牟小龍， 馮慧華， 左正興， 楊貴春(.北京理工大學(xué) 機械與車輛學(xué)院，北京 0008；.中國北方發(fā)動機研究所，天津 300400)

模態(tài)分析和模態(tài)測試是力學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科，也是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計的重要內(nèi)容。工程應(yīng)用中，模態(tài)測試的結(jié)果通常用于相關(guān)性分析，校核并改善有限元模型的精度[1-4]，修正由于材料參數(shù)的不準(zhǔn)確帶來的誤差，在土木工程中常常用來識別結(jié)構(gòu)的損傷位置和損傷程度[5-6]。

通常測試信息是有限的，只有低階的部分模態(tài)能夠被捕捉到，測試的自由度也很有限，只在傳感器安裝位置的有效自由度才被測試到；而有限元模型的自由度通常上萬個，乃至幾百萬個。這種不一致性，給分析和應(yīng)用帶來了極大的挑戰(zhàn)。一種處理方案是將有限元振型縮聚為和測試自由度數(shù)目一致的子空間振型，再進行相關(guān)性分析。這種分析的意義非常有限，不能分析未測試自由度的振型精度。模態(tài)擴展能夠?qū)y試振型擴展到所有自由度，這樣就能夠直接對比在所有自由度上的精度，擴展得到的振型包含了測試信息，因此這樣的相關(guān)性分析具有重要的意義。通常擴展得到的振型不同于有限元振型，這種偏差反應(yīng)了初始有限元模型的不確定性和測試結(jié)果的不確定性。現(xiàn)有的模態(tài)擴展技術(shù)有很多，其中動力縮聚[7](DE)可以應(yīng)用于振型擴展，系統(tǒng)等效縮聚與擴展[8-9](SEREP)比較常用，但是對模態(tài)擴展基比較敏感，CMCM算法[10]可以在振型擴展的時候考慮模型修正問題，但是誤差定位識別比較困難，而且自由度數(shù)目較多的時候同樣存在方程不適定問題。

攝動力擴展[11-12](PF)是基于柔度矩陣的振型擴展方法，本文重點討論攝動力擴展技術(shù)在應(yīng)用中存在的問題及其改進。

1 攝動力擴展基本原理

測試模型和有限元模型之間相差一個攝動量

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:ω和Φ即為特征對。

PF理論假定測試結(jié)果是精確的，并且是低階有限元振型的線性組合，在未知攝動力的情況下，通過利用有限元振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性可以推導(dǎo)得到第r階模態(tài)擴展為

(5)

式中:Xj為第r階測試振型;下標(biāo)j表示測試自由度，是一個m×1的向量，m表示測試自由度個數(shù)。

測試振型是一階一階地擴展的，第r階模態(tài)擴展矩陣為

(6)

(7)

式中:上標(biāo)u表示沒有測試自由度集合，即模態(tài)矩陣中對應(yīng)的那些行;T表示轉(zhuǎn)置;g表示偽逆;p表示選取的有限元模態(tài)階次數(shù)目;矩陣Sr的定義請參考原始論文，其物理意義是當(dāng)所有有限元模態(tài)都選中時，它就是負(fù)的動柔度矩陣或者負(fù)的靜柔度矩陣?？梢钥吹竭@個方法表達(dá)形式上比較繁鎖，直接計算偽逆是不允許的，編程需要特別注意滿陣的處理。

本文主要討論：①從攝動理論出發(fā)進行新的推導(dǎo)，得到相同的擴展矩陣格式，并且討論特殊情況的處理；②討論展開偽逆的必要性；③給出PF理論與SEREP理論等效的條件；④最后給出在每一階測試模態(tài)擴展時，有限元模態(tài)基選擇建議，并以一個實測案例演示整個流程。

2 攝動力擴展及其應(yīng)用討論

2.1 擴展矩陣格式新的推導(dǎo)

原始理論的推導(dǎo)過程是從位移展開定理推導(dǎo)得到的，利用了特征矢量關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性，從而可以得到模態(tài)參與因子，整個推導(dǎo)過程非常優(yōu)雅。這里還可以從攝動理論出發(fā)，推導(dǎo)得到相同的擴展矩陣。

把(1)和(2)代入式(3)得

(8)

(9)

從而得到與文獻[11]中式(20)相同的攝動方程

fr

(10)

式中:fr為第r階模態(tài)擴展時的攝動力。對柔度矩陣按照行分塊

(11)

(12)

本文這個推導(dǎo)過程和從動剛度矩陣推導(dǎo)得到DE擴展的算法極其相似，DE擴展也是一階一階地擴展的。有趣的是，如果將上面的偽逆進行展開，則能夠得到和SEREP極其相似的擴展矩陣格式。

2.2 展開偽逆的必要性

式(6)、(7)、(12)的偽逆計算會得到滿陣，破壞了矩陣稀疏性，不便于實際應(yīng)用，因此展開偽逆是有必要的。

對每階有限元振型選擇同一種歸一化方案

(13)

其中k=1,2,…,p。為了避免判斷頻率是否相等，這里系數(shù)統(tǒng)一定義為

(14)

其中δ是機器精度所決定的最小值，一般可直接取為1×10-10，這樣始終可以用第一種擴展矩陣格式，不必分情況討論，這種處理實際就是引入了移軸量，重新定義了攝動力。

將柔度矩陣的分塊矩陣用上面歸一化以后的振型表達(dá)為

(15)

再用右偽逆展開得到

(16)

(17)

由于偽逆的展開計算方法有很多種，這里選用右偽逆可以減少不必要的計算量，對于工程應(yīng)用已經(jīng)足夠了。如果上式中計算逆矩陣出現(xiàn)奇異，那么有兩種方式應(yīng)對，一種是尋求一些正則化的處理方式，另一種是再添加必要的模態(tài)振型作為擴展基。

2.3 與SEREP算法等效的條件

假定G是一個正定方陣，只有p=m對特征矢量識別到了，那么矩陣ψj:也是方陣，可以發(fā)現(xiàn)PF擴展就和SEREP理論所給的擴展矩陣等效，即

(18)

在大多數(shù)情況下,如果p≠m,則式(18)不成立。

2.4 模態(tài)基選擇建議

Chen并沒有討論如何選擇模態(tài)基的問題。實踐表明，PF理論和SEREP對于低階模態(tài)基的選擇都比較敏感，選擇哪些以及選擇的階次數(shù)目對結(jié)果都有重要影響。對于特定測試振型的擴展，并非每一個有限元低階振型都具有相同的重要性。下面討論一種方法，只需兩步就可以完成這個任務(wù)。

定義一種頻率加權(quán)處理的模態(tài)參與因子，對第r階測試振型

(19)

數(shù)值仿真實驗研究發(fā)現(xiàn)，到底選擇多少階次，可以通過觀察每一階的具體貢獻來判斷，這個時候需要計算沒有頻率加權(quán)處理的模態(tài)參與因子

(20)

通常在MPF絕對值變得超過2個數(shù)量級的時候，就沒有必要繼續(xù)選取擴展基了。

2.5 計算流程說明與效率分析

圖1 模態(tài)擴展分析流程

從計算效率來講，為了保證計算精度和穩(wěn)定性，增加了對模態(tài)振型排序和篩選這兩步，這個分析只涉及和測試自由度規(guī)模相當(dāng)?shù)木仃嚽竽婧途仃囅蛄糠e，與原始攝動力方法相比新增的計算量并不大；而且簡化了模態(tài)擴展矩陣表達(dá)格式，這會節(jié)省存儲空間；另外，本文方法沒有涉及偽逆計算中正則化的討論，以及識別有限元模型中建模誤差的分析，因此相對于參考文獻[5,10]來講計算量更少、復(fù)雜程度更低，本文的方法適合于在誤差識別之前的模態(tài)擴展分析。

3 開口梁測試案例

下面對一個有缺口的懸臂梁進行錘擊模態(tài)試驗。幾何形狀，坐標(biāo)和材料信息見圖2所示，5個測點布置在梁頂面的中線(Y=0，Z=6)上，在X軸方向的測點坐標(biāo)分別為42,145,215,280和360 mm，測試過程中只有Y和Z方向自由度被測試了，提取了8階振型，并對復(fù)數(shù)振型進行了正規(guī)化處理得到實數(shù)振型，見表1和表2。

L1=70 mm,L2=40 mm,L3=185 mm,L4=370 mm,w=30 mm,h=d=12 mm,E=74 GPa,μ=0.27,ρ=2.78×10-9T/mm3

圖2 測試梁集合模型，坐標(biāo)與尺寸

表2 正規(guī)模態(tài)振型

建立了相應(yīng)的有限元模型，共8 442個自由度，一端面被完全固定，進行模態(tài)分析。振型相關(guān)性分析，僅僅在測試自由度上計算MAC的主對角線結(jié)果見表1，可以看到仿真結(jié)果和實驗結(jié)果有5階振型對比較好，但是由于有限元模型的邊界條件過于理想，沒有模擬試驗臺基座的附加剛度在水平和垂直方向的差異，造成有限元第2階水平方向彎曲模態(tài)頻率存在較大差異；實驗結(jié)果中水平方向第2階彎曲模態(tài)，參數(shù)提取的時候或者某種原因漏掉了；而由于傳感器布置空間分辨率不夠，無法識別扭轉(zhuǎn)振型。本文比較關(guān)心的是對測試振型擴展以后的精度對比問題，由于實際情況下測試和仿真都有一定誤差且精確振型是未知的，因此本文的結(jié)果只用來驗證PF算法的穩(wěn)定性和可靠性，以及對比原始PF算法和本文改進以后的方法。

首先參考式(19)，對前15階有限元振型進行了模態(tài)參與因子預(yù)測，根據(jù)計算結(jié)果對各階振型重要性進行排序，篩選重要的模態(tài)，排序的結(jié)果見表3，從表格中看到并非每一個低階振型都選中了。

再根據(jù)式(20)計算具有絕對值意義的MPF，通過觀察最后選定了前6階排序結(jié)果進行模態(tài)擴展，MPF絕對值比較小，對應(yīng)的歸一化模態(tài)參與因子見表4，歸一化模態(tài)參與因子是通過用MPF向量除以該列向量絕對值最大值得到的。

表3 排序后的有限元模態(tài)振型階次序號

表4 表3中各階模態(tài)歸一化模態(tài)參與因子(MPF)

振型更新以前后MAC對比見圖3和圖4，主對角線結(jié)果明顯更高，說明新擴展振型要比原始初始擴展更加平行于有限元振型。由于有限元振型也有誤差，也不宜完全以它作為參考。頻響函數(shù)對振型非常敏感，所以接著進行了頻響函數(shù)相關(guān)性分析，加速度頻響函數(shù)計算結(jié)果對比見圖5～圖7，分別對應(yīng)H(2,9)，H(2,5)和H(4,6)，數(shù)字代表響應(yīng)點和激勵點編號。在前兩個圖中，擴展振型計算的頻響要更接近測試加速度頻響；第3個圖中在3 000 Hz以前，三者沒有明顯差別，3 000 Hz以后出現(xiàn)的反共振低谷一致性表明了擴展振型精度更加接近測試結(jié)果。

圖3 MAC分析，原始論文擴展結(jié)果

圖4 MAC分析，用本文方法擴展結(jié)果

從對比分析可知：①PF理論是可行的，本文對偽逆的展開是有效的；②本文推薦的兩個指標(biāo)對低階模態(tài)擴展基的選擇是有效的，可以明顯改善計算結(jié)果的精度；③實驗驗證結(jié)果顯示，即使在未知精確振型的情況下，可以通過頻響函數(shù)相關(guān)性分析對比擴展振型精度，從結(jié)果來看，用本文擴展振型的方法的確是可行的。

圖5 加速度頻響對比,H(2,9)

圖6 加速度頻響對比,H(2,5)

圖7 加速度頻響對比,H(4,6)

4 結(jié) 論

本文討論了攝動力擴展算法在實際應(yīng)用中存在的問題。首先，從攝動方程角度進行了新的推導(dǎo)，得到一個等效的擴展矩陣格式，對于測試頻率等于有限元頻率的情況下，可以添加一個微小的移軸量，這樣保持了第一個擴展矩陣的格式形式不變。其次，進一步研究了展開偽逆的必要性，得到了式(17)，這樣可以避免計算柔度矩陣的分塊矩陣以及分塊矩陣的偽逆；接著，指出了PF理論與SEREP理論等效的條件，即當(dāng)測試自由度等于識別到的模態(tài)階數(shù)，且矩陣正定的時候，那么兩種算法是等效的。另外，討論了模態(tài)基選擇問題，給出了一種頻率加權(quán)處理的模態(tài)參與因子，見式(19)，這樣可以消除振型混疊問題，實現(xiàn)對每一階振型的重要性進行排序；給出了沒有頻率加權(quán)處理的模態(tài)參與因子，見式(20)，以便確定模態(tài)基選取階次的個數(shù)。本文的方法改進了擴展矩陣表達(dá)形式，展開偽逆可以減少不必要的存儲空間，新增的模態(tài)基篩選方法提升了計算穩(wěn)定性和精度。最后，實測懸臂梁案例介紹了整個應(yīng)用分析流程，并驗證了改進方法的合理性。

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