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        利用函數(shù)思想解大題的思考

        2018-03-27 09:36:44鐘夢(mèng)聽(tīng)昕
        商情 2018年1期
        關(guān)鍵詞:函數(shù)思想

        鐘夢(mèng)聽(tīng)昕

        [摘要]函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位,利用構(gòu)造函數(shù)思想來(lái)解數(shù)學(xué)中的大題,不僅能夠有效提高解題效率,還能促進(jìn)學(xué)生發(fā)散性思維能力的發(fā)展。本文簡(jiǎn)要論述了在求解數(shù)學(xué)大題過(guò)程中應(yīng)用函數(shù)思想的必要性,并進(jìn)一步詳細(xì)地探討了具體的應(yīng)用策略,希望能夠?yàn)閷W(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一些有價(jià)值的參考建議。

        [關(guān)鍵詞]函數(shù)思想 數(shù)學(xué)解題策略 思路探討

        一、在數(shù)學(xué)大題解題過(guò)程中應(yīng)用函數(shù)思想的價(jià)值分析

        數(shù)學(xué)大題通常出現(xiàn)在試卷最后部分,不僅在總分值中占據(jù)了較大的比重,還綜合考察了多項(xiàng)知識(shí)點(diǎn),對(duì)于提升學(xué)生們的數(shù)學(xué)綜合能力具有十分積極的作用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,掌握科學(xué)、清晰的解題思路往往比學(xué)會(huì)某一種具體的解題方法更重要。因此,學(xué)生們?cè)谇蠼鈹?shù)學(xué)大題目時(shí),應(yīng)結(jié)合題目信息合理應(yīng)用函數(shù)構(gòu)造思想,一方面,能夠有效簡(jiǎn)化解題思路,既快速又準(zhǔn)確地求解出最終答案;另一方面,也很好地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)踐應(yīng)用能力,對(duì)于其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展而言有著十分重要的價(jià)值。

        二、利用函數(shù)思想解大題的具體策略探討

        (一)一次函數(shù)的應(yīng)用

        一次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容,也是學(xué)習(xí)高中解析幾何知識(shí)的必要前提,一般形式為y=kx+b(k,b為常數(shù),且k≠0)。在許多大題目的求解過(guò)程中,通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)模型,有利于學(xué)生快速理清題目已知條件中各變量信息之間的關(guān)系,進(jìn)而有效提高他們的解題效率。例如,在解決以下這種類型的題目時(shí),可以利用一次函數(shù)思想:

        例1:已知不等式5x-3>m(x2-2),該不等式在|m|≤3時(shí)恒成立,試求未知數(shù)x的取值范圍。

        在求解這道題目時(shí),不妨先將不等式轉(zhuǎn)化為(x2-2)m-(5x-3)<0,然后在此基礎(chǔ)上構(gòu)造關(guān)于m的一次函數(shù):f(m)=(x2-2)m-(5x-3),(|m|≤2),其中k=(x2-2),b=-(5x-3),再結(jié)合該函數(shù)的圖像,不難得出未知數(shù)x的實(shí)際取值范圍。需要注意的是,在利用一次函數(shù)解題時(shí),一定要明確各變量、常量的信息,跳脫出x,y形式束縛,根據(jù)題目實(shí)際條件找準(zhǔn)變量,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型。

        (二)二次函數(shù)的應(yīng)用

        二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0),其最初定義為二次多項(xiàng)式,一般多應(yīng)用于解決下類問(wèn)題:

        例2:某投資公司在進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn):若單獨(dú)投資甲產(chǎn)品,所獲得利潤(rùn)ya(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間的關(guān)系為ya=kx+b,并且當(dāng)x=4時(shí),ya=3;若單獨(dú)投資B產(chǎn)品,則獲取利潤(rùn)的表達(dá)式為yb=ax2+6,當(dāng)x=2時(shí),yb=2.4,x=3時(shí),y2=2.7。如果該公司同時(shí)相對(duì)A、B兩種產(chǎn)品進(jìn)行投資,并且預(yù)算投資金額為15萬(wàn)元,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)投資方案,才能使公司獲得的利潤(rùn)最大化。

        在求解該題時(shí),我們可以將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)思考,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)模型,畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像來(lái)得出最終答案,解題過(guò)程如下:

        解:根據(jù)題目已給出的信息,我們不難計(jì)算得出投資甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)與投資金額之間的關(guān)系式分別為:

        通過(guò)二次函數(shù)圖像,我們不難得出該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)即為獲取利潤(rùn)的最大值,只需簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,便可得出結(jié)果,不僅能夠有效提高學(xué)生們的解題效率,還去除了多余冗長(zhǎng)的解題步驟,極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程,有利于增強(qiáng)學(xué)生的解題信心。

        (三)指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

        指數(shù)函數(shù)是指形如y=ax(a為常數(shù),且a>0,a≠1),其函數(shù)定義域?yàn)镽,指數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活的各個(gè)領(lǐng)域中都有著十分廣泛的應(yīng)用,如生物、金融、社會(huì)人口、房地產(chǎn)等,在數(shù)學(xué)應(yīng)用大題中,很多題目都可以通過(guò)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)的方法來(lái)求解出答案。如下題所示:

        例3:按復(fù)利計(jì)算利率的一種儲(chǔ)蓄,最初存入的本金為a元,每期利率為r,設(shè)本金和利息的和為y,求解:x年后取出本利之后,一共可以獲得多少錢。

        在求解該題目時(shí),要想得到年后的本利和,首先必須要知道y與x之間的關(guān)系公式,然后才能代入實(shí)際的本金數(shù)額得出最終答案,解題過(guò)程如下:

        解:依據(jù)題目給出信息,建立指數(shù)函數(shù)關(guān)系式:y=a(1+r)x;將本金α、利率r的數(shù)值代入,便可得到存款x年后能夠得到的實(shí)際金額。

        與其他函數(shù)相比較而言,指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值隨變量增長(zhǎng)的變化十分明顯,故而在銀行存儲(chǔ)、資金管理等類型的題目中經(jīng)常會(huì)涉及到指數(shù)函數(shù)思想,學(xué)生們?cè)诮忸}時(shí)可適當(dāng)?shù)乜偨Y(jié)相應(yīng)的規(guī)律。

        (四)分式函數(shù)的應(yīng)用

        在求解這道題目時(shí),我們不妨從構(gòu)造分式函數(shù)角度出發(fā),先明確不等式中所包含的具體信息,如f(x)=|a+b|(x≥0),f(x)=|a|+|b|(x≥0),在此基礎(chǔ)上,再結(jié)合分式函數(shù)圖像的基本特征,我們不難得出該函數(shù)在[0,+∞]區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的趨勢(shì),同時(shí)又因?yàn)閍、b相加的絕對(duì)值小于a、b各自絕對(duì)值的相加之和,通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算,我們便可得出f(|a+b|)4f(|a|+|b|)是恒成立的。

        在求解這類題目時(shí),學(xué)生首先要做的是將題目中已給出的不等式條件進(jìn)行拆分,提取出有價(jià)值的主干信息,然后再通過(guò)等式變換等方式構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù),繪制出相應(yīng)的函數(shù)圖像,將原本抽象復(fù)雜的不等式求解與證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀、形象的圖形信息,根據(jù)圖像信息得出相應(yīng)的結(jié)論。

        三、結(jié)語(yǔ)

        綜上所述,函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中有著十分重要的應(yīng)用價(jià)值,尤其是在求解一些綜合類的大題目時(shí),適當(dāng)?shù)貞?yīng)用函數(shù)構(gòu)造思想,不僅能夠快速提取出題目的主干內(nèi)容,還能有效提高學(xué)生的解題效率,促進(jìn)其發(fā)散性思維能力的發(fā)展,學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用抽象的函數(shù)構(gòu)造知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題,從而達(dá)到切實(shí)提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的目的。所以,作為一名合格的數(shù)學(xué)教師應(yīng)高度重視學(xué)生函數(shù)思想培養(yǎng),并不斷探索函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方法。

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