☉浙江省寧波市奉化區(qū)剡溪中學(xué) 鄭 鋒 王祥表

所謂錯(cuò)題就是指習(xí)題本身在文字語(yǔ)言或者圖形語(yǔ)言表述上出現(xiàn)了條件欠缺、互相矛盾或結(jié)論不可求證的題目.教師們?cè)诮虒W(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到一些錯(cuò)題，有的錯(cuò)題題目本身就出現(xiàn)了表達(dá)性錯(cuò)誤，解答者得不到答案；有些錯(cuò)題沒有明顯的錯(cuò)誤，只有在解答中才會(huì)出現(xiàn)相互矛盾的結(jié)果.

當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)題，通過師生合作、生生合作的方式更正錯(cuò)題，進(jìn)而對(duì)于更正后的錯(cuò)題一題多解，或者變式練習(xí)，這種方式有效地激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣一旦激發(fā)，課堂效率也隨之提高，學(xué)生學(xué)習(xí)能力也得以提升.在美國(guó)數(shù)學(xué)教育家Tam Kieren寫的《數(shù)學(xué)教育研究——三角形》一書中，他提出了把數(shù)學(xué)教育研究的對(duì)象視作三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，即數(shù)學(xué)教育是有三個(gè)研究方面：課程、教學(xué)、學(xué)習(xí).而三角形的中心稱為“興趣中心”，指學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣（如圖1）.

由此可見，錯(cuò)題資源的有效利用，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，也能有效地提高課堂效率，最終轉(zhuǎn)化成學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.以下是由學(xué)生在練習(xí)中所發(fā)現(xiàn)的一個(gè)錯(cuò)題，筆者以此為例談?wù)勫e(cuò)題資源對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升方面所起到的作用.

一、試題呈現(xiàn)

如圖2，在正方形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______.

本題條件中出現(xiàn)了正方形及∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，由此學(xué)生會(huì)朝著正方形的性質(zhì)、等邊三角形、30°特殊直角三角形方向思考，以此添加輔助線.在課堂中，同學(xué)們很快解答出了答案，幾乎每個(gè)同學(xué)都有自己的想法，加上參考答案，大致有以下四種解法.

二、解法展示

解法1：如圖3，分別延長(zhǎng)AE和FE交BC于點(diǎn)G和H.因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因?yàn)椤螪AE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因?yàn)锳E=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，AG=AE+EG=5. 因?yàn)椤螦GB=60°，可得BG=，所以BH=BG-GH=，即BC=解法2：如圖3，分別延長(zhǎng)AE和FE交BC于點(diǎn)G和H.因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因?yàn)椤螪AE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因?yàn)锳E=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，AG=AE+EG=5.因?yàn)椤螦GB=60°，可得，所以AB

解法3：如圖3，分別延長(zhǎng)AE和FE交BC于點(diǎn)G和H.因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因?yàn)椤螪AE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因?yàn)锳E=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，即CG=2.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△ABG中，因?yàn)椤螧AG=30°，所以AB=G，可列得方程x=x-2），解得x=3+

解法4：（參考答案）如圖3，分別延長(zhǎng)AE和FE交BC于點(diǎn)G和H.因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因?yàn)椤螪AE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因?yàn)锳E=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，即CG=2.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△ABG中，可列得方程x2+（x-2）2=52，解得x=

四種不同的解法得到了不同的結(jié)果，解題思路也都正確，同一個(gè)題出現(xiàn)了不同的結(jié)果.或許當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)中遇到此類問題的時(shí)候有些老師可能會(huì)告訴學(xué)生“這是一個(gè)錯(cuò)題”，或許就錯(cuò)過了一個(gè)利用錯(cuò)題再學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì).巧妙地利用錯(cuò)題，不僅能解決了錯(cuò)題本身的問題，還能激發(fā)學(xué)生解決錯(cuò)題的興趣，也進(jìn)一步提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題、解決問題的能力，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高.

對(duì)于上述錯(cuò)題，筆者通過師生合作、生生合作的方式對(duì)該題進(jìn)行了探究.以下是一段師生對(duì)話的內(nèi)容.

生1（鼓足勇氣）：會(huì)不會(huì)這題目有問題？

師：為什么？你是怎么看的？

生2：一個(gè)題目如果有多個(gè)答案，那肯定是分類討論的結(jié)果.但是該題沒有這個(gè)必要.許多學(xué)生表示贊同.

師（豎起大拇指）：這位同學(xué)非常有勇氣，敢于質(zhì)疑.請(qǐng)大家記?。禾岢鲆粋€(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更為重要，這就是創(chuàng)新啊！既然大家都覺得這個(gè)題目有問題，那它錯(cuò)在哪，我們可以如何進(jìn)行改進(jìn)呢？

生3：根據(jù)解法1和解法2，AB和BC的值不同，我覺得這應(yīng)該是一個(gè)矩形.所以可以把“正方形”改成“矩形”.

師：你很善于觀察發(fā)現(xiàn).其實(shí)“矩形ABCD”、“折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4”和“∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°”這三個(gè)條件是并列的，要不我們將后面六個(gè)條件任意刪去一個(gè)試試.

三、試題改進(jìn)

變式1：在矩形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別為______.

解：如圖4，分別延長(zhǎng)AE和FE交BC于點(diǎn)G和H.因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因?yàn)椤螪AE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因?yàn)锳E=3，EF=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，AG=AE+EG=5.因?yàn)椤螦GB=60°，可得，所以BH=BG-，即BC=因?yàn)椤螦GB=60°，可得，所以

變式2：在正方形ABCD中，折線EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______.

解：如圖5，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G.因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因?yàn)椤螪AE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.因?yàn)镋F=2，F(xiàn)C=4，所以CH=CF=4，GH=EG=EH=FH-EF=2，即CG=2.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△ABH中，因?yàn)椤螧AG=30°，所以AB=，可列得方程x=x-2），解得x=

變式3：在正方形ABCD中，折線AE=3，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______.

解：如圖6，分別延長(zhǎng)AE和FE交BC于點(diǎn)G和H.因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，∠AEF=∠EFC=60°，所以AE∥FC.又因?yàn)椤螪AE=60°，所以可得∠FCH=∠AGB=60°，即△FCH和△EGH為等邊三角形.設(shè)AB=x，EF=a，在Rt△ABH中，因?yàn)椤螧AG=30°，可列得方程，

變式4：在正方形ABCD中，折 線 AE=3，EF=2，∠DAE=∠AEF=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______.

解：如圖7，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G，其余過程同變式2.

變式5：在正方形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠AEF=60°，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______.

解：解答過程同上述的解法4.

變式6：在正方形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______.

解：如圖8，分別以AB和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，a），過點(diǎn)E作EG⊥AD，垂足為G，再連接EG.因?yàn)锳E=3，∠DAE=60°，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為因?yàn)镋F=2，F(xiàn)C=4，∠EFC=60°，所以EC=.根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)E的兩點(diǎn)距離公式，可列得，解得a=

變式7：在正方形ABCD中，折線AE=3，EF=2，F(xiàn)C=4，∠DAE=∠EFC=60°，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______.

解：如圖9，延長(zhǎng)EF交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)F分別作FH⊥AD，F(xiàn)I⊥CD，垂足分別為H和I.因?yàn)椤螪AE=∠EFC=60°，所以△AEG為等邊三角形.因?yàn)锳E=3，EF=2，可得FG=EG-EF=設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△CFI中，解得

通過師生、生生合作，巧妙地利用了習(xí)題中的錯(cuò)題，將錯(cuò)題視為一種再學(xué)習(xí)的資源，通過錯(cuò)題不僅回顧了正方形、等邊三角形、30°特殊直角三角形的性質(zhì)以及常規(guī)的輔助線的做法，也復(fù)習(xí)了解題中運(yùn)用的方程思想、轉(zhuǎn)換思想等.巧妙地利用錯(cuò)題資源進(jìn)行錯(cuò)題更正，變式練習(xí)，將學(xué)生單純地掌握知識(shí)提升到了運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行命題的新高度，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力也達(dá)到了另一個(gè)境界.

四、幾點(diǎn)思考

建構(gòu)主義觀點(diǎn)認(rèn)為：數(shù)學(xué)的知識(shí)不可能僅僅依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以鞏固，必須有一個(gè)自我否定、自我糾錯(cuò)的過程.所以，學(xué)生所犯的“錯(cuò)誤”是我們寶貴的教學(xué)資源.同樣，少數(shù)的試題“錯(cuò)誤”，如不嚴(yán)密、條件少、條件多……在平時(shí)的教學(xué)中，如能發(fā)現(xiàn)及時(shí)，并處理得當(dāng)，將會(huì)使課堂增色不少.正如上述的試題，“錯(cuò)誤”在于條件過多，七個(gè)條件中只要任意刪去一個(gè)都是一道好題，而且有個(gè)別題的思維含量還挺高的.

所以在課堂上出現(xiàn)不同的“錯(cuò)誤”時(shí)，我們切不可自亂陣腳，應(yīng)當(dāng)要惜“寶”，要有自己的“待錯(cuò)”態(tài)度：容錯(cuò)——思錯(cuò)——糾錯(cuò).

1.容錯(cuò)

對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤我們或許會(huì)理性和寬容，但是對(duì)待試題中的“問題”，可能就有老師說了：“題目有問題，這是一個(gè)錯(cuò)題.”其實(shí)，題目出得不嚴(yán)謹(jǐn)固然不對(duì)，需要克服，但是既然遇到了這個(gè)問題，我們不如“將錯(cuò)就錯(cuò)”，好好利用好這個(gè)“錯(cuò)題”.

2.思錯(cuò)

在上述的試題呈現(xiàn)出幾種不同的答案時(shí)，學(xué)生達(dá)到了最高的興奮點(diǎn).他們都想從別人的解答過程中看出什么破綻，但是又無濟(jì)于事，心里一直在想：到底“錯(cuò)在哪”.這是學(xué)生思維最為活躍的時(shí)候，也是最會(huì)產(chǎn)生智慧火花的時(shí)候.首先，他們肯定先檢查一番自己的解答過程，確定無誤后，再次回到題目上去，看是否審題出錯(cuò)，當(dāng)所有的檢查都確認(rèn)沒有錯(cuò)誤時(shí)，就有個(gè)別學(xué)生大膽地提出疑問：會(huì)不會(huì)是試題有問題？

3.糾錯(cuò)

通過師生、生生合作共同思錯(cuò)，接下來的糾正錯(cuò)誤也就水到渠成、迎刃而解了.試題不是條件多了嗎，那我們就一起進(jìn)行壓縮，把出現(xiàn)的新問題再一起解決.所以對(duì)待教學(xué)中的一些“錯(cuò)誤”，有時(shí)候不妨“將錯(cuò)就錯(cuò)”，或許能因錯(cuò)而美.

五、結(jié)束語(yǔ)

錯(cuò)題資源的巧妙運(yùn)用能讓學(xué)生全面參與到問題的認(rèn)知、探索、發(fā)現(xiàn)、設(shè)計(jì)中去，獲得系統(tǒng)性的知識(shí)，并提升合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)的能力.通過錯(cuò)題資源的合理運(yùn)用，使課堂教學(xué)方式和模式多樣化，既梳理了知識(shí)內(nèi)容，也使學(xué)生學(xué)習(xí)能力得到了有效的提升，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.錯(cuò)題不再是實(shí)際意義上的錯(cuò)題，而是一種再學(xué)習(xí)的資源，只要我們?cè)诮虒W(xué)中多思考、多利用，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣激發(fā)了，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力也提升了.

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