鐘夢聽昕

[摘要]函數在數學學習中占有十分重要的地位，利用構造函數思想來解數學中的大題，不僅能夠有效提高解題效率，還能促進學生發(fā)散性思維能力的發(fā)展。本文簡要論述了在求解數學大題過程中應用函數思想的必要性，并進一步詳細地探討了具體的應用策略，希望能夠為學生們的數學學習提供一些有價值的參考建議。

[關鍵詞]函數思想 數學解題策略 思路探討

一、在數學大題解題過程中應用函數思想的價值分析

數學大題通常出現在試卷最后部分，不僅在總分值中占據了較大的比重，還綜合考察了多項知識點，對于提升學生們的數學綜合能力具有十分積極的作用。在數學學習中，掌握科學、清晰的解題思路往往比學會某一種具體的解題方法更重要。因此，學生們在求解數學大題目時，應結合題目信息合理應用函數構造思想，一方面，能夠有效簡化解題思路，既快速又準確地求解出最終答案；另一方面，也很好地鍛煉了學生的數學思維能力和實踐應用能力，對于其今后的數學學習和終身發(fā)展而言有著十分重要的價值。

二、利用函數思想解大題的具體策略探討

（一）一次函數的應用

一次函數是初中代數的重要內容，也是學習高中解析幾何知識的必要前提，一般形式為y=kx+b（k，b為常數，且k≠0）。在許多大題目的求解過程中，通過構造一次函數模型，有利于學生快速理清題目已知條件中各變量信息之間的關系，進而有效提高他們的解題效率。例如，在解決以下這種類型的題目時，可以利用一次函數思想：

例1：已知不等式5x-3>m（x²-2），該不等式在|m|≤3時恒成立，試求未知數x的取值范圍。

在求解這道題目時，不妨先將不等式轉化為（x²-2）m-（5x-3）<0，然后在此基礎上構造關于m的一次函數：f（m）=（x²-2）m-（5x-3），（|m|≤2），其中k=（x²-2），b=-（5x-3），再結合該函數的圖像，不難得出未知數x的實際取值范圍。需要注意的是，在利用一次函數解題時，一定要明確各變量、常量的信息，跳脫出x，y形式束縛，根據題目實際條件找準變量，構造相應的函數模型。

（二）二次函數的應用

二次函數的表達式為y=ax²+bx+c（a≠0），其最初定義為二次多項式，一般多應用于解決下類問題：

例2：某投資公司在進行市場調研時發(fā)現：若單獨投資甲產品，所獲得利潤y_a（萬元）與投資金額x（萬元）之間的關系為y_a=kx+b，并且當x=4時，y_a=3；若單獨投資B產品，則獲取利潤的表達式為y_b=ax²+6，當x=2時，y_b=2.4，x=3時，y₂=2.7。如果該公司同時相對A、B兩種產品進行投資，并且預算投資金額為15萬元，則應如何設計投資方案，才能使公司獲得的利潤最大化。

在求解該題時，我們可以將其轉化為二次函數問題來思考，通過構造函數模型，畫出相應的函數圖像來得出最終答案，解題過程如下：

解：根據題目已給出的信息，我們不難計算得出投資甲、乙兩種產品所得利潤與投資金額之間的關系式分別為：

通過二次函數圖像，我們不難得出該函數圖像的頂點即為獲取利潤的最大值，只需簡單的導數運算，便可得出結果，不僅能夠有效提高學生們的解題效率，還去除了多余冗長的解題步驟，極大地簡化了運算過程，有利于增強學生的解題信心。

（三）指數函數的應用

指數函數是指形如y=a^x（a為常數，且a>0，a≠1），其函數定義域為R，指數函數在現實生活的各個領域中都有著十分廣泛的應用，如生物、金融、社會人口、房地產等，在數學應用大題中，很多題目都可以通過構造指數函數的方法來求解出答案。如下題所示：

例3：按復利計算利率的一種儲蓄，最初存入的本金為a元，每期利率為r，設本金和利息的和為y，求解：x年后取出本利之后，一共可以獲得多少錢。

在求解該題目時，要想得到年后的本利和，首先必須要知道y與x之間的關系公式，然后才能代入實際的本金數額得出最終答案，解題過程如下：

解：依據題目給出信息，建立指數函數關系式：y=a（1+r）^x；將本金α、利率r的數值代入，便可得到存款x年后能夠得到的實際金額。

與其他函數相比較而言，指數函數的函數值隨變量增長的變化十分明顯，故而在銀行存儲、資金管理等類型的題目中經常會涉及到指數函數思想，學生們在解題時可適當地總結相應的規(guī)律。

（四）分式函數的應用

在求解這道題目時，我們不妨從構造分式函數角度出發(fā)，先明確不等式中所包含的具體信息，如f（x）=|a+b|（x≥0），f（x）=|a|+|b|（x≥0），在此基礎上，再結合分式函數圖像的基本特征，我們不難得出該函數在[0，+∞]區(qū)間內呈現出單調遞增的趨勢，同時又因為a、b相加的絕對值小于a、b各自絕對值的相加之和，通過簡單的運算，我們便可得出f（|a+b|）4f（|a|+|b|）是恒成立的。

在求解這類題目時，學生首先要做的是將題目中已給出的不等式條件進行拆分，提取出有價值的主干信息，然后再通過等式變換等方式構造出相應的函數，繪制出相應的函數圖像，將原本抽象復雜的不等式求解與證明問題轉化為直觀、形象的圖形信息，根據圖像信息得出相應的結論。

三、結語

綜上所述，函數思想在數學解題中有著十分重要的應用價值，尤其是在求解一些綜合類的大題目時，適當地應用函數構造思想，不僅能夠快速提取出題目的主干內容，還能有效提高學生的解題效率，促進其發(fā)散性思維能力的發(fā)展，學會靈活運用抽象的函數構造知識來解決實際問題，從而達到切實提高學生數學解題能力的目的。所以，作為一名合格的數學教師應高度重視學生函數思想培養(yǎng)，并不斷探索函數思想在數學解題中的應用方法。