☉浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學 沈岳夫

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中明確指出：數(shù)學在應用方面需要大力加強，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識的形成過程.“新定義型”試題是考查學生數(shù)學能力的最好題型之一，它既能考查學生適應新問題、接受新知識、認識新事物的能力，又能考查學生的自學能力，信息的收集、遷移和應用能力.此類題型新穎別致，頗具魅力，已成為中考試題中的一朵奇葩，其中對新概念信息的提取、化歸轉(zhuǎn)化和分類是求解的關(guān)鍵，也是一個難點.本文以柯橋區(qū)2017學年第一學期期終學業(yè)評價調(diào)測試卷八年級數(shù)學第26題“新定義型”試題為例，談談自己的一些認知與探析.這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.例如，如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”.

（1）判斷（對的打“√”，錯的打“×”）

①等邊三角形不存在“和諧分割線”；（ ）

②若三角形中有一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形必存在“和諧分割線”.（）

（2）如圖2，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，請畫出“和諧分割線”，并計算“和諧分割線”的長度.

（3）如圖3，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，∠A=42°，求∠B的度數(shù).

一、試題呈現(xiàn)

題目 定義：經(jīng)過三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內(nèi)角相等，那么把

本題的母題源于2016年寧波市中考數(shù)學試卷，經(jīng)命題人改編而生成次壓軸題，此題是以三角形為依托，全面考查了三角形、特殊三角形、勾股定理等知識點及分類討論的數(shù)學思想，綜合性較強.在閱卷結(jié)束時，筆者發(fā)現(xiàn)此題得分率很低，得滿分（滿分8分）者寥寥無幾，特別是第（3）小題不少學生無從下手，失分現(xiàn)象尤為嚴重.那么該題如何解？筆者愿以此文與各位同仁探討.

二、思路探析

毋容置疑，這是一道設置新穎、獨特的期末考次壓軸拉分題，命題人將一道“新定義型”的題目設置成三個問題，難度由淺入深，層層遞進，學生的思維需要拾級而上.三個問題所表現(xiàn)的功能涇渭分明，清晰可見，問題之間確立的關(guān)系起承轉(zhuǎn)合，水到渠成.第（1）問謂“起”.問題的起源，起點低，容易上手，激發(fā)了學生進一步探究“和諧分割線”的理解與運用.第（2）問謂“承”.承上啟下，把第（1）問中的正誤判斷過渡到畫出“和諧分割線”并計算它的長度，為第（3）問的設置作好鋪墊.第（3）問謂“轉(zhuǎn)”.峰回路轉(zhuǎn)，問題的考查的能力、基本思想和呈現(xiàn)方式都發(fā)生了很大變化.在求解時需積累感悟第（2）問的經(jīng)驗逆向思考，然后進行分級分類思考，即先考慮△ACD或△BCD是等腰三角形，然后再考慮腰、底邊的情形，這才是破解第（3）問的關(guān)鍵.當然這些念頭其實是前兩小題遷移而來，是一種順勢而為，是一種經(jīng)驗的“噴薄”.

解：（1）①填“√”；②填“√”.

（2）由題意，作∠A的平分線，交BC與點D，則AD為“和諧分割線”，進而可求得AD=

（3）此題需要進行兩級分類思考：

當△ACD是等腰三角形時，

若AC=AD，因為∠A=42°，則∠ACD=∠ADC=69°，所以∠CDB=111°.由題意得∠ACB=111°，所以∠DCB=111°-69°=42°，進而可得∠B=27°；

若AD=CD，因為∠A=42°，則∠ACD=∠A=42°，所以∠CDB=84°.由題意得∠ACB=84°，所以∠DCB=84°-42°=42°，進而可得∠B=54°；

若AC=CD，因為∠A=42°，則∠CDA=∠A=42°，所以∠CDB=138°.由題意得∠ACB=138°，所以∠BCD=138°-96°=42°，進而可得∠B=0°，不合題意，舍去.

當△BCD是等腰三角形時，

若CD=BD，設∠B=x°，則∠BCD=∠B=x°，進而可得∠ADC=2x°，∠ACD=138°-2x°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°.根據(jù)題意，若∠ACB=∠ADC時，得138°-x°=2x°，解得x=46°，所以∠B=27°.

若CD=CB，設∠B=x°，則∠CDB=∠B=x°，進而可得∠ADC=180°-x°，∠ACD=x°-42°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°.根據(jù)題意，若∠ACB=∠ADC時，得138°-x°=180°-x°，不合題意，舍去.

若BC=BD，設∠B=x°，則∠BCD=∠BDC=90°-進而可得∠ADC=90°+∠ACD=90°-42°，∠ACB=∠ACD+∠BCD=138°-x°. 根據(jù)題意，若∠ACB=∠ADC時，得138°-x°=90，解得x=32°，所以∠B=32°.

綜上所述，滿足條件的∠B度數(shù)為27°、54°、46°和32°.

評注：解答此題只有深刻領(lǐng)悟“和諧分割線”的含義——經(jīng)分割以后，一個是等腰三角形、另一個三角形和原三角形相似.因此，導致不少學生被第（3）問“卡殼”的主要原因在于：一是考慮不周，被圖3所迷惑，默認只有△ACD是等腰三角形；二是導角能力弱，當△BCD是等腰三角形時，找不出角之間的等量關(guān)系；三是分類意識差，學生沒有注意到圖形2是唯一的、確定的，而圖形3是不唯一的、不確定的，進而沒有兩級分類.當然，此題第 （3）問，為了減少計算量 （需計算6次），可再約定△BCD是等腰三角形這個條件，同樣能達到考查目的，這樣命題或許會好一點.

三、鞏固提升

鄭毓信教授曾說過：“知識求連，方法求變.”變則靈動，變則鮮活，變出智慧，變出情趣，“變”打開了學生獲取解題方法的有效通道.進行有效試題“變式”可以鏈接中考試題或改編題，進一步感悟、理解問題的本質(zhì)，數(shù)學思想方法，提升分析、思考、研究問題的思維能力.

1.真題展示

（2016年浙江·寧波卷）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.

（1）如圖4，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線.

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù).

解析：（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明：①△ABC不是等腰三角形；②△ACD是等腰三角形；③△BDC∽△BCA即可.

（2）分類討論：分三種情形討論即可.①如圖6，當AD=CD時，可求得∠ACB=96°；②如圖7，當AD=AC時，可求得∠ACB=114°；③如圖8，當AC=CD時，不合題意.

所以∠ACB=96°或114°.

2.試題改編

給出一個新定義：如果三角形的一個內(nèi)角恰好是另一個內(nèi)角的一半，那么這個三角形叫做“半角三角形”.例如，在△ABC中，則△ABC是“半角三角形”.

（1）若“半角三角形”是直角三角形，求它的三個內(nèi)角度數(shù).

（3）①如圖10，“半角三角形”ABC中，∠B=32°，∠C=64°，則可以把△ABC分割成兩個等腰三角形，請你給出分割的方案；

②“半角三角形”是否一定可以分割成兩個等腰三角形？并請說明理由.

解析：（1）此問中的另一個內(nèi)角并沒有指明是直角還是銳角，因此需要分類討論：當一個內(nèi)角是直角的一半時，三角形的三個內(nèi)角度數(shù)分別為90°，45°和45°；當一個銳角是另一銳角的一半時，三角形三個內(nèi)角度數(shù)分別為90°，30°和60°.

（2）此問可運用：如果一個三角形是2倍角三角形，則2倍角所對邊的平方等于一倍角所對邊乘以該邊與第三邊的和.如圖6，在△ABC中，若∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C所對的邊分別用a、b、c表示，則a2=b（b+c）.

（3）①因為在2倍角的三角形中，當2倍角關(guān)系中較小的那個角小于45°時，一定能分成兩個等腰三角形.具體圖形略；

②不一定.反例：如三個內(nèi)角度數(shù)為100°，50°，30°的三角形；一般情況，若三個內(nèi)角為2α，α，180°-3α，且45°＜α＜60°的三角形就不能分割成兩個等腰三角形.

四、解題反思

“數(shù)學試題是永遠做不完的！”那么如何在中考備考復習中通過一個或少數(shù)題目實現(xiàn)課堂教學效益的最大化呢？筆者認為進行一題多考量、一題多串聯(lián)是一種非常有益的嘗試.

首先，一題多考量有助于學生對數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的理解和運用，有助于學生遷移能力的形成，有助于學生發(fā)散思維能力的提高.學生通過多角度思考問題，深入探究問題本質(zhì)，從而找到解決問題的途徑.通過把同一問題的不同方法放在一起探究，不僅對解題方法作了歸納總結(jié)，而且對解題思想進行了梳理.這樣的教學方式，一方面能使學生避免“題海”戰(zhàn)術(shù)，減輕學生課業(yè)負擔；另一方面對知識的掌握、思維和能力的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用.

其次，一題多串聯(lián)是指從不同角度，或不同情境，或不同層次，對數(shù)學中的某些例題、習題或中考試題進行條件的弱化或變化，使其暴露問題的本質(zhì)特征，從而揭示不同知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過解決原問題促進新問題的誕生和解決.一題多串聯(lián)教學不僅僅是一種數(shù)學教學方式，而且是一種數(shù)學教學思想，通過一題多法、一圖多變、一題多變等訓練，幫助學生在變式訓練中發(fā)展思維的靈活性與發(fā)散性.“解一題，會一類，通一片”，讓學生由此及彼，并感悟出同類問題的深層結(jié)構(gòu)，使得學生下次再碰到類似問題時能快速找到切入點，順利貫通思路，提升解題能力的同時，發(fā)展數(shù)學洞察力，訓練思維的深度，讓一題多變成就精彩，讓課堂高效起來.

1.沈岳夫.對一道期末考試題的研究與拓展［J］.中學數(shù)學（下），2017（3）.

2.沈岳夫.細研解題思路 提煉解題模型［J］.數(shù)學數(shù)學，2017（1）.

3.嚴浩良，沈岳夫.對一道“新定義”型探究題的解法探析與拓展［J］.中學數(shù)學（下），2016（2）.

4.沈岳夫.抓住特殊角度 探求一題多解［J］.數(shù)學數(shù)學，2017（2）.J