☉江蘇南通市海安縣紫石中學(xué) 仲世龍

當(dāng)前教學(xué)生態(tài)下，考試是一個(gè)不得不面對(duì)的現(xiàn)實(shí)話題，階段測(cè)試、單元測(cè)試、期中考試、期末考試、學(xué)年末考試，等等，考試之后老師們都面臨著講評(píng)，如何講評(píng)才能獲得更大的收益呢？這是個(gè)值得深入探討的教研話題.本文記敘一次八年級(jí)上冊(cè)期中試卷講評(píng)的課例，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、試卷講評(píng)課中題例與講評(píng)記錄

考題1：若x2+4x+m是完全平方式，則m的數(shù)值為（ ）.

A.4 B.-4 C.±4 D.16

講評(píng)記錄：這道題錯(cuò)誤率低，但考慮到這是一個(gè)重要題型，值得變式拓展，所以我們讓出錯(cuò)的學(xué)生回顧了完全平方式x2+4x+4，并跟進(jìn)變式如下一個(gè)題組：

變式1：若x2-6x+m是完全平方式，則m的數(shù)值為_(kāi)____.

變式2：若x2+kx+9是完全平方式，則k的數(shù)值為_(kāi)____.

變式3：若x2+（k-4）x+18是完全平方式，則k的數(shù)值為_(kāi)____.

變式4：若4x2-（k-4）x+25是完全平方式，則k的數(shù)值為_(kāi)____.

通過(guò)這一組系列變式，讓學(xué)生對(duì)完全平方式這種題型有了較全面的掌握.

考題2：如圖1，△ABC的面積等于6，AC=3，現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折，使點(diǎn)C落在射線AD上的C′處，點(diǎn)P在射線AD上，則線段BP的長(zhǎng)不可能是（ ）.

A.3 B.4 C.5.5 D.6

講評(píng)記錄：這道試題有近四分之一的學(xué)生出錯(cuò)，究其原因，有以下幾種障礙.障礙點(diǎn)之一，沒(méi)有讀懂或明確試題求解的方向，不知道應(yīng)該分析點(diǎn)B到射線AD的距離；障礙點(diǎn)之二，沒(méi)有結(jié)合已知條件中的面積與AC的長(zhǎng)分析出點(diǎn)B到AC邊上高的長(zhǎng).考慮到學(xué)生可能的障礙，我給出兩個(gè)鋪墊式問(wèn)題：

鋪墊式問(wèn)題1：由△ABC的面積等于6，AC=3，你能求出哪些信息？（邊AC上的高為4）

鋪墊式問(wèn)題2：點(diǎn)B到直線AD的距離你能求出嗎？再給出兩個(gè)變式跟進(jìn)練習(xí)：

變式1：如圖1，△ABC的面積等于8，AC=2，現(xiàn)將△ABC沿AB所在直線翻折，使點(diǎn)C落在射線AD上的C′處，點(diǎn)P在射線AD上，分析線段BP的長(zhǎng)的取值范圍.

變式2：（其余條件不變，同考題2）當(dāng)PA=2AC時(shí)，求四邊形APBC的面積.

考題3：如圖2，在△PAB中，PA=PB，點(diǎn)M、N、K分別是邊PA、PB、AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42°，則∠P為（ ）.

A.118° B.96° C.90° D.84°

講評(píng)記錄：這道試題有兩處關(guān)鍵.第一是發(fā)現(xiàn)全等三角形（△AMK≌△BKN），從而得到對(duì)應(yīng)角∠AMK=∠BKN；第二是溝通∠A=∠MKN=∠B，再把思路放到△ABP中，可求出∠P的度數(shù)，給出如下幾個(gè)鋪墊式引例：

鋪墊式問(wèn)題1：該圖形中哪兩個(gè)三角形全等？判定依據(jù)是什么？寫出這兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角.

鋪墊式問(wèn)題2：有人說(shuō)，這個(gè)圖形中體現(xiàn)了“一線三等角”的經(jīng)典圖形，你是怎么理解的？（溝通∠A=∠MKN=∠B，就有“一線三等角”模型，但是這三個(gè)角相等并不是條件直接給出的）

考題4：已知a、b為任意數(shù)，x=a2+b2+5，y=-2（2b-a），則x、y的大小關(guān)系是（ ）.

A.x≥y B.x＞y C.x＜y D.x=y

講評(píng)記錄：這道題主要考查作差法與配方法，設(shè)計(jì)鋪墊問(wèn)題兩個(gè)：

鋪墊式問(wèn)題1：作差法比較兩數(shù)的大小，分三種情況，當(dāng)x-y>0時(shí)，說(shuō)明x>y.大家計(jì)算一下本題中的x-y是多少.（學(xué)生展開(kāi)運(yùn)算：x-y=a2-2a+b2+4b+5）

鋪墊式問(wèn)題2：分析一個(gè)多項(xiàng)式的正負(fù)，往往可以將其配成完全平方的形式，本題展開(kāi)后得到的a2-2a+b2+4b+5，該如何配方呢？（可配成a2-2a+1+b2+4b+4）

變式再練：已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a＞2.

（1）求證B-A＞0，并指出A與B的大小關(guān)系；

（2）指出A與C哪個(gè)大，說(shuō)明理由.

目前，云南省防汛抗旱指揮部已決定自10月15日16∶00起恢復(fù)正常防汛工作。洪峰未造成電力設(shè)備設(shè)施受損，主動(dòng)停運(yùn)線路已全部恢復(fù)供電。所有安置點(diǎn)均正常供電，應(yīng)急發(fā)電設(shè)備未啟用。目前云南電網(wǎng)公司維持自然災(zāi)害(強(qiáng)降水、地質(zhì)災(zāi)害)黃色預(yù)警，迪慶局結(jié)束應(yīng)急Ⅲ級(jí)響應(yīng)，麗江供電局結(jié)束Ⅳ級(jí)響應(yīng)。迪慶境內(nèi)沿江地帶水位基本恢復(fù)正常狀態(tài)，迪慶局水位觀測(cè)人員已經(jīng)全部撤離現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)入待命狀態(tài);災(zāi)民安置點(diǎn)已無(wú)人居住，保供電人員已全部撤離。麗江局災(zāi)民安置點(diǎn)已無(wú)人居住，經(jīng)災(zāi)情研判并經(jīng)政府同意，麗江局應(yīng)急人員、裝備、車輛已全部撤離。

預(yù)設(shè)講評(píng)：第（1）問(wèn)屬于同類跟進(jìn)，第（2）問(wèn)則屬于變式到其他類型.

考題5：如圖3，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是30，腰AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（ ）.

A.13 B.12.5 C.10 D.8

講評(píng)記錄：這道試題有兩處障礙，一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).障礙之一，沒(méi)有聯(lián)系到“將軍飲馬”模型，選取C點(diǎn)關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)A，并連接AD交EF于M點(diǎn)；障礙之二，沒(méi)有順利求出AD的長(zhǎng).易錯(cuò)點(diǎn)是求出AD的長(zhǎng)就匆忙作答，忽略了試題要求的是△CDM的周長(zhǎng).

考題6：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到的銳角為50°，則∠B等于______.

講評(píng)記錄：這是一道無(wú)圖題，主要障礙是構(gòu)圖困難.事實(shí)上這類問(wèn)題有一個(gè)通用的解題流程，可先作一個(gè)半圓，在半圓上取一點(diǎn)，再標(biāo)出字母進(jìn)行分析.

如圖4，取一個(gè)半圓A，點(diǎn)B1、B2為直徑兩端點(diǎn)，在半圓上取一點(diǎn)C，則三角形AB1C與三角形AB2C是符合要求的兩個(gè)等腰三角形，再分別作這兩個(gè)等腰三角形腰AB上的垂直平分線與直線AC相交成50°，這時(shí)可分別求出兩個(gè)等腰三角形的頂角∠BAC=40°或140°，于是待求的底角∠B就為70°或20°.

同類變式：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則該等腰三角形的底角的角度為_(kāi)_____.

考題7：如圖5，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2，若點(diǎn)M、N分別在OA、OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有______個(gè).

講評(píng)記錄：這道題的難點(diǎn)也在構(gòu)圖，一個(gè)特殊位置可以探究出來(lái)，即過(guò)點(diǎn)P分別作OA、OB的垂線段PM、PN，此時(shí)容易根據(jù)四邊形OMPN的內(nèi)角和確認(rèn)∠MPN為60°，進(jìn)一步求出PM=PN，所以三角形PMN是等邊三角形.在此基礎(chǔ)上，可以將∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)任意角度，與OA、OB相應(yīng)的交點(diǎn)為M′、N′，利用全等三角形可證出PM′=PN′，于是它們也是符合要求的M、N點(diǎn)，即待分析的三角形PMN有無(wú)數(shù)個(gè).

同類變式：如圖6，OC平分∠AOB，∠AOB=90°，點(diǎn)P是射線OC上一點(diǎn)，且OP=4，點(diǎn)M、N分別在射線OA和OB上，若△PMN是等腰直角三角形，則符合條件的△PMN有_______個(gè).

二、關(guān)于試卷講評(píng)課的教學(xué)思考

1.做好數(shù)據(jù)分析，明辨難點(diǎn)，預(yù)設(shè)鋪墊式問(wèn)題突破難點(diǎn).

考試之后，進(jìn)行必要的數(shù)據(jù)分析，具體到各個(gè)小題的得分情況，針對(duì)學(xué)生失分較高的試題，教師要明辨難點(diǎn)，想清學(xué)生可能有哪些障礙點(diǎn)，并針對(duì)這些難點(diǎn)、障礙點(diǎn)或易錯(cuò)點(diǎn)預(yù)設(shè)鋪墊式問(wèn)題，化解難點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生自主獲得思路，突破障礙.更為重要的是，通過(guò)預(yù)設(shè)系列鋪墊式問(wèn)題，讓學(xué)生看清自己在哪個(gè)障礙上存在不足，便于找到以后注意要修補(bǔ)的漏洞.

2.開(kāi)展變式改編，同類跟進(jìn)，有效反饋錯(cuò)題的訂正效果.

進(jìn)評(píng)一道易錯(cuò)題或較難題之后，為了有效反饋學(xué)生對(duì)這類錯(cuò)題是否真正理解或掌握了，可以對(duì)原題進(jìn)行一些變式改編，同類跟進(jìn).比如，考題4講評(píng)時(shí)，作為必要的變式，在變式跟進(jìn)的題目中，我們還對(duì)用作差法比較大小進(jìn)行了變式，第（2）問(wèn)作差后，C-A=a2+4a-21.這時(shí)得出的式子不是完全平式加上一個(gè)正數(shù)的情況，就需要分類討論.比如，將其進(jìn)一步分解因式得（a+7）（a-3），結(jié)合a＞2，有a+7＞0，分三種情況進(jìn)行討論，比較大小.

三、寫在后面

試卷講評(píng)課的研究是一個(gè)值得深入下去的教研課題，我們的認(rèn)識(shí)還很初步，期待更多的有益做法分享，以豐富的案例帶動(dòng)這種課例研討走向深入.

1.潘龍生.教學(xué)，少些一帶而過(guò)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（1）.

2.王成.同類鏈接促進(jìn)感悟，模考講評(píng)提升效益——以一次?？碱}的鏈接講評(píng)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

3.龔艷芳.預(yù)熱問(wèn)題鋪平墊穩(wěn)，迎難而上講評(píng)難題——記敘一道中考?？茧y題的講評(píng)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.季紅妹.解題教學(xué)的追求：關(guān)聯(lián)同類，感悟結(jié)構(gòu)——從一道“網(wǎng)傳錯(cuò)誤解答”說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.W