☉江蘇灌云縣九年制實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉 翠

數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，它不僅是一門學(xué)科更是一種文化，數(shù)學(xué)在發(fā)展的同時(shí)也承載了眾多的人文故事、情感文化.近年來中考對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的考查加強(qiáng)了數(shù)學(xué)文化的滲透，通過閱讀材料與問題探究的融合考查學(xué)生知識(shí)理解、問題探究的能力，因此有必要引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注以數(shù)學(xué)文化為背景的材料探究題.

一、真題解析，試題點(diǎn)評(píng)

1.真題呈現(xiàn).

（2017年山西中考卷第22題）背景閱讀：早在三千多年前，我國(guó)周朝數(shù)學(xué)家商高就提出：將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”.它被記載于我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.在本題中，我們把三邊的比為3∶4∶5的三角形稱為（3，4，5）型三角形.例如，三邊長(zhǎng)分別為9、12、15或的三角形就是（3，4，5） 型三角形.用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形.

實(shí)踐操作：如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm.

第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平.

第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF.

第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點(diǎn)N，然后展平.

問題解決：

（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中證明四邊形AEFD是正方形.

（2）請(qǐng)?jiān)趫D4中判斷NF與ND′的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

（3）請(qǐng)?jiān)趫D4中證明△AEN是（3，4，5）型三角形.

2.試題解析.

分析：（1）略.（2）首先需要理解古書中“勾三，股四，弦五”的具體含義，它表示直角三角形的三邊關(guān)系，其次理解何為（3，4，5）型三角形，即滿足上述三邊關(guān)系的直角三角形.證明邊的關(guān)系可以將其放置在特殊三角形中，利用三角形全等證明.（3）求證△AEN是（3，4，5）型三角形，需要求出三邊的值，可利用特殊圖形和折疊特性得相關(guān)條件，設(shè)出NF的邊長(zhǎng)，并表示出其他兩邊，將其放在直角三角形中，利用勾股定理求解，最后通過三邊之比證明.

解：（2）如圖5，連接HN.

由折疊知∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，∠EFD=90°，∠ND′H=90°.

（3）根據(jù)四邊形AEFD為正方形，可知AE=EF=AD=8cm.

由折疊特性知AD′=AD=8cm.

設(shè)NF=ND′=x，則AN=8+x，EN=8-x.

在Rt△AEN中，利用勾股定理解得x=2，則AN=10，EN=6，所以EN∶AE∶AN=6∶8∶10=3∶4∶5，則△AEN是（3，4，5）型三角形.

3.試題點(diǎn)評(píng).

本題是以數(shù)學(xué)文化為背景的材料閱讀、分析探究題，首先給出了“勾三，股四，弦五”的數(shù)學(xué)淵源，以此為載體開展幾何探究，問題的求解充分利用了材料信息，在理解（3，4，5）型三角形的基礎(chǔ)上，利用三角形相似及勾股定理進(jìn)行推理探究.對(duì)于以數(shù)學(xué)文化為背景的材料探究題，需要深入理解材料中的核心概念及相關(guān)特性，然后加以有效利用開展問題探究，信息理解是解題的基礎(chǔ)，基礎(chǔ)知識(shí)的調(diào)用是解題的關(guān)鍵.

二、試題銜接，思路剖析

以數(shù)學(xué)文化為背景的探究題的解題關(guān)鍵是理解、運(yùn)用，即充分理解材料中所陳述的概念、定理、公式，以及相關(guān)證明過程，對(duì)于公式中的相關(guān)符號(hào)必須有清晰的認(rèn)識(shí)，理解符號(hào)所代表的含義，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行深入分析，合理調(diào)用材料信息，必要時(shí)可以采用數(shù)形結(jié)合的方式加以分析.

試題1：（2016年涼山州中考卷第24題）閱讀下列材料并回答問題：

古希臘幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年），在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問題而聞名.他在《度量》一書中，給出了公式①和它的證明，這一公式稱海倫公式.

我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：

這說明海倫公式與秦九韶公式實(shí)質(zhì)上是同一公式，所以我們也稱①為海倫-秦九韶公式.

問題：如圖6，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別是D、E、F.

（1）求△ABC的面積；

（2）求⊙O的半徑.

分析：首先需要理解上述公式所表述的含義，無論是海倫公式還是秦九韶公式，都是利用三角形的三條邊長(zhǎng)求面積的.第（1）問求面積，利用海倫公式和秦九韶公式都可以，只需將邊長(zhǎng)代入即可；第（2）問求半徑，需要以圓心為公共點(diǎn)，將△ABC分割為幾個(gè)小三角形，設(shè)出半徑長(zhǎng)，表示出△ABC的面積，利用第（1）問的結(jié)論建立方程求解.

解：（1）a=BC=12，b=AC=7，c=AB=13，則p==16.

（2）如圖7，連接AO、BO、CO、OD、OE、OF.

⊙O內(nèi)切于△ABC，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OE=OF=r，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=16r.

根據(jù)第（1）問可知S△ABC=24，即16r=24，解得r=，即⊙O的半徑為

試題2：材料：“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的問題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”.下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖8）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)P，以P為圓心、2OP為半徑作弧交圖像于點(diǎn)R.分別過點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法，請(qǐng)研究以下問題：

（1）略；

（2）分別過點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q，請(qǐng)說明Q點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB.

分析：（2）首先需要理解題干所表述的“三等分角”及實(shí)現(xiàn)方法，對(duì)于證明Q點(diǎn)在直線OM上，只需說明點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程即可；證明∠MOB=AOB，需要說明∠POS=2∠SQB，可以根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)、外角的特性及直線平行的性質(zhì)推導(dǎo)轉(zhuǎn)化.

上述問題均為以數(shù)學(xué)文化為背景的探究題，理解材料信息、合理運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，試題1給出了海倫公式和秦九韶公式，求解過程在理解上述公式是“運(yùn)用三條邊長(zhǎng)求面積”的本質(zhì)上加以展開；試題2則給出了“三等分角”的概念及實(shí)現(xiàn)方法，求解過程以此為線索加以應(yīng)用展開.對(duì)信息的理解是解決材料探究題的關(guān)鍵，有效結(jié)合幾何性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合可實(shí)現(xiàn)問題的簡(jiǎn)便作答.

三、解后反思，教學(xué)思考

1.挖掘閱讀材料，感受數(shù)學(xué)文化.

上述均為以數(shù)學(xué)文化為背景的材料探究題，無論是“勾三，股四，弦五”的直角特性、海倫公式與秦九韶公式，還是經(jīng)典的“三等分角”概念，均蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)真理，是對(duì)數(shù)學(xué)真善美的充分體現(xiàn).該類題型對(duì)于拓展學(xué)生知識(shí)面、發(fā)展學(xué)生的推理能力有著極大的幫助.在教學(xué)中應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材的閱讀材料，深刻挖掘其中的數(shù)學(xué)文化和應(yīng)用特性，對(duì)其中的定義、概念、定理和公式進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化博大精深的同時(shí)提升自身的創(chuàng)造性.

2.經(jīng)歷探究過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的材料題本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的探究題，是從信息理解到探究應(yīng)用的過程，該過程體現(xiàn)出知識(shí)的形成，而問題的解答需要學(xué)生經(jīng)歷理解、觀察、猜想、證明等思維過程，同時(shí)該題型也折射出中考對(duì)于學(xué)生探究能力的考查要求，也是未來中考命題的發(fā)展方向.教師的思維無法代替學(xué)生的思維，照搬硬套只會(huì)弱化學(xué)生的理解能力，探究題有著較好的價(jià)值導(dǎo)向，深入講解可以使學(xué)生達(dá)到知識(shí)的內(nèi)化和自省，對(duì)于提升學(xué)生的思維能力極為有利.

3.依托數(shù)學(xué)文化，提升科學(xué)素養(yǎng).

中考試題對(duì)于數(shù)學(xué)文化史的引入也反映出中學(xué)課程“倡導(dǎo)數(shù)學(xué)文化價(jià)值”的理念，這在每一章節(jié)的閱讀材料中都有體現(xiàn).閱讀材料是對(duì)知識(shí)的一個(gè)補(bǔ)充和延伸，對(duì)學(xué)生深刻理解知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值及體系地位有著重要的意義.將文化史與數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)融合講解，利用文化史的吸引力及情感作用引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生“因史生趣，由愛到知”，可有效促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)建，科學(xué)素養(yǎng)、人文素養(yǎng)的提升，促進(jìn)素質(zhì)教育到教育方針的落實(shí).

四、寫在最后

數(shù)學(xué)文化在試題中的滲透融合開辟了中考命題的新方向，該類問題的解答也需要從理解數(shù)學(xué)文化所蘊(yùn)含的概念和公式入手，提取有效信息，開展深入探究，依托文化知識(shí)，解決數(shù)學(xué)問題.對(duì)于數(shù)學(xué)文化的日常教學(xué)，需要教師有效把握知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)文化的聯(lián)系點(diǎn)，深刻挖掘閱讀材料的文化價(jià)值，通過數(shù)學(xué)史的講解使學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生人文素養(yǎng)的提升，同時(shí)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生親歷探究過程，提升思維能力.

1.楊虎.重視閱讀材料挖掘數(shù)學(xué)文化——從2016年涼山州中考第24題談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.邢成云.文化打底素養(yǎng)立意——一道綜合與實(shí)踐創(chuàng)新題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（9）.

3.王新宇.基于數(shù)學(xué)文化視角的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（23）.

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