☉江蘇運(yùn)河中學(xué) 袁 健

筆者以蘇科版七年級下冊“拼圖·公式”的備課、上課、反思過程為例，重點讓學(xué)生構(gòu)建數(shù)形結(jié)合思想.

一、教學(xué)設(shè)計片段

【活動準(zhǔn)備】

A型紙片（邊長為a的正方形）、B型紙片（邊長為b的正方形）、C型紙片（長為a、寬為b的長方形）各若干張.

【教學(xué)設(shè)計內(nèi)容摘要】

（一）情境再現(xiàn).

問題1：觀察圖1，用含字母的式子表示圖中大正方形的面積.

你可以用幾種方法表示？你能得到一個什么公式？

問題2：你能用多項式乘多項式的法則計算（a+b）2嗎？

問題3：你認(rèn)為整式乘法與因式分解是什么關(guān)系？設(shè)計意圖：教師幫助學(xué)生回憶所學(xué)過的完全平方公式的引出過程，感受圖形的作用的同時，由合情推理到演繹推理，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時感受整式乘法與因式分解是互逆關(guān)系.

（二）探索活動.

【數(shù)學(xué)活動一】

活動材料：若干張如圖2所示的正方形和長方形紙片.

活動要求：

1.分別選取A型紙片1張，B型紙片2張，C型紙片3張，拼成一個長方形.用不同的方法表示拼得的長方形的面積，你能得到怎樣的一個等式？

2.請各小組任意選取若干張這樣的三種紙片拼成一個長方形，通過不同的方法計算面積，探求相應(yīng)的等式.是否能得到體現(xiàn)因式分解過程的等式？

設(shè)計意圖：通過拼圖，學(xué)生經(jīng)歷觀察、運(yùn)算、推理等活動，感受形到數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，發(fā)展有條理思考和表達(dá)的能力.

【數(shù)學(xué)活動二】

1.分解因式：a2+4ab+3b2.

問題1：利用提公因式、套公式法能解決嗎？

問題2：能用“拼長方形”的方法解決嗎？A、B、C型三種紙片各需要幾張？

問題3：所拼長方形的長、寬各是多少？你得到怎樣的因式分解的等式？

2.分別選取A型、B型、C型三種紙片若干張，嘗試將它們拼成一個長方形，并且使所拼長方形的面積為2a2+5ab+3b2，所拼長方形的長是多少？寬是多少？你得到怎樣的因式分解的等式？

（三）閱讀.

名人名言：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.——華羅庚

設(shè)計意圖：學(xué)生朗讀名人名言，感悟數(shù)形結(jié)合思想.

二、課堂教學(xué)片段

（一）情境再現(xiàn).

師：第9章我們學(xué)習(xí)了整式乘法與因式分解，感受了圖形與等式、公式的關(guān)系.本節(jié)課我們通過“做”數(shù)學(xué)，用拼圖感受圖形與等式的關(guān)系.下面我們回顧一個情境.

（學(xué)生看題，準(zhǔn)備答題）

生：從整體看，面積是（a+b）2，從局部看，面積是a2+2ab+b2，它們是相等的.

師：你能說出這是哪個公式嗎？

生：完全平方公式.

師：你能用多項式乘多項式的法則計算（a+b）2嗎？

生：依據(jù)乘方的意義把它變形為（a+b）（a+b），然后用多項式乘多項式的法則計算得到a2+ab+ab+b2，再依據(jù)合并同類項得到a2+2ab+b2.

師：我們通過圖形得到了完全平方公式，又通過多項式乘多項式的法則驗證了這個等式的正確性.剛才的等式（a+b）2=a2+2ab+b2（由積變和）反過來寫就變成了a2+2ab+b2=（a+b）2（由和變積），前面的運(yùn)算叫整式乘法，后面的運(yùn)算叫因式分解.你認(rèn)為這兩者有什么關(guān)系？

生：整式乘法與因式分解是互逆關(guān)系.

師：我們感受了圖形與等式的內(nèi)在關(guān)系，下面我們繼續(xù)用拼圖探索它與等式的內(nèi)在聯(lián)系.

（小組合作交流拼圖，教師出示數(shù)學(xué)活動一的活動材料和活動要求.學(xué)生動手拼圖，感受由圖形到等式的轉(zhuǎn)化過程.學(xué)生代表回答第1個活動要求：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，第2個活動要求由一個小組代表展示回答）

師：剛才我們按活動要求拼圖得到了一個長方形，然后用長方形的長與寬的積表示這個代數(shù)式和的形式，進(jìn)而寫出了一個等式.你能寫出一個體現(xiàn)因式分解的等式嗎？

生：能.把剛才的整式乘法的等式反過來寫就可以了.

師：很好.通過拼圖我們感受了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化過程.下面繼續(xù)用拼圖解決問題.

（出示數(shù)學(xué)活動二）

師接著問：這個代數(shù)式a2+4ab+3b2能用提公因式法、運(yùn)用公式法來因式分解嗎？能用拼圖的方法解決嗎？

（學(xué)生帶著疑惑進(jìn)行小組交流、嘗試）

學(xué)生代表回答：它能用一個長為a+3b、寬為a+b的長方形的面積表示，即（a+b）（a+3b）.所以a2+4ab+3b2就因式分解為（a+b）（a+3b）.

師：很棒！請同學(xué)們試著再用拼圖把多項式2a2+5ab+3b2因式分解.

學(xué)生代表回答：它能用一個長為2a+3b、寬為a+b的長方形的面積表示，即（a+b）（2a+3b）.所以2a2+5ab+3b2就因式分解為（a+b）（2a+3b）.

師：說得太棒了！我們先按要求拼成一個長方形，把數(shù)轉(zhuǎn)化成形，然后把這個代數(shù)式用一個長方形的面積表示，把形轉(zhuǎn)化成數(shù)，進(jìn)而把一個和的形式的代數(shù)式借助圖形因式分解.在這個過程中，感受由數(shù)到形再到數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，感受數(shù)形結(jié)合思想.正如數(shù)學(xué)家華羅庚先生說得那樣，（課件出示）大家齊讀.

生：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？有什么感悟？

生：我發(fā)現(xiàn)了對于2a2+5ab+3b2的因式分解，我們可以通過數(shù)形結(jié)合思想借助拼圖解決.但如果不能拼出一個長方形就意味著不能分解嗎？

師：這個問題問得太好了，不是所有的二次三項式都可以借助拼圖完成因式分解，這與我們今后學(xué)習(xí)的一元二次方程的判別式有關(guān).

三、教后反思

1.數(shù)學(xué)實驗活動課落實“四基、四能”.

筆者在設(shè)計這節(jié)課時參考了課本和實驗手冊第9課.本片段主要是引導(dǎo)學(xué)生通過動手實驗感受拼一個長方形可以得到一個等式，感受數(shù)的問題可以借助形解決，體會由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，然后引導(dǎo)學(xué)生用拼圖“做數(shù)學(xué)”，把二次三項式進(jìn)行因式分解.

在實驗操作過程中，筆者以問題為載體，師生互動、生生互動，小組活動充分.給學(xué)生充分的展示機(jī)會，讓學(xué)生合作、用語言表達(dá)自己的觀點和想法.事實證明，數(shù)學(xué)實驗讓學(xué)生在動手操作“做數(shù)學(xué)”中保持良好的參與興趣，寓學(xué)于樂，寓樂于學(xué)；讓抽象的知識可視化，學(xué)生更加主動地進(jìn)入探究狀態(tài)，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性.學(xué)生在活動過程中會將二次三項式借助圖形因式分解，鞏固了“雙基”，滲透了數(shù)學(xué)思想，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.另外，學(xué)生在動手操作中不僅鍛煉了自己分析問題和解決問題的能力，還培養(yǎng)了自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

2.數(shù)學(xué)實驗活動課構(gòu)建數(shù)形結(jié)合思想.

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容本質(zhì)的規(guī)律性的認(rèn)識，是人們在認(rèn)識、學(xué)習(xí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)中總結(jié)、提煉、歸納和概括出來的，是數(shù)學(xué)思維活動后產(chǎn)生的結(jié)果.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂.本教學(xué)片段構(gòu)建了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的知識網(wǎng)絡(luò)：由形到數(shù)，由數(shù)到形再到數(shù)，數(shù)形結(jié)合.緊接著感悟數(shù)學(xué)家華羅庚的“數(shù)形關(guān)系”，學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解更加深刻了.此外，本節(jié)課還讓學(xué)生感受到了整式乘法與因式分解的互逆性，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)實驗活動課是建構(gòu)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的有效載體.

3.數(shù)學(xué)實驗活動課培養(yǎng)核心素養(yǎng).

學(xué)生從實驗活動中以直觀形象的圖片、材料、工具等為載體，小組合作進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、運(yùn)算，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)和合作交流能力，以及勇于克服困難、磨礪意志，促進(jìn)了思維發(fā)展和能力形成，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了核心素養(yǎng).

1.董林偉主編.初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的理論與實踐［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

2.關(guān)興榮.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂［J］.吉林教育，2011（10）.

3.王漢平.初中數(shù)學(xué)作業(yè)布置及評價有效性的研究［J］.科學(xué)大眾，2016（10）.W