內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中高三（5）班 蒙香含

難解的題目大體上可分為兩類，一是因繁而難，表現(xiàn)為題干冗長(zhǎng)、線索繁復(fù)；二是因難而難，表現(xiàn)為題干過(guò)簡(jiǎn)、無(wú)從下手。前者只需耐心剖析，從中獲取、簡(jiǎn)化有用信息大多可解。后者的“無(wú)從下手”或是因?yàn)轭}干線索之間的關(guān)聯(lián)難以找尋，或是因?yàn)轭}干中需要證明或求解的結(jié)論所涉及的范圍過(guò)于宏大。對(duì)于此類問(wèn)題，解答的不二選擇是將其弱化為方便觀察解決的子問(wèn)題，再通過(guò)子問(wèn)題得到適用于原規(guī)律的解決方法。

以下是某網(wǎng)友高額懸賞的一個(gè)題目：

如圖所示，在銳角三角形ABC中，有一點(diǎn)P使得PA+BC=PB+AC=PC+AB，求證：(a+b+c)+2c。

乍看這道題目覺(jué)得應(yīng)該能力所及，但真正上手就覺(jué)其形態(tài)復(fù)雜又無(wú)從下手，與教師爭(zhēng)論后覺(jué)得應(yīng)該將其弱化處理，將“任意銳角”條件弱化為“等腰銳角”條件，這一改變使尋找點(diǎn)的位置變得容易操作，于是順利得到如下的解答。

如右圖，易知點(diǎn)P位于底邊的垂線上，不妨延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，且設(shè)PD=x，則又因?yàn)镻A+BC=PB+AC，故有

易解（所謂易解，其實(shí)不太容易，應(yīng)將未知數(shù)分居兩側(cè)，這樣平方后可消除，即如下配湊：

點(diǎn)P固定后，即條件1運(yùn)用完畢，可從結(jié)論入手進(jìn)行化簡(jiǎn)工作，為了更好更方便地完成以下更為復(fù)雜的簡(jiǎn)化過(guò)程，需要做如下準(zhǔn)備條件：

很顯然PD=x為△PBC的高，運(yùn)用三角形面積公式處理左式，有：

運(yùn)用半角公式及上文四個(gè)準(zhǔn)備條件，對(duì)等式右邊整理，易得：

顯然“左邊=右邊”，弱化后的命題得證。下面將運(yùn)用上述原理對(duì)其一般情況進(jìn)行分析和證明。上文得證的原因是點(diǎn)被固定并成功與結(jié)論建立聯(lián)系，故原命題如能得證首先要確定點(diǎn)的位置，將運(yùn)用解析法進(jìn)行分析和討論如下：

理論上解方程即可求得未知量確定點(diǎn)P的位置，并沿上文思路繼續(xù)下去。但由于計(jì)算量過(guò)大，結(jié)果過(guò)長(zhǎng)，不具一般結(jié)論的特性，故只在此舉例做算理上的分析。

由上述理論可知B(0,0),C(7,0),A(3,4)，應(yīng)用條件，即代入上述方程可得：

由于無(wú)法進(jìn)行精確計(jì)算，故其結(jié)果的正確性使用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證有：

經(jīng)驗(yàn)證符合上述比例關(guān)系，故該題目已得以證明。

綜上所述，再難的題目經(jīng)過(guò)弱化后的子問(wèn)題都是易于解答的，將子問(wèn)題的解答方法進(jìn)行調(diào)整處理，便可使我們找到解決母問(wèn)題的方法，在解題過(guò)程中我們可以應(yīng)用數(shù)理軟件幫助計(jì)算。與我而言，找到解決一道難題的正確思路，相比于計(jì)算出最終結(jié)果而言更為重要。由淺入深，循序漸進(jìn)，柳暗花明又一村。

（由于計(jì)算量較大，所以此處計(jì)算使用了計(jì)算機(jī)，且結(jié)果精確到萬(wàn)分之一）