☉湖北武漢市第四十五中學(xué) 葉志剛

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平上和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上”“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解與掌握基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”.課本例題、習(xí)題作為滲透新理念、傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力的主要載體，教師應(yīng)進(jìn)行充分挖掘和研究，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合理的學(xué)習(xí)情境，構(gòu)建開(kāi)放的學(xué)習(xí)環(huán)境.

在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師迫于考試壓力而拼命補(bǔ)充課外習(xí)題，讓學(xué)生大量地、單調(diào)地重復(fù)著某個(gè)或某幾個(gè)方法和技能，而對(duì)于課本上的例題、習(xí)題的講解基本上是蜻蜓點(diǎn)水，一帶而過(guò)，忽視了課本例題、習(xí)題的潛在功能.課本上的例題、習(xí)題蘊(yùn)含著許多中學(xué)階段用到的數(shù)學(xué)思想方法.

用心領(lǐng)會(huì)課本的精髓，挖掘出例、習(xí)題設(shè)計(jì)的內(nèi)在教育價(jià)值，精選課本中的典型例、習(xí)題，進(jìn)行充分運(yùn)用、挖掘、延伸、改造，能有效提高教學(xué)效率，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整合、方法的遷移，提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

下面對(duì)新人教版教材一道經(jīng)典習(xí)題作如下拓展延伸：

課本原題：（人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)P83第12題）如圖1，△ABD、△AEC都是等邊三角形，求證：BE=DC.

由已知條件易證AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，則△ABE≌△ADC，因此BE=DC.

此題看似簡(jiǎn)單，如果深入挖掘則能得到一些新的結(jié)論，從而拓展學(xué)生的思維空間，提升學(xué)習(xí)能力.

一、設(shè)計(jì)遞進(jìn)問(wèn)題，將數(shù)學(xué)思維引向深入

如圖2，設(shè)BE、DC交于點(diǎn)F，連接AF，設(shè)置遞進(jìn)問(wèn)題：

問(wèn)題（1）：你能求∠BFD的度數(shù)嗎？

如圖3，由上面的證明過(guò)程可知△ABE≌△ADC，因此∠ABE=∠ADC.又∠1=∠2，則∠BFD=∠BAD=60°.

問(wèn)題（2）：FA是∠DFE的角平分線嗎？

如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DC于G，AH⊥BE于H.因?yàn)椤鰽BE≌△ADC，所以S△ABE=S△ADC，BE=DC，由此易知AG=AH，故FA是∠DFE的角平分線.

如圖4，由問(wèn)題（1）知∠BFD=60°，所以∠DFE=120°.

由問(wèn)題（3）知FA是∠DFE的角平分線，所以∠AFH=60°，可求得AH=3.由勾股定理可得EH=4，BH=9，所以BE=13，故S=BE·AH=△ABE

問(wèn)題（4）：在問(wèn)題（3）的條件下，求點(diǎn)D、C到直線BE的距離和.

如圖5，分別過(guò)點(diǎn)D、C作DM⊥BE于M，CN⊥BE于N.因?yàn)椤螧FD=60°，所以DM=FD·sin∠DFM=FD.同理，CN=FC.所以DM+CN=（FD+FC）=DC=BE=，即點(diǎn)D、C到直線BE的距離和為

問(wèn)題（5）：求證：FA+FB+FC=CD.

如圖6，在DC上截取DG=BF，連接AG.易證△GAD≌△FAB，可得AG=AF，即可判定△FAG為等邊三角形，可得AF=GF，即可證FA+FB+FC=CD.

問(wèn)題（6）：將△AEC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？

如圖7，由問(wèn)題（1）可知∠BFD=60°，將△AEC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，△ABE≌△ADC總成立，故∠BFD=60°總成立.由圓周角定理可推知點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓弧.

……

類似的問(wèn)題還可以設(shè)置很多，解決這些問(wèn)題的核心知識(shí)，就是由課本原題所推理出的基本結(jié)論，即當(dāng)條件為△ABD、△AEC都是等邊三角形時(shí)，有結(jié)論：①△ABE≌△ADC；②∠BFD=60°；③FA平分∠DFE.通過(guò)這些基本結(jié)論的分析運(yùn)用，讓學(xué)生在問(wèn)題的解答中暴露思維過(guò)程，加深對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.以課本原題為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的層層遞進(jìn)的問(wèn)題，讓學(xué)生在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之間的聯(lián)系，從而提高思維能力.這些一個(gè)比一個(gè)深入的問(wèn)題情境，能激發(fā)學(xué)生積極思考、深入探研、系統(tǒng)掌握知識(shí)，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解不僅僅停留在表面，而是能夠較好地建立知識(shí)體系，并用知識(shí)體系靈活解決實(shí)際問(wèn)題.

二、將問(wèn)題特殊化，探尋數(shù)學(xué)思維新的生長(zhǎng)點(diǎn)

將課本原題中的△AEC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)（將問(wèn)題特殊化往往是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)），如圖8，設(shè)直線BE、DC分別交直線AD、AE于點(diǎn)K、L，除了△ABE≌△ADC，還有其他三角形全等嗎？

因?yàn)椤鰽BE≌△ADC，所以∠ABK=∠ADL.

又∠BAK=∠DAL=60°，BA=DA，所以△ABK≌△ADL.

同理可證△AEK≌△ACL.

如圖9，連接KL，KL與BC平行嗎？

由△ABK≌△ADL，可得AK=AL.又因?yàn)椤螷AL=60°，所以△AKL是等邊三角形，故∠ALK=∠EAC=60°，所以KL∥BC.

當(dāng)點(diǎn)C在線段BA上時(shí)，如圖10，KL與BC還平行嗎？

此時(shí)圖形雖然發(fā)生了變化，但是證明思路還是一樣的，同樣可證明KL∥BC.

進(jìn)一步將圖形的變換進(jìn)行到底，如果將圖8中△AEC沿BA向右平移c個(gè)單位，得到△A′EC，其他條件都不變，如圖11，KL與BC還平行嗎？

設(shè)AB=a，A′C=b，過(guò)K、L分別作KM⊥AB，LN⊥AB，垂足分別為M、N.

進(jìn)一步將問(wèn)題延伸拓展，如圖12，當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？如圖13，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡又是什么呢？

圖12中，當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，∠BFD總等于60°，可知∠AFC=120°，由圓周角定理可推知點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓弧，圖13中，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，∠BFD=60°，同理可知點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧.

通過(guò)以上問(wèn)題的探索、研究，使學(xué)生解決問(wèn)題的方法、思路越來(lái)越靈活與深刻，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)問(wèn)題的表象，一步一步接觸到了數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).

對(duì)教材中的例、習(xí)題進(jìn)行多層次變換，特別是變換圖形的位置、形狀，可以訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性.通過(guò)探究圖形在變化過(guò)程中所隱含的規(guī)律，讓學(xué)生研究特殊圖形與任意圖形的區(qū)別與聯(lián)系，通過(guò)一靜一動(dòng)，體會(huì)特殊與一般的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，動(dòng)靜結(jié)合，讓學(xué)生在靜中學(xué)法，在動(dòng)中應(yīng)用；雖然題目在不斷進(jìn)行變式，但思路還是保持“多變歸一”，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)探究的過(guò)程中，充分體驗(yàn)“一題多變”的樂(lè)趣與“多變歸一”的妙趣.

三、改變圖形形狀，提高類比遷移能力

將課本習(xí)題進(jìn)行推廣、拓展和延伸，給學(xué)有余力的學(xué)生提供思考的空間和發(fā)揮的平臺(tái).提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用和遷移運(yùn)用能力，體會(huì)數(shù)學(xué)基本思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的類比猜想、探究推理能力.

如圖14，將課本原題中的條件“△ABD、△AEC都是等邊三角形”變?yōu)椋?/p>

（1）“△ABD、△AEC都是等腰三角形，兩頂角∠BAD=∠CAE，求證：BE=DC”，可以嗎？

（2）“正方形ABGD和正方形ACFE，求證：BE=DC”，可以嗎？

（3）再將正方形變?yōu)檎暹呅?、正六邊形、…、正n邊形，能否得到類似結(jié)論？

（4）將原題圖形中的“形外”變?yōu)椤靶蝺?nèi)”，上述結(jié)論是否還成立？

……

在這些問(wèn)題中，不論圖形發(fā)生了怎樣的改變，△ABE≌△ADC總成立，故BE=DC.這些問(wèn)題的設(shè)置，使學(xué)生在起初的驚奇、疑惑和略加證明后的豁然開(kāi)朗中發(fā)現(xiàn)：異圖同解，各盡其妙；不變中有變，變中有不變.達(dá)到了“做一題，解一類”的目的，使學(xué)生解題、思維的能力得到升華.

以上只是對(duì)一道課本習(xí)題的一連串思索，然而我們所獲得的卻遠(yuǎn)非解答這道習(xí)題本身，既讓學(xué)生掌握了一類問(wèn)題的規(guī)律與內(nèi)在聯(lián)系，又使師生獲得了研究問(wèn)題的一些基本方法，同時(shí)對(duì)減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、探究性和創(chuàng)造性也有一定的促進(jìn)作用.

數(shù)學(xué)教材是一批教育教學(xué)專家依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、經(jīng)過(guò)反復(fù)審編形成的教學(xué)素材，其基本理念、基本要求具有導(dǎo)向性.目前數(shù)學(xué)教材仍是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的基本范本，更是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.因此平時(shí)教學(xué)時(shí)，教師要能充分利用教材素材，明晰數(shù)學(xué)概念，展開(kāi)數(shù)學(xué)“悟”的過(guò)程，以課本中的例題、練習(xí)題、習(xí)題為基礎(chǔ)，通過(guò)類比、加工改造、加強(qiáng)條件或減弱條件、延伸或擴(kuò)展，對(duì)課本習(xí)題進(jìn)行改編，這樣能有效地避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，引導(dǎo)教師遠(yuǎn)離資料的干擾，減少收集過(guò)多教材以外的題目，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，以發(fā)揮良好的教學(xué)導(dǎo)向功能.因此，我們的教學(xué)要回歸課本，認(rèn)真研究教材，發(fā)揮教材的示范作用.

總之，在新課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，教師可以不拘泥于教材，可以不按教材教學(xué)，教師要有獨(dú)立性，要能根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)際情況創(chuàng)造性地使用教材.但在課本例題、習(xí)題的教學(xué)中，教師首先要對(duì)課本例題、習(xí)題進(jìn)行認(rèn)真分析和研究，為學(xué)生參與實(shí)踐、自主探究、合作交流、閱讀自學(xué)提供豐富的學(xué)習(xí)資源，從而幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，讓學(xué)生在開(kāi)放的教學(xué)環(huán)境中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展自己的數(shù)學(xué)能力.

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