魏 嬌 趙小云

陜西學前師范學院數(shù)學系 (710100) 廣西南寧第三十七中學 (530001)

類比推理,是根據(jù)兩個對象或兩類事物之間存在著一些相同或者相似的屬性,猜測他們之間可能具有其他一些相同或相似的屬性的思維方法.它是數(shù)學中非常重要的推理方法,在數(shù)學教學中恰當?shù)膽妙惐确椒?不僅能突出問題的本質,提高教學效果,同時可以讓學生明白學習數(shù)學知識的內在本質聯(lián)系的價值遠遠超過大量學習數(shù)學事實本身,對提高學生分析問題、解決問題的能力有著極大的幫助,更能拓展思維的深度和廣度,有利于學生對所學知識融會貫通、有機整合.類比方法既是數(shù)學學習的重要方法,也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的有效方法.應用類比方法,不僅可把抽象的新知識納入到已有知識系統(tǒng)中來,變抽象為形象、變難為易、變繁為簡,同時又可激發(fā)學生聯(lián)想,具有啟發(fā)思路、舉一反三、觸類旁通的作用.

一、概念類比

由舊概念產生新概念的類比叫做概念類比.用類比法引入新概念,可使學生更好地理解新概念的內涵與外延.

圖1

例1 如圖,點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱BB1上一點，PM⊥BB1交AA1于點M,PN⊥BB1交CC1于點N.在任意△DEF中有余弦定理DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式,并予以證明.

試一試定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,a1=2,公和為5,則a18= .數(shù)列的前n項和Sn= .

二、結構類比

某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物,但可通過觀察,憑借結構上的相似性等尋找類比問題,然后通過適當?shù)拇鷵Q,將原問題轉化為類比問題來解決.

三、模式類比

試一試設f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x)的圖像關于直線x=a和直線x=b對稱(a>b).問f(x)是否為周期函數(shù),為什么?

四、方法類比

借助于過去的經驗、知識、技能與思想方法而進行的類比,稱為方法類比.

五、升維類比

將平面(二維)中問題升級到空間(三維)問題,此種方法即為升維類比.

例5 已知命題:平面上一矩形ABCD的對角線AC與邊AB和AD所成的角分別為α，β,則cos2α+cos2β=1,若把它推廣到空間長方體中,試寫出相應的命題形式,并寫出求解過程.

分析:平面與空間問題的類比,通?？梢宰プ缀我氐娜缦聦P系作對比:多邊形?多面體:邊?面;面積?體積;平面角?二面角;線段長?面積;……

六、排列組合中的類比推理

例6 已知數(shù)列{an}(n∈Z+)是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列.

(2)由(1)的結果,歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論.

分析:本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力,突出了創(chuàng)新能力的考查;通過抓住問題的實質,探討具有共同的屬性.

綜上所述:類比推理是一種由此及彼、自由聯(lián)想式的合情推理,是探索問題、解決問題與發(fā)現(xiàn)新結果的一種卓有成效的思維方法.類比思維的過程不僅是一個推理的過程,更是對思維的高度濃縮的過程.教師在教學過程中應充分引導學生尋找合適的類比對象,明確進行類比的方向和目標,設置類比性習題,加強類比訓練,有意識地營造一個較為開放型的學習空間.但也要注意,類比推理不是一種必然性的正確推理,要得到正確的結論,我們還必須經過嚴格的證明才行.在數(shù)學教學中,應引導學生仔細分析、比較,透過現(xiàn)象抓住所研究問題的特征,選擇恰當?shù)念惐葘ο?提高其結論的可靠程度,自覺地掌握和應用類比方法,達到理想中的效果.

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