☉浙江寧波市鎮(zhèn)海蛟川書(shū)院 陳 麗

“核心素養(yǎng)”是近年教育研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，2018年1月23日—24日，教育部長(zhǎng)陳寶生在全國(guó)教育工作會(huì)上提出繼續(xù)把“聚焦根本任務(wù)，系統(tǒng)推進(jìn)立德樹(shù)人”作為2018年教育事業(yè)發(fā)展的七大主攻方向之一.核心素養(yǎng)的落實(shí)離不開(kāi)學(xué)科素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維、滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)在教學(xué)的核心價(jià)值取向和教學(xué)目標(biāo)追求.按照布盧姆教育目標(biāo)分類(lèi)對(duì)認(rèn)知過(guò)程的劃分，數(shù)學(xué)高階思維是指發(fā)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的較高的認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力，它在教學(xué)目標(biāo)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)中主要表現(xiàn)為分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造.如何在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展？筆者以直角坐標(biāo)系中“斜三角形”的面積求法為例，淺談自己的一些嘗試.

一、研磨教學(xué)目標(biāo)，精準(zhǔn)對(duì)焦

數(shù)學(xué)課堂只有制定貫通整節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，才能精準(zhǔn)把握教學(xué)方向，尋找培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生高階思維的契機(jī).三角形面積及面積產(chǎn)生的坐標(biāo)問(wèn)題是中考命題者比較喜歡的方向，尤其與一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)相結(jié)合，其中相關(guān)的變式問(wèn)題也很多.并且在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一個(gè)三角形，當(dāng)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)確定時(shí)，都可以通過(guò)平移變換將三角形轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)在原點(diǎn)的三角形，因此只需要研究頂點(diǎn)是原點(diǎn)的常規(guī)三角形的面積求法.本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是課堂上通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生掌握頂點(diǎn)在原點(diǎn)的常規(guī)三角形的常用處理方法，如割、補(bǔ)、移等.那么課堂上如何啟發(fā)引導(dǎo)才能讓學(xué)生自然想到這些方法？如何讓學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流掌握常規(guī)三角形幾種常見(jiàn)的處理方法？能不能讓學(xué)生在課堂產(chǎn)生一些有創(chuàng)造性的想法，產(chǎn)生一些增量，讓學(xué)生有更多的體會(huì)和新的收獲？

二、創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，融情啟智

1.追本溯源，為形成學(xué)生高階思維接力.

問(wèn)題1：如圖1，在直角坐標(biāo)系中，若A（2，1）、B（3，0），求△AOB的面積.

師：3是誰(shuí)的長(zhǎng)？

生：OB.

師：OB這條線(xiàn)段在面積公式中指什么？

生：底.

師：1是什么呢？

生：高.

師：為什么選擇OB作為底呢？

生：因?yàn)榈自谧鴺?biāo)軸上，比較容易求解.

問(wèn)題2：如圖2，在直角坐標(biāo)系中，若A（2，1）、B（0，3），求△AOB的面積.

師：你選誰(shuí)為底？

生：OB.

師：為什么？

生：因?yàn)镺B在y軸上.

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，巧設(shè)問(wèn)題串，層層推進(jìn)，由表及里，將學(xué)生淺顯易懂的知識(shí)進(jìn)行剝離，表象知識(shí)內(nèi)隱化，去表存真，探本求源，幫助學(xué)生找到思維的原點(diǎn)，這也是新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，為發(fā)展學(xué)生高階思維接力.

2.拾階而上，為培養(yǎng)學(xué)生高階思維助力.

問(wèn)題3：如圖3，在直角坐標(biāo)系中，若A（2，1）、B（1，2），求△AOB的面積.

師：我給大家兩點(diǎn)建議，有思路的同學(xué)將思路寫(xiě)下來(lái)：你是怎么處理的？為什么這么處理？有的同學(xué)做不出來(lái)，沒(méi)關(guān)系，我們還在學(xué)習(xí)階段，思考一下在求解過(guò)程中你碰到了什么問(wèn)題干擾你思路的形成？什么原因困擾你？

（三分鐘后）

生：底和高不知道.

師：你選誰(shuí)為底？

生：（支支吾吾）我想選OA為底.

師：OA的長(zhǎng)是多少？

師：怎么求的？

生：勾股定理.

師：OA上的高可以求嗎？

（學(xué)生沒(méi)有太大反應(yīng)）

師：我們來(lái)看題目中的條件，這個(gè)題目中給的條件是什么？是不是三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都給定了？三角形的邊OB、AB可以求嗎？怎么求？

師：如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，要想求高線(xiàn)BC的長(zhǎng)，需要求誰(shuí)的長(zhǎng)？

生：OC.

師：怎么辦？

生：設(shè)OC=x，列方程.

師：怎么列？

師：這種解法比較煩瑣，思考：為什么問(wèn)題1、問(wèn)題2中的兩個(gè)三角形的面積容易求出？與問(wèn)題3的區(qū)別在哪里？

生：?jiǎn)栴}1、問(wèn)題2中的三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上，而問(wèn)題3中三角形的邊沒(méi)有在任何坐標(biāo)軸上.

師：你有沒(méi)有什么辦法將問(wèn)題3中的三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

生：如圖5，可以用矩形ODEF的面積減去三個(gè)三角形S△AOD、S△ABE、S△OBF，進(jìn)行求解.S△AOB=S矩形ODEF-S△AOD-S△ABES△OBF=2-

師：我們用了兩種方法，對(duì)這兩種解法你有哪些體會(huì)？

生：將三角形轉(zhuǎn)化成邊在坐標(biāo)軸上，方便求解.

師：非常好，問(wèn)題1、問(wèn)題2中的三角形的邊是有“橫豎”的線(xiàn)段，而問(wèn)題3中的三角形沒(méi)有一邊是“橫豎”的，為了方便，我們約定，存在“橫向”或“豎向”邊的三角形稱(chēng)為“直三角形”，沒(méi)有“橫向”或“豎向”邊的三角形稱(chēng)為“斜三角形”.

師：請(qǐng)思考剛才的解答，我們作了什么樣的處理？為什么要進(jìn)行這樣的處理？請(qǐng)跟大家分享一下.

生：通過(guò)構(gòu)造矩形，把斜三角形變成了直三角形.

師：非常好，要求斜三角形的面積我們要進(jìn)行處理，處理的目標(biāo)很清楚，就是產(chǎn)生直三角形，請(qǐng)思考：剛才我們是怎么產(chǎn)生直三角形的？

生：作垂線(xiàn)，構(gòu)造矩形.

師：一定要構(gòu)造矩形嗎？可不可以?xún)?yōu)化一下？

生：如圖6，直接補(bǔ)成梯形就好.

師：很棒，是的，可以通過(guò)作垂線(xiàn)，把斜三角形補(bǔ)成矩形或梯形，轉(zhuǎn)化成直三角形進(jìn)行求解.

【設(shè)計(jì)意圖】順應(yīng)學(xué)生的思維軌跡，巧設(shè)階梯型問(wèn)題，通過(guò)師生對(duì)話(huà)，啟迪學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的感知、探索、求解、對(duì)比，深化思維，激發(fā)學(xué)生思維發(fā)展的內(nèi)部動(dòng)機(jī)，轉(zhuǎn)化為高階思維發(fā)展的內(nèi)驅(qū)力，創(chuàng)造合適契機(jī)，滲透素養(yǎng)，逐步實(shí)現(xiàn)由“低層次思維”向“高階思維”的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.

3.自然生長(zhǎng)，為發(fā)展學(xué)生高階思維發(fā)力.

師：我們發(fā)現(xiàn)將斜三角形轉(zhuǎn)化為直三角形更容易求解，那么除了作垂線(xiàn)的方法，還有沒(méi)有別的處理途徑，能夠產(chǎn)生直三角形，且產(chǎn)生的直三角形與原來(lái)的斜三角形之間存在聯(lián)系？先獨(dú)立思考，有想法了把想法寫(xiě)下來(lái)，在圖上畫(huà)出你的處理方案，思考并寫(xiě)出你的處理方案產(chǎn)生了哪些直三角形.

（三分鐘后，合作交流）

師：前后四人為一小組，各小組起立，交流各自的處理方法，說(shuō)出這樣處理的原因.若無(wú)自己的處理方法，則交流困惑的問(wèn)題.同伴間可幫助.若討論后小組仍無(wú)思路，思考以下三個(gè)問(wèn)題：

（1）能不能在x軸上找點(diǎn)P，使△PBO包含△AOB？（2）如何分割△AOB能產(chǎn)生直三角形？

（3）是否存在與△AOB面積相等的三角形？若存在，該怎么找？

討論結(jié)束后，請(qǐng)坐下去，任選一種方法，寫(xiě)出詳細(xì)解答過(guò)程，并與大家分享

生：如圖7，延長(zhǎng)BA交x軸于點(diǎn)P.

師：非常好，產(chǎn)生了哪些與斜△AOB有關(guān)的直三角形？

生：△BOP、△AOP.

師：那么斜△AOB的面積怎么求？

生：S△AOB=S△BOP-S△AOP.

生：如圖8，也可延長(zhǎng)AB交y軸于點(diǎn)M，S△AOB=S△MOAS△MOB.

師：很好，這兩個(gè)同學(xué)都是通過(guò)補(bǔ)的方法，將斜三角形的面積轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)直三角形的面積差來(lái)求解.結(jié)合老師剛才提出的三個(gè)問(wèn)題，還有哪個(gè)小組有不同的方案？

生：如圖9，可以過(guò)點(diǎn)A作AN平行于x軸，交OB于點(diǎn)N，則S△AOB=S△ANO+S△ANB

師：如何求AN的長(zhǎng)？

生：我們組還有另一種做法，如圖10，過(guò)點(diǎn)B作BQ平行于y，交OA于點(diǎn)Q，做法和剛才的類(lèi)似.

（同學(xué)們情不自禁地報(bào)以熱烈的掌聲）

師：你們組很棒.

（這時(shí)已經(jīng)有學(xué)生在舉手，迫不及待地要發(fā)言了）

生：如圖11，過(guò)點(diǎn)B作BG平行于OA，交y軸于點(diǎn)G，連結(jié)GA，則S△AOB=S△AOG.

師：如何求直△AOG的面積？

生：先求G點(diǎn)的坐標(biāo).因?yàn)镚B與OA平行，所以kGB=，所以點(diǎn)G），則S=△AOG

師：這個(gè)直三角形你是怎么找到的？

生：過(guò)點(diǎn)B作OA的平行線(xiàn)，平行線(xiàn)上任意一點(diǎn)與OA構(gòu)成的三角形都與△AOB的面積都相等，只要與坐標(biāo)軸相交，便可以找到相應(yīng)的面積相等的直三角形.

師：你歸納得非常好，也就是要過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作邊的平行線(xiàn)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)構(gòu)成的三角形便是要找的直三角形.請(qǐng)大家作圖試試看，你可以找到多少個(gè)這樣的直三角形？

生：過(guò)點(diǎn)B作BI平行于OA，交x軸于點(diǎn)I，連接AI，則S△AOB=S△AOI.

生：還可以過(guò)點(diǎn)A作OB的平行線(xiàn)分別交x軸于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)J，則S△AOB=S△HOB，S△AOB=S△AOJ.

【設(shè)計(jì)意圖】為了激活不同思維程度的學(xué)生的思維，筆者以素養(yǎng)為本，精心設(shè)計(jì)啟發(fā)性問(wèn)題串，置學(xué)生于憤悱狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生探知的欲望.筆者首先讓學(xué)生自己操作，自己感悟，再進(jìn)行小組合作，給學(xué)生提供動(dòng)腦、動(dòng)口的機(jī)會(huì)，使學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行思維活動(dòng)，讓學(xué)生在對(duì)話(huà)和思維的碰撞中提升思維能力，活化所學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生在探究的過(guò)程中既掌握所學(xué)知識(shí)和技能，又感悟知識(shí)的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，助力培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，讓不同思維層次的學(xué)生更上一個(gè)思維臺(tái)階.

三、提煉知識(shí)方法，聚焦智慧

師：通過(guò)以上交流和探索，對(duì)于如何求斜三角形的面積，你有哪些解題經(jīng)驗(yàn)？

求斜三角形的面積→求直角三角形的面積：

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)梳理、歸納，幫助學(xué)生理清思維脈絡(luò)，形成知識(shí)體系.課堂小結(jié)不僅是對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的總結(jié)，還是對(duì)獲得知識(shí)所用方法的提煉，更是對(duì)解決學(xué)習(xí)困惑的經(jīng)驗(yàn)積累與提升.通過(guò)小結(jié)，可以讓學(xué)生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)顯性化，形成體系.

四、注重思維延伸，以思啟智

課后思考：先畫(huà)圖思考你對(duì)這些斜三角形有哪些處理方法，任選一種方法求△AOB的面積.

問(wèn)題1：在直角坐標(biāo)系中，若A（2，1）、B（3，3），求△AOB的面積.

問(wèn)題2：在直角坐標(biāo)系中，若A（2，1）、B（1，-1），求△AOB的面積.

問(wèn)題3：在直角坐標(biāo)系中，若A（2，1）、B（1，-1）、求△ABC的面積.

徐斌艷教授曾指出：學(xué)生核心素養(yǎng)的形成不是依賴(lài)單純的課堂教學(xué)，而是依賴(lài)學(xué)生參與其中的教學(xué)活動(dòng)；不是依賴(lài)記憶與理解，而是依賴(lài)感悟與思維；它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗(yàn)的積累.因此數(shù)學(xué)課堂上教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)基于學(xué)情的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生感悟、內(nèi)化，形成高階思維能力.一節(jié)課的結(jié)束，不應(yīng)該是思維的終點(diǎn)，而應(yīng)該是思維更高的起點(diǎn).教師要精心設(shè)計(jì)延伸性問(wèn)題，幫助學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)與發(fā)展，讓學(xué)生不因教學(xué)的停止而使數(shù)學(xué)思考停止.

教育的目的是什么？懷特海認(rèn)為，學(xué)生是有血有肉的人，教育的目的是激發(fā)和引導(dǎo)他們的自我發(fā)展之路，他指出“不能讓思維僵化，而要讓它生動(dòng)活潑起來(lái)——這是所有教育的核心問(wèn)題”，這不僅關(guān)系到學(xué)生的成長(zhǎng)，更關(guān)系到社會(huì)的發(fā)展.

1.安德森，等，著.布盧姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)：分類(lèi)學(xué)視野下的學(xué)與教及其測(cè)評(píng)（完成版）［M］.蔣小平，張琴美，羅晶晶，譯.北京：外語(yǔ)教學(xué)與研究出版社，2009.

2.羅增儒.核心素養(yǎng)與課堂研修［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2017（8）.

3.廖輝輝，史寧中，朱丹紅.數(shù)學(xué)基本思想、核心素養(yǎng)內(nèi)涵及教學(xué)［J］.福建教育（中學(xué)版），2016（7/8）.

4.褚水林.促進(jìn)高階思維能力發(fā)展的數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2017（10）.W