☉湖北省陽新縣白沙中學(xué) 羅 峻

☉武漢市漢南區(qū)紗帽中學(xué) 段利芳

在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常會碰到一些陳題.所謂陳題，是指以前?？嫉念}目或研究過的題目，其中，不乏經(jīng)典“名題”.對教師而言，見過的陳題太多，往往會從心底摒棄這些題目，于是千方百計地搜集大量的新題，進行了大運動量的練習(xí)，結(jié)果適得其反，收效甚微.其實，如果能對這些經(jīng)典陳題作些適度的探究和挖掘，進行一題多解、一題多變等訓(xùn)練，那么可以獲得具有探索性的問題及有價值的解法，進而有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和深刻性，提高學(xué)生的推理能力、探究能力及創(chuàng)新意識.下面以一道經(jīng)典陳題為例說明如下，供讀者參考.

一、原題再現(xiàn)

如圖1，已知△ABC是等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，且使AE＝BD，連接CE、DE.求證：CE＝DE.

二、解法探究

這是一道典型的幾何證明題，涉及等邊三角形性質(zhì)及等腰三角形的判定，對初學(xué)幾何知識的初中生來說有一定的難度.給出的圖形中，線段CE和DE無法直接證明，既無法證明∠ECD＝∠EDC，也無法證CE、DE所在的三角形全等.因此，應(yīng)想到作輔助線，而作出適當(dāng)?shù)妮o助線，是初學(xué)者的軟肋.初看題目，與課本一道習(xí)題的圖形有很大聯(lián)系（見“試題起源”中的圖形），于是產(chǎn)生了下面的解法.

思路一：利用△ABC是等邊三角形的條件，過某個點作平行線，產(chǎn)生新的等邊三角形，再證與CE、CD有關(guān)的三角形全等.

證法一：過點E作平行線，產(chǎn)生以BE為邊的等邊三角形.

證明：如圖2，過E點作EF∥AC交BD的延長線于F.

由△ABC是等邊三角形和平行線的條件易知，△BEF是等邊三角形，所以BF＝BE＝EF.

又BC＝AB，則CF＝AE＝BD，則BC＝DF.

又∠B＝∠F＝60°，

所以△EBC≌△EFD（SAS），

所以CE＝DE.

注：作平行線后，把△BED補成等邊三角形，產(chǎn)生相等的線段，為三角形全等鋪平道路.也可以說△EBC與△EDF關(guān)于CD的垂直平分線對稱.證明所用的圖形、方法與課本習(xí)題類似.

證法二：作兩條平行線，產(chǎn)生兩個等邊三角形.

證明：如圖3，過點E作EF∥AC交BD的延長線于F，過點D作DG∥BE交EF于點G.

由△ABC是等邊三角形，易證△BEF、△GDF也是等邊三角形，那么四邊形ACFE是等腰梯形，則CF＝AE＝BD，則BC＝DF.又∠EAC＝∠EGD＝120°，AE＝EG，AC＝DG，

所以△ACE≌△GDE（SAS），

所以EC＝ED.

注：作兩條平行線后，產(chǎn)生了新的軸對稱圖形，這樣的軸對稱圖形不止一個：△EBC與△EFD，△BED與△FEC，△EAC與△EGD，△ABC與△GFD，它們都關(guān)于CD的中垂線對稱，這樣又會產(chǎn)生幾種證法，證法可類比證法二，這里略去.

證法三：作平行線，得到以AE為邊的等邊三角形.

證明：如圖4，過點E作EF∥BD交CA的延長線于F.

由△ABC是等邊三角形，易知△AEF也是等邊三角形，

所以EF＝AE＝BD，∠F＝∠B＝60°，CF＝BE，

所以△CEF≌△EDB（SAS），

所以CE＝DE.

注：證法三充分運用AE＝BD這個條件，以AE為邊作等邊三角形，證以CE、DE為邊的三角形全等.

證法四：作平行線，得到以BD為邊的等邊三角形.

證明：如圖5，過點D作DF∥AC交BE于F，則△BDF是等邊三角形，

所以FD＝BD＝BF＝AE.

由AE＝BF，得EF＝AB＝AC，

又∠CAE＝∠DFE＝120°，

所以△EFD≌△CAE（SAS），

所以CE＝DE.

注：證法四的實質(zhì)是構(gòu)造以BD為邊的等邊三角形，再證分別以ED、CE為邊的三角形全等.

證法五：作兩條平行線，在BD下部以BD為邊作等邊三角形.

證明：如圖6，分別過B、D點作AC、AB平行線交于點F，連接AF.

由△ABC是等邊三角形，易證△BDF也是等邊三角形，

易證AC＝AB，BF＝BD＝AE，∠EAC＝∠FBA＝120°，

則△EAC≌△FBA，

所以AF＝CE. ①

則AF＝DE. ②

結(jié)合①②得CE＝DE.

注：作兩條平行線后，會產(chǎn)生兩個特殊圖形：等邊三角形和平行四邊形，這樣為證全等提供了多個條件.

思路二：受證法五啟示，作平行四邊形，得出等邊三角形，再證有關(guān)三角形全等.

證法六：如圖6，以AE、DE為鄰邊作?AEDF，連接BF.

由BD＝AE，AE＝DF，則BD＝DF，

而DF∥BE，∠B＝60°，則∠BDF＝60°，

所以△BDF是等邊三角形，

所以∠ABF＝∠EAC＝120°，AB＝AC，BF＝BD＝AE，

所以△EAC≌△FBA，

所以AF＝CE，由平行四邊形知，AF＝DE，

所以CE＝DE.

證法七：如圖7，以AB、BD為鄰邊作平行四邊形ABDF，連接EF.

由AE＝BD＝AF，∠EAF＝60°，

易知△EAF是等邊三角形，

則∠EAC＝∠EFD＝120°，AE＝EF，AC＝AB＝DF，

所以△ACE≌△FDE（SAS），

所以EC＝ED.

證法八：如圖8，以DE、BD為鄰邊作平行四邊形BDEF，連接FA，則∠FEB＝∠EBD＝60°，由平行四邊形對邊相等知，EF＝BD＝AE，

所以△AEF是等邊三角形，

所以∠EAF＝60°＝∠BAC，

所以點F、A、C在同一條直線上.

易證FA＝EA，∠FAB＝∠EAC＝120°，AB＝AC，

所以△FAB≌△EAC，

所以EC＝BF＝DE.

注：思路二中的三種證法，即證法六、七、八，思路別具一格，都是先作平行四邊形，再證等邊三角形，最后證三角形全等，所用的知識點較前面五種證法更多，方法更靈活，綜合性增強了，溝通了各知識間的聯(lián)系與契合點，是創(chuàng)新思維的再一次運用.

思路三：利用30°的直角三角形的性質(zhì)和線段的中垂線.

證法九：作三條垂線.

如圖9，過點C作CF⊥BD于C點，過點E作EH⊥CF交BD于H，過點F作FG⊥EH于G.

由∠B＝60°知，∠BFC＝30°，

所以BF＝2BC.又BC＝AB，則BA＝AF.

由∠FEG＝30°知，EF＝2FG＝2CH. ①

由BD＝AE，BC＝AF知，CD＝BD-BC＝AE-AF＝EF. ②

結(jié)合①②得EF＝CD＝2CH，即H為CD中點，進一步得EH為CD垂直平分線，

所以CE＝DE.

證法十：作一條垂線.如圖10，過點E作EF⊥BD于F，易得∠BEF＝30°，所以BF＝①

由△ABC是等邊三角形，

所以AB＝BC.

又AE＝BD，BF＝BC＋CF，

所以由①得2BF＝BE＝AB＋AE＝BC＋BD＝BC＋（BC＋CD）＝2BC＋CD. ②

所以EF為線段CD的垂直平分線，

所以CE＝DE.

注：60°的角是一個特殊條件，與直角結(jié)合起來后會有定理“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”，證法九和證法十正是遵循這一特征，實現(xiàn)條件之間的轉(zhuǎn)化，證得EH（EF）為線段CD的垂直平分線.解答過程雖然迂回曲折，但另辟蹊徑，為初學(xué)者提供了一次絕好的思維訓(xùn)練，應(yīng)該值得肯定.

三、試題起源

仔細(xì)觀察原題及證法一可以發(fā)現(xiàn)，該題由人教版八年級上冊第82頁第6題改編而來，具體題目如下：如圖11，點D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE.求證：BD＝CE.［1］

對照課本題目與本文原題可以發(fā)現(xiàn)：將課本題目圖形中的AC、CE去掉，賦予∠ABC＝60°，并以BD為邊作等邊三角形，即為本文原題.本文原題的證法一正是受課本題目的啟示，作平行線補全圖形，證三角形全等，這也是絕大多數(shù)學(xué)生最先想到的證法.

課本例題和習(xí)題具有較強的示范性和權(quán)威性，將它們衍變會得出一個個新的甚至頗富思維含量的考題，可見課本是推陳出新的源泉.對演變的題目進行多角度的分析與解答，不僅能使學(xué)生鞏固所學(xué)的新知識，學(xué)會運用新知識解決實際問題，而且還有助于學(xué)生掌握和運用數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

四、變式探究

張奠宙先生說：“變式練習(xí)是中國數(shù)學(xué)教育的一個創(chuàng)造.”作為教師應(yīng)抓住習(xí)題之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生對典型習(xí)題進行演變、拓展和應(yīng)用.習(xí)題的每個變式，看似重復(fù)但都具有創(chuàng)新成分.通過變式練習(xí)，教師為學(xué)生的思維發(fā)展提供了一個個不斷向上的階梯，有利于學(xué)生夯實基礎(chǔ)，建構(gòu)完整合理的知識體系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維和能力.

變式1：原題背景不變，將△ABC放大，并賦予數(shù)值，求線段長.

題目1：如圖12，等邊三角形ABC的邊長是4，D在BC上，E在BA的延長線上，且CE＝DE，若AE＝2，求BD的長.

解析：如圖13，延長BC到F，使CF＝AE＝2，則BE＝BF.

因為△ABC是等邊三角形，所以△BEF也是等邊三角形，易證△BDE≌△FCE，所以BD＝CF＝2.

說明：本題將原題中的△ABC放大，并將條件與結(jié)論互換，解決問題的思路和方法并沒有改變.

變式2：探索原命題的逆命題.

題目2：如圖14，已知△ABC是等邊三角形，E在BA的延長線上，D在BC的延長線上，且ED＝EC.求證：AC＋DC＝AE.

說明：本題實質(zhì)是原題的逆命題，只是求證的結(jié)論寫成兩條線段的和的形式，證明的思路方法并沒改變，解答過程略.

變式3：探究原命題的大前提.

題目3：如圖15，已知△ABC中，∠B＝60°，延長BC到D，延長BA到E，使AE＝BD，連接CE、DE，若CE＝DE，求證：△ABC是等邊三角形.

證明：如圖16，延長BD到F，使DF＝BC，連接EF.

又CE＝DE，∠BCE＝∠EDF，則△BCE≌△FDE，

因此BE＝EF.又∠B＝60°，所以△BEF是等邊三角形，

則BE＝BF.

又AE＝BD＝CF，即AE＝CF，

所以AB＝BC，而∠B＝60°，所以△ABC是等邊三角形.

說明：本題設(shè)置的命題背景不變，將結(jié)論CE＝DE變?yōu)闂l件，進一步探究原命題的前提條件，△ABC是否為等邊三角形.

變式4：改變部分條件，探求角的度數(shù).

題目4：如圖17，△ECD中，EC＝ED，A是三角形外一點，且∠ECA＝60°，AC＋AD＝EC.求證：∠EDA＝60°.

解析：如圖18，延長CA到F，使CF＝CE，連接EF、AE.

由∠ACE＝60°，CF＝CE知，△CEF是等邊三角形，

則EF＝CE＝DE. ①

由AC＋AD＝EC和AC＋FA＝FC＝EC知，AD＝FA. ②

結(jié)合①②和公共邊AE知，△AEF≌△AED（SSS），

所以∠EDA＝∠F＝60°.

注：本題實際將本文原例題中的圖形，BA和BC隱去，并將已知與結(jié)論互換，來設(shè)置題目.解題的方法與原命題類似，都是利用60°角的條件來構(gòu)造等邊三角形，再證三角形全等.

變式5：改變C點位置，增設(shè)條件，探究線段和差關(guān)系.

題目5：如圖19，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，且∠ABD＝∠ACD＝60°，求證：BD＋CD＝AB.

證明：如圖20，延長BD至E，使DE＝CD，連接AE.

因為∠ABD＝∠ACD＝60°，所以A、B、C、D四點共圓.

由四邊形ABCD對角互補、等腰及圓周角定理得

∠ADC＝180°-∠ABC＝180°-∠ACB＝180°-∠ADB＝∠ADE，即∠ADC＝∠ADE.

又邊AD公共，CD＝DE，

所以△ADC≌△ADE，

所以∠E＝∠ACD＝60°，

所以△ABE是等邊三角形，

所以AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD.

說明：本題實際是“題目4”的逆命題，證明的難度增加不少.本題利用60°角的條件，把△ABD想象成等邊三角形的一部分，運用補形法解題.解題的關(guān)鍵是運用四點共圓找出隱性圓，并運用圓周角進行角的轉(zhuǎn)化，后面容易得出兩個三角形全等和另外一個等邊三角形，其解法極富思維含量.

變式6：改變C點位置，增設(shè)條件，探究線段的大小.

題目6： 如圖21，∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝90°-DC，比較：線段AB與AC大小，并證明你的結(jié)論.

解析：如圖22，以AC為邊在形外作正△ACE，則D在CE上，AC＝AE，∠E＝60°. 又因為∠ADB＝90°BDC，所以∠ADE＝180°-∠ADB-∠CDB＝180°-∠BDC）-∠CDB＝90°∠BDC＝∠ADB，即∠ADE＝∠ADB，∠ABD＝∠E＝60°，AD＝AD，

所以△ADB≌△ADE，于是AB＝AE，從而AB＝AC.

說明：解題的關(guān)鍵是還是利用60°角構(gòu)造等邊三角形，并如何將條件“∠ADB＝90°-1∠BDC”有效轉(zhuǎn)化，為

2此將∠ADB放在平角中考慮問題，得出∠ADB＝∠ADE，為后面的全等作鋪墊.

變式7：補全圖形，去掉AC，探究圖形特殊形狀.

題目7：如圖23，設(shè)C、D為線段BF上的兩定點，且BC＝DF，E為BF外一動點，當(dāng)E點運動使∠BEC＝∠DEF時，△BEF為等腰三角形嗎？并證明你的結(jié)論.

解析：如圖24，作△BEF的外接圓，并延長EC、ED交△BEF的外接圓于M、N，連接BM和FN.

由∠BEC＝∠DEF，則弧B（M＝F（N，則BM＝FN， ①

那么B（N＝F（M，其所對的圓周角∠BFN＝∠FBM. ②

結(jié)合①②和BC＝DF知，△BCM≌△FDN（SAS），

所以∠M＝∠N，所以B（E＝E（F，則BE＝EF，

所以△BEF是等腰三角形.

說明：本題實際是本文提到的課本練習(xí)題的逆命題.解決本題通過作出三角形外接圓，并運用圓的最重要的兩個性質(zhì)——圓心角定理和圓周角定理，來實現(xiàn)圓弧與線段及角度之間的轉(zhuǎn)化，思維跨度大，解法獨特，雖然是一道年份較久遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)競賽題，現(xiàn)在做起來，同樣很有思維價值.

五、一點感想

現(xiàn)在許多教師把教學(xué)的主要精力放在尋找網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資料、制作課件、上課、批改作業(yè)和講評題目等環(huán)節(jié)，而很少有人愿意花較多時間去進行解題研究.盡管有的教師為了教學(xué)需要解一些綜合題，但也是為了求得答案，保證課堂教學(xué)的順暢.如果這樣長此以往，課堂教學(xué)會很低效，不利于發(fā)展學(xué)生的思維能力.因此，在平時教學(xué)中，應(yīng)在海量的習(xí)題中篩選的基礎(chǔ)上，結(jié)合教材、輔導(dǎo)和命題經(jīng)驗精選、批選典型習(xí)題，其實陳題、舊題都無所謂，只要方法夠典型就行.

美國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“解題，就好像游泳一樣，是一種實際技能.當(dāng)你學(xué)習(xí)游泳時，你模仿其他人的手足動作使頭部保持在水面上，并最后通過實踐（實地練習(xí)游泳）來學(xué)會游泳，當(dāng)試圖解題時，你也必須觀察并模仿其他人在解題時的行為，并且最后通過實踐來學(xué)會解題”.因此在教學(xué)中教師應(yīng)該精選一些與所授內(nèi)容有關(guān)聯(lián)的典型問題，進行多角度解答.因為同一道數(shù)學(xué)題，可能有不同的解法，解題方法的不同，決定了“長度”的不同，難易程度的不同，適用的普遍性不同，而數(shù)學(xué)的一個重要崇尚法則就是解題的簡單性.數(shù)學(xué)教師的教學(xué)任務(wù)之一，不但要引導(dǎo)學(xué)生怎樣去探究同一問題的不同解法，讓學(xué)生體會、揣摩、模仿解題，學(xué)會“游泳”；還要對這些解法作對比，哪些方法最簡單、最實用.這樣讓學(xué)生體驗到解決問題方法的多樣性，探究問題的深刻性和廣闊性，擇優(yōu)比較中的獨創(chuàng)性、靈動性.

波利亞指出，“拿一個有意義而不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域”，引導(dǎo)學(xué)生一題多變，將經(jīng)典題目適當(dāng)引申、拓展，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鞏固新知，而且能在更廣闊的數(shù)學(xué)空間中探究幾何圖形的性質(zhì)，感受圖形、題目之間的內(nèi)在相互聯(lián)系，優(yōu)化思維過程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).通過變式訓(xùn)練，對教材中的例題、習(xí)題進行縱向或橫向的拓展，能加深學(xué)生對諸多知識和方法的理解，給學(xué)生營造一個“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的探究氛圍，變式教學(xué)給人一種新鮮、生動的感覺，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，能產(chǎn)生主動參與學(xué)習(xí)的動力，保持對學(xué)習(xí)活動的興趣和熱情.通過變式，學(xué)生學(xué)會從事物之間的聯(lián)系的矛盾上來理解事物的本質(zhì)，在一定程度上可以減少思維僵化及思維惰性，從而更深刻地理解課堂教學(xué)的內(nèi)容.

總之，在教學(xué)中，教師應(yīng)該精挑細(xì)選一些經(jīng)典考題，多角度分析探究解法，解題時應(yīng)總結(jié)思路，反思回顧，并提供該類題型的知識儲備、鏈接式講解，最后給出同類習(xí)題進行訓(xùn)練，練就一雙能夠洞察問題深層結(jié)構(gòu)的慧眼，以便同學(xué)們能舉一反三，做一題，會一類，通一片.

1.林群義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)上［M］.北京：人民教育出版社，2012.J