)外加寬值時(shí)計(jì)算車體所處的位置，在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)建筑設(shè)計(jì)及施工有較大的指導(dǎo)意義。

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