吳壽寵 黃紹書

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553000)

在靜態(tài)平衡中，物體的重心越低，其穩(wěn)度就越高.然而，在動(dòng)態(tài)平衡的情況下，物體的重心越低，反而越難維持其平衡狀態(tài).

我國民間的很多地方有一項(xiàng)為大眾所喜聞樂見稱為“頂桿游戲”的競(jìng)技表演，這一游戲也是很多戲團(tuán)的雜耍項(xiàng)目之一.

所謂“頂桿游戲”，就是參與游戲的人用前伸的食指或中指頂著一根細(xì)桿，使細(xì)桿在動(dòng)態(tài)中能夠維持豎直狀態(tài)或繞某準(zhǔn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而不傾倒，如圖1所示.

圖1 頂桿游戲示意圖

“頂桿游戲”是動(dòng)態(tài)平衡的典型范例.本文從動(dòng)力學(xué)角度，對(duì)“頂桿游戲”中的幾個(gè)力學(xué)問題進(jìn)行定量分析.

1 微小擾動(dòng)下的豎直平衡調(diào)整

處于豎直平衡的桿由于受到某微小擾動(dòng)，將會(huì)繞著支撐點(diǎn)(手指)轉(zhuǎn)動(dòng)而偏離豎直位置一個(gè)小角度.這時(shí)就必須在有限的時(shí)間內(nèi)對(duì)桿進(jìn)行調(diào)整，使之恢復(fù)豎直狀態(tài)，游戲才能繼續(xù)進(jìn)行.

1.1 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間與桿長度的關(guān)系

為了便于說明問題，假定“頂桿游戲”中的桿為粗細(xì)均勻的勻質(zhì)細(xì)桿.假設(shè)重力加速度為g，桿的長度為l,質(zhì)量為m，桿在豎直位置受到某一擾動(dòng)獲得初始角速度ω0后開始繞著支撐點(diǎn)N轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過角度θ時(shí)角速度變?yōu)棣?，如圖2所示.

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間與桿的長度的關(guān)系分析圖

在此過程中，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理[1]，有

(1)

(2)

若桿轉(zhuǎn)過的角度由θ增為θ+dθ的過程中，經(jīng)歷的時(shí)間為dt，那么

dθ=ωdt

(3)

將式(2)代入式(3)，列出積分式,得

(4)

(5)

圖3 對(duì)式(5)編程截圖

圖4 對(duì)式(5)編程，程序運(yùn)行截圖

由計(jì)算結(jié)果可看出，隨著桿長的增加，達(dá)到相同角度所需時(shí)間也在增加.因此，桿越長，留給游戲者的調(diào)整時(shí)間也越長.所以，在“頂桿游戲”中，一般來說，桿越長越容易成功.

1.2 微小擾動(dòng)調(diào)整的動(dòng)力學(xué)分析

桿偏離豎直位置θ角后進(jìn)行調(diào)整的過程中，桿受到重力mg,支撐點(diǎn)N的支持力FN和靜摩擦力f的作用，如圖5所示.這時(shí)，桿的頂端M點(diǎn)是幾乎不動(dòng)的準(zhǔn)定點(diǎn)，可認(rèn)為桿繞M點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，重力mg,支持力FN,靜摩擦力f對(duì)M點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩分別為

(6)

MF=FNlsinθ

(7)

Mf=flcosθ

(8)

在緩慢調(diào)整的準(zhǔn)平衡過程中，可認(rèn)為FN=mg.桿能否恢復(fù)豎直狀態(tài)，就取決于這3個(gè)力矩之間的約束關(guān)系，也就是:

圖5 微小擾動(dòng)調(diào)整的動(dòng)力學(xué)分析

2 準(zhǔn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)原理

在“頂桿游戲”中，演技高超的游戲者，能使桿繞某準(zhǔn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而不傾倒，其轉(zhuǎn)動(dòng)面是一個(gè)或兩個(gè)圓錐面.如圖6所示，這種情況下，桿同樣受到重力mg,支撐點(diǎn)N的支持力FN和靜摩擦力f(圖中只畫出其法向分力f⊥)的作用.

設(shè)準(zhǔn)定點(diǎn)O與支撐點(diǎn)N之間的距離為l0，那么各個(gè)力對(duì)準(zhǔn)定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩分別為

(9)

MF=FNl0sinθ

(10)

Mf=f⊥l0cosθ

(11)

這3個(gè)力矩之間的約束關(guān)系，決定了桿轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定情況.在相對(duì)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，仍可認(rèn)為FN=mg，因此可得:

圖6 準(zhǔn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)原理分析圖

3 結(jié)束語與說明

本文對(duì)“頂桿游戲”的分析還不很徹底，期待同行們的進(jìn)一步深入探討.同時(shí)，本文的上述分析中，有兩點(diǎn)還須作適當(dāng)說明.

(1)在微小擾動(dòng)的豎直平衡情形中，桿轉(zhuǎn)過某一小角度dθ的時(shí)間問題，也可由式(2)、(3)進(jìn)行定性分析.

(2)桿繞某準(zhǔn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，靜摩擦力f的法向分力f⊥提供了桿繞準(zhǔn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力，而其切向分力f//(圖中未畫出)的作用是補(bǔ)償桿轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的能耗，以維持或改變桿的轉(zhuǎn)速.

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)(第2版).北京：高等教育出版社，2005.224～225,231～232

2 彭芳麟.計(jì)算物理基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，2010.140～141