☉安徽合肥市包河區(qū)教研室 汪洪潮

課堂教學(xué)需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入分析，然后根據(jù)學(xué)情和經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)教學(xué)方案，最后組織實(shí)施教學(xué).然而，不少教師由于對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的精神領(lǐng)悟不透，對(duì)數(shù)學(xué)育人的內(nèi)涵理解不夠，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)挖掘不深，從而課堂教學(xué)立足于解題應(yīng)試，忽視對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練.如何改變這種現(xiàn)象呢？現(xiàn)以幾個(gè)案例說(shuō)明，只要我們?cè)诮虒W(xué)中，立意高一層、問(wèn)題進(jìn)一步、機(jī)會(huì)多一點(diǎn)，我們的課堂就會(huì)熠熠閃光，就會(huì)變得靈動(dòng)而有智慧，就會(huì)成為培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的樂(lè)園！

一、高立意，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察

世界是普遍聯(lián)系的，數(shù)學(xué)知識(shí)間也是密切聯(lián)系的.相同知識(shí)點(diǎn)有前后邏輯關(guān)系，不同知識(shí)也可能存在研究方法和套路的一致性.教學(xué)中，如果教師能跳出課時(shí)內(nèi)容的局限，站得更高一層，抓住知識(shí)間的聯(lián)系，就能引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)和觀察世界.

例如，在七年級(jí)學(xué)習(xí)“角”一課時(shí)，通常教師都是按照教材順序組織教學(xué)，即“觀察生活中的角——抽象得到角的圖形——介紹角的定義——介紹角的構(gòu)成元素——角的表示和度量”.這樣的安排沒(méi)有問(wèn)題，但是對(duì)“角”這樣一個(gè)全新的幾何概念，我們應(yīng)該研究什么？怎樣去研究？前面知識(shí)的學(xué)習(xí)有沒(méi)有幫助？它的學(xué)習(xí)對(duì)后續(xù)幾何圖形的學(xué)習(xí)有沒(méi)有借鑒價(jià)值？第十屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示活動(dòng)中，來(lái)自江蘇南通啟秀中學(xué)的汪健老師為我們提供了一個(gè)很好的案例.

師：前面我們學(xué)習(xí)了“直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段”的有關(guān)知識(shí)，我們都研究了哪些內(nèi)容？你能按順序說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：我們學(xué)習(xí)了定義、表示、分類(lèi)，以及線(xiàn)段的度量和比較、線(xiàn)段的和與差……

師：在學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)過(guò)程中，都用了哪些方法？

生：有度量法、疊合法、分類(lèi)討論、畫(huà)圖說(shuō)明.

師：角也是一個(gè)基本幾何圖形，請(qǐng)你猜想，我們要研究關(guān)于角的哪些內(nèi)容？

生：估計(jì)也要學(xué)習(xí)角的定義、表示、分類(lèi)、角的度量和大小比較、角的和與差……

師：可能會(huì)用到哪些方法？

生：估計(jì)也要用到度量法、疊合法、分類(lèi)討論、畫(huà)圖說(shuō)明.

……

本片段中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧“直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段”的研究歷程及研究方法，啟發(fā)學(xué)生思考“角”的研究?jī)?nèi)容和方法.“線(xiàn)段”和“角”都是基本幾何圖形，它們的研究?jī)?nèi)容和方法有內(nèi)在的一致性，而且這種研究?jī)?nèi)容、方法及經(jīng)驗(yàn)也為今后學(xué)習(xí)其他圖形（如三角形）提供了借鑒.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，立意高遠(yuǎn)，能有效引領(lǐng)學(xué)生從整體觀視角下審視我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容，把握幾何學(xué)習(xí)的基本方法和套路，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)具有奠基作用.

二、深追究，引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教師往往通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考，通過(guò)層層遞進(jìn)、有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，向知識(shí)的根源和本質(zhì)探索.問(wèn)題的質(zhì)量影響學(xué)生思維的參與程度，好的問(wèn)題，猶如一把鑰匙，引領(lǐng)學(xué)生步入數(shù)學(xué)理性思維的殿堂.

在滬科版九年級(jí)下冊(cè)“圓的基本性質(zhì)”一課中，教材上有如下例題，目的是鞏固和應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì).

例 已知：如圖1，AB、CD為⊙O的直徑.

求證：AD∥BC.

本題難度不大，解決方法多樣，學(xué)生往往采用三角形全等或平行四邊形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.但解答之后，總感覺(jué)意猶未盡.本題在鞏固和應(yīng)用新知方面比較簡(jiǎn)單，而圖形所蘊(yùn)含的圓的基本性質(zhì)沒(méi)有挖掘，學(xué)生思維的層次不高.為提升思維含金量，做如下引申：

（1）弧AD與弧BC相等嗎？

（2）任意矩形的四個(gè)頂點(diǎn)是否一定能在同一個(gè)圓上？為什么？

問(wèn)題（1）引領(lǐng)學(xué)生思考如何證明弧相等，根據(jù)定義“在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧叫作等弧”，因此，啟發(fā)學(xué)生思考如何將兩段弧重合，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)或旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)進(jìn)行證明.

問(wèn)題（2）既是對(duì)圓的定義的鞏固，更是為“如何證明四點(diǎn)共圓”提供一種思路.將矩形從圓中抽取出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思維，不僅可以鞏固“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”，也為后續(xù)學(xué)習(xí)“四點(diǎn)共圓”提供了范例.

有這兩個(gè)問(wèn)題的引領(lǐng)，思維的含金量陡然增加.通過(guò)問(wèn)題的解決，學(xué)生學(xué)會(huì)抓住圖形的本質(zhì)特征，通過(guò)正反兩個(gè)角度分析問(wèn)題，學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考.

同樣在滬科版八年級(jí)上冊(cè)“軸對(duì)稱(chēng)圖形”一課的教學(xué)中，教師布置如下問(wèn)題：

如圖2，由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的圖形，請(qǐng)?jiān)趫D中再增加一個(gè)同樣大小的小正方形，使之構(gòu)成軸對(duì)稱(chēng)圖形，共有幾種不同的擺法？

生：共有3種擺法.（然后上黑板一一指出）

教師肯定其答案正確后，就進(jìn)入了下一教學(xué)環(huán)節(jié).

本題難度不大，很多學(xué)生都能數(shù)出來(lái).但教學(xué)時(shí)，我們不能“就題論題”，應(yīng)該從題目中發(fā)現(xiàn)方法，尋找規(guī)律.如果教師按如下方式教學(xué)，那么立意和品位就會(huì)高很多：

師：你是如何思考的？怎樣才能保證不重復(fù)、不遺漏呢？

師：原圖周長(zhǎng)為10（如圖2，為方便分析，每條小正方形的邊依次記為1～10），添加的小正方形的一邊依次與原圖形的每一條邊重合，共有9種擺法（其中與邊4和邊5重合時(shí)重復(fù)了），其中能夠組成軸對(duì)稱(chēng)圖形的共有3種（即與邊3、邊6、邊10重合時(shí)）符合條件.

師（進(jìn)一步追問(wèn)）：如果添加兩個(gè)小正方形，使之構(gòu)成軸對(duì)稱(chēng)圖形，又有幾種擺法呢？該怎么思考呢？

雖然此題的答案很容易得到，但教學(xué)時(shí)，我們要淡化結(jié)果，重視分析問(wèn)題的方法和過(guò)程，如果教師能夠通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，將解決“如何有序擺放”的方法揭示出來(lái)，對(duì)后續(xù)解決“有序思考”的問(wèn)題很有借鑒意義，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在此過(guò)程中得到鍛煉和提高.

三、多放手，訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)

當(dāng)前，很多教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是學(xué)生會(huì)解題，考試得高分，忽略了對(duì)學(xué)生動(dòng)手和動(dòng)口能力的培養(yǎng)，教學(xué)停滯在“學(xué)生只要會(huì)做或能做對(duì)就行了”的較淺層次上.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和交流”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要任務(wù)之一，如何“培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”是每位教師應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題.

如何訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力呢？滬科版七年級(jí)上冊(cè)“線(xiàn)段的長(zhǎng)短比較”的教學(xué)片段給我們很好的啟示：

師：前面我們學(xué)習(xí)了直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段的有關(guān)知識(shí)，我們知道直線(xiàn)和射線(xiàn)是不可度量的，而線(xiàn)段是可以度量的，也就是說(shuō)線(xiàn)段是有長(zhǎng)短的，今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)線(xiàn)段的長(zhǎng)短比較（揭示課題）.其實(shí)，我們生活中就有類(lèi)似的比較，如比較甲、乙兩個(gè)同學(xué)的身高，你會(huì)嗎？

生：兩個(gè)同學(xué)站在一塊，背靠背站立進(jìn)行比較.

師：為什么要背靠背？

生：保證兩個(gè)人是豎直站立的，這樣才公平.

師：如果兩個(gè)同學(xué)一人站在臺(tái)階上，一人站在地面上，這樣背靠背比較行嗎？

生：不行，必須兩個(gè)人站在同一平地上，然后背靠背比較.

師：甲、乙兩個(gè)同學(xué)按要求站好了，怎么得出誰(shuí)高誰(shuí)低？

生：如果甲的頭比乙的頭低，就說(shuō)明甲比乙矮.

師：如果把甲、乙兩同學(xué)的身材分別看成線(xiàn)段AB和線(xiàn)段CD，“甲的頭比乙的頭低”這句話(huà)是什么意思呢？

生：甲、乙兩個(gè)同學(xué)的腳分別相當(dāng)于線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)A和C，而頭則分別是另一個(gè)端點(diǎn)B和D，“甲的頭比乙的頭低”這句話(huà)就是說(shuō)“線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B在線(xiàn)段CD上”.

師：你能結(jié)合甲、乙兩人身高的比較，說(shuō)說(shuō)如何比較線(xiàn)段AB和線(xiàn)段CD的長(zhǎng)短嗎？

生：“背靠背”就是說(shuō)兩條線(xiàn)段要疊合在一起（即在同一條直線(xiàn)上）；“站在同一平地上”，說(shuō)明線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)要重合.誰(shuí)長(zhǎng)誰(shuí)短就看第二個(gè)端點(diǎn)的位置了.

師：兩條線(xiàn)段長(zhǎng)短的比較，有幾種可能呢？

生：點(diǎn)B落在CD之間（即端點(diǎn)C、D之間），AB＜CD；若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，就說(shuō)明AB=CD；如果點(diǎn)B在線(xiàn)段CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則AB＞CD.

師：非常好，我們從比較身高的方法中，總結(jié)出線(xiàn)段長(zhǎng)短比較的方法.

……

本片段，教師緊緊抓住“比較兩個(gè)同學(xué)身高”的情境，啟發(fā)學(xué)生思考：如何比較身高？注意事項(xiàng)是什么？這些方法和注意事項(xiàng)轉(zhuǎn)化到線(xiàn)段長(zhǎng)短的比較又是什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)？最后總結(jié)歸納出線(xiàn)段長(zhǎng)短比較的方法.

學(xué)生通過(guò)不斷修改和完善，逐步學(xué)會(huì)了用規(guī)范和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)與交流，在此過(guò)程中，數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性得到很好的體現(xiàn).

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，我們要通過(guò)對(duì)概念的學(xué)習(xí)、規(guī)律的探索、定理的推導(dǎo)、問(wèn)題的解決等途徑訓(xùn)練學(xué)生的思維，培養(yǎng)他們的理性精神.只有深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯關(guān)系，準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，充分挖掘題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，大膽放手讓學(xué)生嘗試與探究，才能使我們的課堂達(dá)到“高立意、高品位”，最終實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”的目標(biāo).W