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        ?

        問題與征解

        2023-01-14 07:16:34
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2022年6期
        關(guān)鍵詞:開區(qū)間支撐點漸近線

        問題

        (i)證明:PA(m)是以m為變量的多項式;

        (ii)證明:PA(m)的階數(shù)degPA(m)是A的相似不變量;

        (iii)計算degPA(m),用A的若當(dāng)塊的階數(shù)表示.

        問題22(供題者:吉林大學(xué) 周鳴君) 設(shè)n≥2,Ω∈n是有界區(qū)域,

        p(x)=xTAx+bTx+c,

        其中,A=(aij)是n×n階實矩陣,x和b是n維列向量,c是常數(shù).若a11a22

        解答

        問題11(供題者: 復(fù)旦大學(xué) 嚴(yán)金海) 設(shè)f為上的非線性連續(xù)函數(shù), 稱x0∈為f的嚴(yán)格凹支撐點, 若存在k∈,使得f(x)>f(x0)+k(x-x0), ?x∈{x0}.類似地, 稱x0∈為f的嚴(yán)格凸支撐點, 若存在k∈,使得f(x)

        解本解答由張神星(合肥工業(yè)大學(xué)副研究員,E-mail: zhangshenxing@hfut.edu.cn)提供.

        (i)當(dāng)k1

        (ii)當(dāng)k1>k2時,f必有嚴(yán)格凸支撐點, 無嚴(yán)格凹支撐點;

        (iii)當(dāng)k1=k2時, 各種情形都有可能.

        不難看出,x0是f的嚴(yán)格凹支撐點當(dāng)且僅當(dāng)存在k使得

        f(x)-kx>f(x0)-kx0,?x≠x0.

        換言之,x0是函數(shù)gk(x)=f(x)-kx的唯一最小值點.凸的情形類似.

        (i)設(shè)k1

        由于gk是連續(xù)函數(shù), 因此它存在最小值.

        我們斷言, 存在k1

        于是k′(dk-c)f(dk)-f(c)k(dk-c),故cdk.因此ck

        (ii)此時-f滿足(i)中的條件, 從而易證.

        (iii)由(i)最后一段論述可知若f有嚴(yán)格凹或凸支撐點, 則對應(yīng)的k只能是k1=k2.由此不難得出:

        f1(x)=k1x+arctanx, 無嚴(yán)格凹和凸支撐點.

        供題者點評解答正確, 其將單調(diào)性與可列性結(jié)合得到唯一性的方法非常巧妙.

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