朱志輝, 龔　威，張　磊，余志武，蔡成標(biāo)

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙　410075；2.中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙　410075；3.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都　610031)

自我國第一條高速鐵路建成通車以來，目前中國高速鐵路總里程已超過2萬km，居世界第一。與普通鐵路相比，評(píng)估高速鐵路橋梁動(dòng)力響應(yīng)和列車行車安全性與乘坐舒適性指標(biāo)必不可少[1]。隨著車—橋耦合動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，多位學(xué)者指出，為準(zhǔn)確評(píng)估上述指標(biāo)，需要在車—橋耦合動(dòng)力學(xué)模型中考慮軌道結(jié)構(gòu)的柔性變形及參振作用[2]。當(dāng)考慮軌道結(jié)構(gòu)以后，由于輪軌間較大的接觸剛度，導(dǎo)致車橋耦合動(dòng)力分析的穩(wěn)定性和收斂性問題變得更為復(fù)雜[3]；同時(shí)，對(duì)于大跨度橋梁而言，大量增加的軌道結(jié)構(gòu)自由度將使耦合系統(tǒng)質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣規(guī)模呈幾何倍數(shù)增加，導(dǎo)致動(dòng)力分析計(jì)算量大幅增加[4]。因此，需要針對(duì)列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)提出一種高效的計(jì)算方法。

很多學(xué)者針對(duì)車—橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析計(jì)算效率問題開展了研究工作，主要包括2個(gè)方面：模型簡化和數(shù)值算法優(yōu)化。Lou[5]建立了不等長的鋼軌橋梁耦合單元，以減少橋梁結(jié)構(gòu)自由度，并討論了鋼軌單元長度對(duì)鋼軌與橋梁動(dòng)力響應(yīng)的影響。Yang[6]等假設(shè)輪對(duì)與鋼軌始終密貼，同時(shí)將輪對(duì)的自由度壓縮至鋼軌。振型疊加法也常被用于減小橋梁結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目[7-8]，但很難選取合適的振型數(shù)量，以同時(shí)體現(xiàn)軌道結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)和橋梁結(jié)構(gòu)的低頻振動(dòng)響應(yīng)[9]。張楠等[10]提出了一種全過程迭代法，將列車和橋梁子系統(tǒng)間每一時(shí)間步內(nèi)的迭代轉(zhuǎn)換到了整個(gè)動(dòng)力分析過程的迭代。Neves[11]等采用了優(yōu)化的塊式因式分解算法，提高了車橋耦合動(dòng)力分析的效率。

以上研究在一定程度上提升了車—橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算效率和穩(wěn)定性，所采用的車—橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程求解方法主要分為2類：分離迭代法(Separation and Iteration Method, SIM)和耦合時(shí)變法(Coupled and Time-Dependent Method, CTM)[12]。其中SIM將車輛和橋梁視作2個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)，2個(gè)子系統(tǒng)間通過力的平衡與位移協(xié)調(diào)條件相互耦合，在每一時(shí)間步內(nèi)需進(jìn)行迭代求解。整個(gè)計(jì)算過程中，車輛子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣保持不變。該方法的主要缺點(diǎn)在于耦合系統(tǒng)動(dòng)力計(jì)算穩(wěn)定性受輪軌接觸點(diǎn)處迭代收斂平衡條件控制，通常需要較小的時(shí)間積分步長(Δt≤10-4s)，以確保輪軌接觸迭代計(jì)算收斂[2]。CTM直接建立車輛和橋梁耦合系統(tǒng)整體時(shí)變動(dòng)力方程，在每一時(shí)間步內(nèi)直接對(duì)動(dòng)力方程進(jìn)行求解[13-15]，避免了每一時(shí)間步內(nèi)的輪軌力收斂迭代計(jì)算。但CTM需要在每一時(shí)間步根據(jù)車輛位置對(duì)耦合系統(tǒng)整體矩陣進(jìn)行更新，尤其當(dāng)車輛模型較為復(fù)雜或存在大量輪軌接觸點(diǎn)時(shí)，會(huì)增大車—橋耦合模型動(dòng)力系數(shù)矩陣的帶寬，進(jìn)而增加每一時(shí)間步的求解時(shí)間[16-17]。

為進(jìn)一步提高列車—軌道—橋梁相互作用問題的計(jì)算效率，本文基于SIM和CTM，提出列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)高效動(dòng)力分析混合算法(Hybrid Solution Algorithm, HSA)。

1　列車、軌道、橋梁子系統(tǒng)模型及其動(dòng)力方程

1.1　列車子系統(tǒng)

一列車由Nv節(jié)車輛組成，每節(jié)車輛僅考慮在豎向平面內(nèi)的10個(gè)自由度，第j節(jié)車的10個(gè)自由度為車體沉浮zcj、車體點(diǎn)頭θcj、轉(zhuǎn)向架沉浮zb1j和zb2j、轉(zhuǎn)向架點(diǎn)頭θb1j和θb2j以及輪對(duì)的沉浮zw(4j-3)—zw4j(所有輪對(duì)按照行車方向從前到后按1—4Nv統(tǒng)一編號(hào))。根據(jù)多剛體假定和線性懸掛系統(tǒng)假定，每節(jié)車的參數(shù)可以簡化為：一系懸掛剛度kp和阻尼cp；二系懸掛剛度ks和阻尼cs；車體的質(zhì)量mc和點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc；構(gòu)架的質(zhì)量mb和點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jb；輪對(duì)的質(zhì)量mw。輪軌之間采用Hertzian接觸關(guān)系模擬。

根據(jù)D’Alembert原理，可建立基于平衡位置的列車子系統(tǒng)動(dòng)力方程

(1)

列車子系統(tǒng)質(zhì)量矩陣Mvv為

(2)

其中，

Mvj=diag(mcJcmbJbmbJbmw

mwmwmw)

式中：Mvj為第j節(jié)車的質(zhì)量矩陣。

列車子系統(tǒng)剛度矩陣Kvv為

(3)

其中，

式中：Kvj為第j節(jié)車的剛度矩陣；Lc為車體定距之半；Lb為構(gòu)架定距之半。

列車子系統(tǒng)阻尼矩陣可表示為

(4)

式中：Cvj為第j節(jié)車的阻尼矩陣，Cvj的形式與剛度矩陣Kvj相同，只需將Kvj的一系懸掛剛度kp與二系懸掛剛度ks替換成一系懸掛阻尼cp與二系懸掛阻尼cs即可。

列車子系統(tǒng)位移向量為

(5)

其中，

Xvj=(zcjθcjzb1jθb1jzb2jθcj

zw(4j-3)zw(4j-2)zw(4j-1)zw4j)

式中：Xvj為第j節(jié)車的位移向量。

1.2　軌道子系統(tǒng)

在車—橋耦合振動(dòng)分析中，軌道結(jié)構(gòu)的彈性變形作用既可以起到過濾輪軌高頻振動(dòng)的目的，還對(duì)輪軌力有顯著影響[18]。以往的研究發(fā)現(xiàn)，模態(tài)疊加法雖然可以提高結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算效率，但是很難準(zhǔn)確體現(xiàn)鋼軌的局部高頻振動(dòng)特性[9]。因此，本文將采用直接剛度法建立軌道子系統(tǒng)模型。

軌道子系統(tǒng)動(dòng)力方程為

(6)

1.3　橋梁子系統(tǒng)

通過有限元方法建立精細(xì)化橋梁模型，采用直接剛度法建立橋梁子系統(tǒng)動(dòng)力方程為

(7)

2　列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)高效動(dòng)力分析混合算法

HSA將列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)分解為列車—軌道耦合時(shí)變子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)2部分，并通過軌道和橋梁在連接節(jié)點(diǎn)處的相互作用力將2個(gè)子系統(tǒng)耦合起來，實(shí)現(xiàn)列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)的動(dòng)力仿真分析，如圖1所示。圖中Frb為橋梁對(duì)鋼軌的作用力向量，F(xiàn)br為鋼軌對(duì)橋梁的作用力向量，v為列車車速。

圖1　列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)示意圖

由于HSA在計(jì)算過程中僅需更新列車—軌道時(shí)變子系統(tǒng)的動(dòng)力系數(shù)矩陣，而式(7)所示的橋梁子系統(tǒng)動(dòng)力系數(shù)矩陣具有時(shí)不變特征，因此，本節(jié)主要介紹列車—軌道時(shí)變子系統(tǒng)動(dòng)力方程和HSA求解策略。

2.1　列車—軌道耦合時(shí)變子系統(tǒng)動(dòng)力方程

列車子系統(tǒng)與軌道子系統(tǒng)通過輪軌接觸關(guān)系耦合為列車—軌道子系統(tǒng)。根據(jù)已有的列車子系統(tǒng)動(dòng)力方程與軌道子系統(tǒng)動(dòng)力方程，利用“對(duì)號(hào)入座法則”[20]將輪軌接觸關(guān)系直接寫入列車與軌道的剛度矩陣及其耦合項(xiàng)中，即可得到列車—軌道子系統(tǒng)的動(dòng)力方程

(8)

其中，

Fv=Fvg+Fvr

Fr=Frv+Frb

在列車—軌道子系統(tǒng)中，輪軌之間采用Hertzian接觸模型[21]，由于Hertzian接觸模型僅包含剛度項(xiàng)，因此公式(8)中僅剛度矩陣及荷載向量中存在耦合項(xiàng)。由輪軌接觸引起的車輛剛度附加矩陣Kvh為

(9)

其中，

Kvhj=diag(0000002kh2kh

2kh2kh)

式中：Kvhj為輪軌接觸對(duì)第j輛車的影響剛度矩陣；kh為赫茲彈簧剛度。

由輪軌接觸引起的剛度附加矩陣Krr2為

(10)

式中：Nij為(1×Nr)維的向量，表示第i個(gè)輪對(duì)所在的第j個(gè)鋼軌單元的三次Hermit插值形函數(shù)[17]；Nr為鋼軌自由度數(shù)目。

列車運(yùn)行過程中，列車與鋼軌的剛度矩陣耦合項(xiàng)Kvr為

(11)

其中，

在列車—軌道子系統(tǒng)中，輪軌間的相互作用力為內(nèi)力，故列車荷載項(xiàng)僅包含列車自重及軌道不平順激勵(lì)為

(12)

其中，

Fvgj=(mcg0mbg0mbg0mwg

mwgmwgmwg)

外荷載中車輛對(duì)軌道作用僅包含軌道不平順激勵(lì)：

(13)

2.2　列車—軌道子系統(tǒng)與橋梁子系統(tǒng)耦合作用

列車—軌道子系統(tǒng)與橋梁子系統(tǒng)間通過梁軌間相互作用力實(shí)現(xiàn)耦合，橋梁對(duì)鋼軌的作用力Frb為

(14)

鋼軌對(duì)橋梁的作用力Fbr為

(15)

2.3　HSA計(jì)算流程

圖2　HSA計(jì)算流程

與傳統(tǒng)基于CTM的整體列車—軌道—橋梁耦合時(shí)變動(dòng)力學(xué)模型相比，HSA將鋼軌與橋梁解耦，大大降低了列車—軌道時(shí)變子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)動(dòng)力系數(shù)矩陣的帶寬；同時(shí)在計(jì)算過程中僅需更新列車—軌道時(shí)變子系統(tǒng)的動(dòng)力系數(shù)矩陣，橋梁子系統(tǒng)的動(dòng)力系數(shù)矩陣具有時(shí)不變特征。相較于CTM，HSA具有更高的計(jì)算效率。HSA通過鋼軌與橋梁間作用力的平衡迭代實(shí)現(xiàn)列車—軌道時(shí)變子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)耦合，相對(duì)于以往基于輪軌力平衡迭代的SIM而言，由于鋼軌與橋梁間的接觸剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于輪軌間的接觸剛度，因此HSA的迭代穩(wěn)定性更優(yōu)。

3　方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文HSA的正確性，以圖3所示的朔黃重載鐵路32 m簡支梁橋?yàn)槔謩e采用HSA與CTM計(jì)算車輛過橋的動(dòng)力響應(yīng)，并與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證HSA的正確性。

圖3　朔黃重載鐵路32 m簡支梁現(xiàn)場(chǎng)圖

3.1　工程概況

朔黃重載鐵路32 m簡支梁橋由4根超低高度的預(yù)應(yīng)力T型梁組成，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C60。鋼軌為75 kg·m-1標(biāo)準(zhǔn)軌，軌枕為Ⅲ型混凝土軌枕，道床厚度為22 cm。軌道及橋梁詳細(xì)參數(shù)見表1。

試驗(yàn)列車編組為“2節(jié)提速機(jī)車+116節(jié)C80重載列車”，詳細(xì)參數(shù)見表2。列車編組總長度為1 424.6 m。列車以71.57 km·h-1的速度單線行駛過橋。

3.2　軌道、橋梁有限元模型

采用ANSYS建立軌道、橋梁有限元模型。其中，鋼軌、軌枕、主梁均采用梁單元進(jìn)行模擬，單元長度均為0.6 m。軌枕與橋面的連接以及鋼軌與軌枕的連接通過彈簧—阻尼器單元模擬。為模擬列車上橋時(shí)的初始振動(dòng)狀態(tài)，在橋梁兩側(cè)各添加32 m的軌道延長段。由于只考慮列車經(jīng)過重載線的情況，且重載線和輕載線相互分離，所以忽略輕載線部分。軌道不平順采用美國FRA5級(jí)軌道譜。根據(jù)以上的建模原則，建立了如圖4所示的軌道、橋梁整體三維有限元模型。

表1　軌道及橋梁參數(shù)

表2　提速機(jī)車及貨運(yùn)列車參數(shù)表

3.3　結(jié)果分析

圖5中給出了HSA與CTM計(jì)算所得橋梁跨中豎向位移結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果。從圖5中可以看出，HSA與CTM計(jì)算的橋梁跨中位移響應(yīng)時(shí)程曲線幾乎完全重合，二者誤差最大值僅為0.03%；同時(shí)，HSA計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差為1.79%，表明采用HSA分析車—橋耦合動(dòng)力響應(yīng)問題，可以得到滿意的精度。

圖4　橋梁有限元模型(單位：mm)

圖5　橋梁跨中豎向位移時(shí)程

4　蒙華鐵路龍門黃河大橋動(dòng)力分析

4.1　工程概況

為進(jìn)一步對(duì)比HSA和CTM的計(jì)算效率，本節(jié)以蒙華鐵路龍門黃河大橋?yàn)槔M(jìn)行對(duì)比分析。該橋?yàn)橹谐惺戒摴芑炷凉皹?，鋼管混凝土拱跨?02 m，矢跨比1/4，其跨度布置如圖6所示。鐵路等級(jí)為國鐵Ⅰ級(jí)，重載鐵路標(biāo)準(zhǔn)，采用雙正線，線間距為4.0 m，設(shè)計(jì)行車速度120 km·h-1。橋梁所有材料均假設(shè)為線彈性，鋼材彈性模量取210 GPa，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C50；墩身、橋面板采用C40混凝土；吊桿采用整束擠壓式鋼絞線拉索體系，鋼絞線抗拉強(qiáng)度為1 860 MPa。橋面二期恒載為134 kN·m-1(已扣除軌道結(jié)構(gòu)二期恒載16 kN·m-1)，包括防水層、保護(hù)層、人行道、照明設(shè)施等。

圖6　橋梁構(gòu)造示意圖 (單位：m)

4.2　軌道、橋梁模型

軌道、橋梁有限元模型如圖7所示。其中，橋梁支座、軌枕與橋面的連接以及鋼軌與軌枕的連接通過彈簧—阻尼器單元模擬。根據(jù)文獻(xiàn)[23]和設(shè)計(jì)圖紙資料，彈簧—阻尼器單元參數(shù)見表3。橋梁支座布置如圖6所示，共設(shè)置16個(gè)支座，其中活動(dòng)支座只設(shè)置y和z方向的約束，固定支座設(shè)置了x,y和z方向的約束，橋梁拱腳與橋墩墩底均固結(jié)。為模擬列車上橋前的初始振動(dòng)狀態(tài)，在橋梁兩側(cè)各添加30 m的軌道延長段。

圖7　拱橋有限元模型

參數(shù)剛度/MPa阻尼/(kN·s·m-1)x向y向z向x向y向z向鋼軌與軌枕1000306026075軌枕與橋面128128128540540540橋梁支座　100001000010000100010001000

4.3　結(jié)果分析

選取與橋長大致相等的列車編組開展耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析，使列車長度足以覆蓋整座橋面。列車編組為2節(jié)提速機(jī)車+20節(jié)C80型貨車的重載列車，列車編組總長度272.6 m。列車以120 km·h-1的設(shè)計(jì)速度單線行駛過橋，采用美國五級(jí)軌道不平順譜，積分步長取1/1 000 s。

圖8和圖9別給出了HSA和CTM計(jì)算的列車和橋梁跨中位置的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程曲線。從圖8和圖9中可以看出，2種方法計(jì)算所得第一個(gè)輪對(duì)豎向輪軌力時(shí)程、第一節(jié)車車體豎向加速度時(shí)程、橋梁跨中豎向位移時(shí)程和豎向加速度時(shí)程結(jié)果吻合度較好，最大誤差均在3%以內(nèi)。

圖10為跨中位置處鋼軌豎向振動(dòng)加速度時(shí)程。從圖10可以看出：2種方法計(jì)算結(jié)果吻合程度稍差，最大誤差為8.13%。需要指出的是，經(jīng)過試算，SIM需采用小于或等于2×10-4s的時(shí)間積分步長才可以得到收斂結(jié)果，從而表明HSA較SIM具有更好的迭代穩(wěn)定性。

HSA和CTM的計(jì)算耗時(shí)見表4。由表4可知，CTM計(jì)算耗時(shí)為369 min，HSA計(jì)算耗時(shí)為92 min，HSA較之CTM求解耗時(shí)縮短了75%，HSA可有效提升列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算效率。

圖8　車輛動(dòng)力響應(yīng)

圖9　橋梁跨中動(dòng)力響應(yīng)

圖10　跨中鋼軌豎向振動(dòng)加速度時(shí)程

表4　2種方法計(jì)算耗時(shí)對(duì)比

5　結(jié)　論

(1)HSA計(jì)算結(jié)果與耦合時(shí)變計(jì)算結(jié)果及現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合度極高，證明了HSA的準(zhǔn)確性。

(2)HSA僅需將列車和軌道通過輪軌接觸關(guān)系組成耦合時(shí)變子系統(tǒng)，從而簡化了列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程的理論推導(dǎo)過程，降低了建模難度；同時(shí)，列車—軌道子系統(tǒng)耦合時(shí)變動(dòng)力方程不受下部橋梁結(jié)構(gòu)矩陣的影響，因此HSA對(duì)于不同橋梁結(jié)構(gòu)具有一定通用性。

(3)HSA在求解過程中，僅上部列車—軌道子系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣是時(shí)變的，需要在每一時(shí)間步進(jìn)行更新；下部橋梁子系統(tǒng)各項(xiàng)矩陣保持不變，不需要進(jìn)行更新。

(4)與CTM相比，HSA每一步更新矩陣所需時(shí)間大大減少。以蒙華鐵路龍門黃河大橋算例表明，HSA相較于傳統(tǒng)的CTM，求解耗時(shí)降低了75%。

[1]DIMITRAKOPOULOS E G, ZENG Qing. A Three-Dimensional Dynamic Analysis Scheme for the Interaction between Trains and Curved Railway Bridges[J]. Computers & Structures, 2015, 149: 43-60.

[2]吳定俊, 李奇, 陳艾榮. 車橋耦合振動(dòng)迭代求解數(shù)值穩(wěn)定性問題[J]. 力學(xué)季刊, 2007, 28(3): 405-411.

(WU Dingjun, LI Qi, CHEN Airong. Numerical Stability of Iteration Scheme for Solution of Vehicle-Bridge Coupling Vibration [J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2007, 28(3): 405-411.in Chinese)

[3]杜憲亭, 夏禾, 張?zhí)? 車橋耦合振動(dòng)迭代求解穩(wěn)定性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(22): 62-65.

(DU Xianting, XIA He, ZHANG Tian. Numerical Stability of Iterative Scheme in Solving Coupled Vibration of a Train-Bridge System [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(22): 62-65. in Chinese)

[4]LI Yongle, SU Yang, XIA Feilong, et al. Vertical Dynamic Response of the Ballastless Track on Long-Span Plate-Truss Cable-Stayed Bridges [J]. Science China Technological Sciences, 2015, 58(2): 236-247.

[5]LOU Ping, YU Zhiwu, AU F T K. Rail-Bridge Coupling Element of Unequal Lengths for Analysing Train-Track-Bridge Interaction Systems [J]. Applied Mathematical Modelling, 2012, 36(4): 1395-1414.

[6]YANG Yeongbin, WU Yeanseng. A Versatile Element for Analyzing Vehicle-Bridge Interaction Response [J]. Engineering Structures, 2001, 23(5): 452-469.

[7]SALCHER P, ADAM C. Modeling of Dynamic Train-Bridge Interaction in High-Speed Railways [J]. Acta Mechanica, 2015, 226(8): 2473-2495.

[8]JIN Zhibin, PEI Shiling, LI Xiaozhen, et al. Vehicle-Induced Lateral Vibration of Railway Bridges: an Analytical-Solution Approach[J]. Journal of Bridge Engineering, 2015, 21(2)：04015038.

[9]ZHANG Nan, XIA He, GUO Weiwei, et al. A Vehicle-Bridge Linear Interaction Model and Its Validation[J]. International Journal of Structural Stability & Dynamics, 2012, 10(2): 335-361.

[10]ZHANG Nan, XIA He. Dynamic Analysis of Coupled Vehicle-Bridge System Based on Inter-System Iteration Method [J]. Computers & Structures, 2013, 115(1): 26-34.

[11]NEVES S G M, MONTENEGRO P A, AZEVEDO A F M, et al. A Direct Method for Analyzing the Nonlinear Vehicle-Structure Interaction [J]. Engineering Structures, 2014, 69(11): 83-89.

[12]CHEN Zhiwei, CHEN Bo. Recent Research and Applications of Numerical Simulation for Dynamic Response of Long-Span Bridges Subjected to Multiple Loads [J]. Scientific World Journal, 2014, 2014(2): 763810.

[13]WANG Wei, YAN Wangchen, DENG Lu, et al. Dynamic Analysis of a Cable-Stayed Concrete-Filled Steel Tube Arch Bridge under Vehicle Loading[J]. Journal of Bridge Engineering, 2015, 20(5): 1-20.

[14]DENG Lu, CAI C S. Development of Dynamic Impact Factor for Performance Evaluation of Existing Multi-Girder Concrete Bridges[J]. Engineering Structures, 2010, 32(1): 21-31.

[15]GUO W H, XU Y L. Fully Computerized Approach to Study Cable-Stayed Bridge-Vehicle Interaction[J]. Journal of Sound & Vibration, 2001, 248(4): 745-761.

[16]GU G. Resonance in Long-Span Railway Bridges Carrying TGV Trains[J]. Computers & Structures, 2015, 152: 185-199.

[17]LOU Ping. Finite Element Analysis for Train-Track-Bridge Interaction System[J]. Archive of Applied Mechanics, 2007, 77(10): 707-728.

[18]張攀, 周昌盛, 王平. 軌下墊板剛度的時(shí)變特性及其影響研究[J]. 鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì), 2015(9): 49-52.

(ZHANG Pan, ZHOU Changsheng, WANG Ping. Study on Time Variant Characteristics and Effects of Rail Pad Stiffness [J]. Railway Standard Design, 2015(9): 49-52. in Chinese)

[19]朱志輝, 龔?fù)? 王力東, 等. 列車—軌道—橋梁耦合系統(tǒng)動(dòng)力方程求解方法對(duì)計(jì)算精度和效率的影響[J]. 中國鐵道科學(xué), 2016, 37(5): 17-26.

(ZHU Zhihui, GONG Wei, WANG Lidong, et al. Influence of Solution Method for Dynamics Equation of Train-Track-Bridge Coupled System on Calculation Precision and Efficiency [J]. China Railway Science, 2016, 37(5): 17-26. in Chinese)

[20]曾慶元, 楊平. 形成矩陣的“對(duì)號(hào)入座”法則與桁梁空間分析的桁段有限元法[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 1986,8(2): 50-61.

(ZENG Qingyuan, YANG Ping. The “Set-in-Right-Position” Rule for Forming Structural Matrices and the Finite Truss-Element Method for Space Analysis of Truss Bridges [J]. Journal of the China Railway Society, 1986, 8(2): 50-61. in Chinese)

[21]朱志輝, 王力東, 龔?fù)? 等. 基于改進(jìn)迭代模型的車橋耦合系統(tǒng)豎向隨機(jī)振動(dòng)研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2016, 43(11): 120-130.

(ZHU Zhihui, WANG Lidong, GONG Wei, et al. Study on Vertical Random Vibration of Train-Bridge Coupled System Based on Improved Iteration Model [J]. Journal of Hunan University:Natural Sciences, 2016, 43(11): 120-130. in Chinese)

[22]NGUYEN D V, KIM K D, WARNITCHAI P. Simulation Procedure for Vehicle-Substructure Dynamic Interactions and Wheel Movements Using Linearized Wheel-Rail Interfaces[J]. Finite Elements in Analysis and Design, 2009, 45(5): 341-356.

[23]劉瑋, 曲村. 高速鐵路橋上有砟軌道軌枕選型方案研究[J]. 高速鐵路技術(shù), 2011, 2(3): 38-42.

(LIU Wei, QU Cun. Study on Selection of Sleepers for Ballasted Track on Bridges of High-Speed Railway [J]. High Speed Railway Technology, 2011, 2(3): 38-42. in Chinese)