☉江蘇徐州市第十三中學(xué) 楊亞秋

在初中階段，我們經(jīng)常會碰到求線段之和最短、多邊形的周長最小等類型的問題，面對這些問題，許多學(xué)生往往束手無策，一頭霧水，究其原因，多半是平時不善于對所學(xué)知識、所做題型進行小結(jié)與反思.一旦學(xué)生平時缺少整理與反思，碰到問題時，自然會無據(jù)可依，無從下手.今天，我就和大家一起來談?wù)勛疃搪窂絾栴}中的一類簡單問題的處理策略，以饗讀者.

【問題背景】我們知道，當點A、B在直線l的異側(cè)時，要在直線l上找點P，使得PA+PB值最小，只需連接AB，與直線l的交點P即為所求.那么，若點A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找點P，使得PA+PB值最小，我們又該如何處理呢？對于這種類型，可以找出A點關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，與直線l交于點P，由對稱性可知，PA′=PA，此時A′、P、B在同一直線上，PA+PB有最小值.

許多考題中都隱含了這種處理的策略，先來看一道函數(shù)題，如下：

【問題1】如圖1，已知點P是拋物線y=-x2+2x+3的對稱軸上的一個動點，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，當PA+PC的值最小時，求P點的坐標.

【思路分析】由于A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱，所以可以利用二次函數(shù)的對稱性，將線段PA轉(zhuǎn)化成線段PB，這樣當點C、P、B在一條直線上時，PA+PC有最小值.

【簡析】根據(jù)拋物線的表達式y(tǒng)=-x2+2x+3，易求得點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）.

因為A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱，所以PA=PB，如圖2，故（PA+PC）min=（PB+PC）min.不難發(fā)現(xiàn)，當C、P、B在一條直線上時，（PB+PC）min=BC=3，此時直線BC的解析式為y=-x+3，與拋物線的對稱軸直線x=1的交點為P（1，2）.

【點評】這是二次函數(shù)中典型的最短路徑問題，解題時關(guān)鍵是要借助二次函數(shù)本身固有的對稱性，將對稱軸同側(cè)的兩定點轉(zhuǎn)化到對稱軸的異側(cè)，這樣問題就變得清晰、明朗了.

再來看一道幾何題：

【問題2】如圖3，正方形ABCD的邊長為3，點E在邊AB上，且BE=1.若點P在對角線BD上移動，則PA+PE的最小值是______.

【思路分析】A、E兩點分布在直線DB的同側(cè).由于正方形關(guān)于其對角線成軸對稱，所以可以借助A、C兩點關(guān)于對角線DB對稱，將線段PA轉(zhuǎn)化成線段PC來解決.當點C、P、E在同一直線上時，PA+PE有最小值.

【簡析】連接CE交DB于點P，連接PA，如圖4.

由正方形的對稱性，可知PA=PC，則（PA+PE）min=（PC+PE）min=EC=

【點評】遇到正方形這類本身就具有對稱性的特殊圖形，要仔細分析題設(shè)條件，挖掘圖形中隱含的對稱關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的基本圖形結(jié)構(gòu)，從而順利解題.

最后，我們一起來看一道中考題：

【考題再現(xiàn)】如圖5，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長的最小值為______.

【思路分析】由AE=CG，BF=DH，易證得四邊形EFGH為平行四邊形.要求平行四邊形EFGH周長的最小值，只要求得其周長的一半的最小值即可，即EF+FG的最小值.點E、G分布在直線BC的同一側(cè)，求最小值問題，這就又回到了兩點在直線的同側(cè)，求線段之和最小值的基本問題上了.

【簡析】如圖6，作E點關(guān)于BC的對稱點E1，連接GE1，交BC于點K，連接KE，再過點G作GM⊥AB于點M.

由AE=CG，BE=BE1，得ME1=AB=10.

又GM=AD=5，則GE1=

則四邊形EFGH周長的最小值為2E1G=10

【點評】此題是一道中考的中檔題，由于定矩形中的平行四邊形是個動平行四邊形，這在一定程度上加大了此題的難度，仔細推敲后，我們可以發(fā)現(xiàn)，利用AE=CG及點E的對稱點E1，總可以構(gòu)造一個以矩形的長、寬為直角邊的直角三角形，這樣就可以求得斜邊的長度，其實就是所求平行四邊形的周長的一半.解決此題運用了“動中尋靜”“變中探不變”的數(shù)學(xué)思想.

數(shù)學(xué)中的最短路徑問題，對初中學(xué)生來說還是有一定困難的，其類型繁多，有時要利用圖形中的對稱關(guān)系，有時要對幾何體進行側(cè)面展開等.但是，只要我們掌握了其中一類問題的求解策略及解決問題的基本方法，那么再難、再復(fù)雜的最短路徑問題，我們也可以將其化繁為簡，將問題基本化.這就要求我們平時在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，要多總結(jié)、多反思，以不變應(yīng)萬變.W