郭宇紅 張 偉 楊曉東

(北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 北京 100124)

引言

隨著高新技術(shù)的發(fā)展,人們已不再滿(mǎn)足于材料單純的輕質(zhì)化,而是尋找兼有輕質(zhì)化和其他某種或幾種優(yōu)良性能相結(jié)合的先進(jìn)材料以適應(yīng)不同的需求,作為一種生物材料中普遍存在的典型結(jié)構(gòu),多孔介質(zhì)在自然界動(dòng)植物體中發(fā)揮著不可替代的生理功能. 在這些構(gòu)型中,3D-Kagome結(jié)構(gòu)擁有更加稀少的桿件布局和更小的相對(duì)密度.3D-Kagome結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)正四面體對(duì)頂連接而成的網(wǎng)架結(jié)構(gòu),將這種核心連接在面板上就形成了3D-Kagome點(diǎn)陣夾芯板[1-3]. 通過(guò)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬得到結(jié)論,相對(duì)于其他構(gòu)型的點(diǎn)陣夾芯板,在同一相對(duì)密度情況下,3D-Kagome點(diǎn)陣夾芯板具有更高的強(qiáng)度和抗屈曲性能[4-6]. 此外,3D-Kagome點(diǎn)陣夾芯板在功能性方面的表現(xiàn)也比較突出,例如具有優(yōu)異的驅(qū)動(dòng)和致動(dòng)性能,能夠在受到很小的內(nèi)部抵抗力的情況下獲得很大范圍內(nèi)的整體變形. 點(diǎn)陣材料在航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,可以減輕飛行器的重量,同時(shí)保證結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度滿(mǎn)足要求.

自從上世紀(jì)70年代,Golubitsky、Schaeffer和Stewart等將奇異性理論和群論方法引入分叉問(wèn)題的研究后,分叉理論得到了越來(lái)越多的關(guān)注,從而也推動(dòng)了奇異性理論的發(fā)展.1981年,Golubitsky和Langford[7]研究了退化Hopf分叉問(wèn)題的分類(lèi)和開(kāi)折.1982年,Golubitsky[8]和Martinet[9]等討論了在強(qiáng)等價(jià)下光滑映射芽的開(kāi)折,給出了各種形式的通有開(kāi)折定理.1985年,Golubitsky和Schaeffer[10]得到了余維數(shù)不大于3的分叉問(wèn)題的分類(lèi),其中狀態(tài)變量只有一個(gè)且具有Z2對(duì)稱(chēng)性. 1986年,Keyfitz[11]給出了余維數(shù)不大于7的分叉問(wèn)題的分類(lèi),其中狀態(tài)變量只有一個(gè)但不具對(duì)稱(chēng)性,給出了各種形式的通有開(kāi)折定理,但是這些研究都是針對(duì)單狀態(tài)變量、單分叉參數(shù)的分叉系統(tǒng)而言. 隨后人們將奇異性理論推廣到了多狀態(tài)變量的分叉研究中,1986年,Golubitsky[12]研究了單參數(shù)兩狀態(tài)變量余維數(shù)不超過(guò)2的分叉問(wèn)題的分類(lèi),其中狀態(tài)變量關(guān)于二面體群4D對(duì)稱(chēng),1988年,Melbourne[13]得到了單參數(shù)三個(gè)狀態(tài)變量余維數(shù)不超過(guò)1的分叉問(wèn)題的分類(lèi).

在開(kāi)始的研究中,研究工作沒(méi)有考慮分叉參數(shù)的對(duì)稱(chēng)性. 1986年,Gaffney[14]將冪單代數(shù)群和冪零Lie代數(shù)應(yīng)用于多參數(shù)分叉問(wèn)題中,給出了D(Γ)-等價(jià). 1996年,Furter和Sitta[15]等考慮了分叉參數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,研究了余維數(shù)不大于1的分叉問(wèn)題的分類(lèi).2003年,高守平和李養(yǎng)成等[16]討論了狀態(tài)變量和分叉參數(shù)具有不同對(duì)稱(chēng)性的余維數(shù)不超過(guò)1的分叉問(wèn)題的分類(lèi),其中狀態(tài)變量關(guān)于二面體群D4對(duì)稱(chēng),分叉參數(shù)關(guān)于S1對(duì)稱(chēng). 2006年,郭瑞芝[17]給出了狀態(tài)變量和分叉參數(shù)具不同對(duì)稱(chēng)性的岔問(wèn)題的分類(lèi)及識(shí)別條件,其中狀態(tài)變量關(guān)于二面體群D3對(duì)稱(chēng),分叉參數(shù)關(guān)于O(2)對(duì)稱(chēng). 2007年,崔登蘭和李養(yǎng)成等[18]也研究了含有兩組狀態(tài)變量且參數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性的等變分叉問(wèn)題.

隨著研究的進(jìn)一步深入,開(kāi)始了多分叉參數(shù)的研究工作. 1993年,Lavassani等[19]通過(guò)奇異性理論研究了等變多參數(shù)分叉,給出了多參數(shù)分叉問(wèn)題的有限確定定理和正規(guī)型,并討論了多參數(shù)分叉的穩(wěn)定性問(wèn)題. 2000年,胡凡努和李養(yǎng)成[20]將狀態(tài)變量分為兩組,一組狀態(tài)變量可以獨(dú)立變化,而另一組狀態(tài)變量則依賴(lài)于前一組狀態(tài)變量,研究了該類(lèi)分叉問(wèn)題的通有開(kāi)折.2003年,高守平和李養(yǎng)成[21]研究了多參數(shù)等變分歧問(wèn)題及其開(kāi)折,給出了通有的開(kāi)折定理. 但是人們通常將分歧(分叉)問(wèn)題中的狀態(tài)變量看作是“平等”的,并不加以區(qū)分. 2005年,郭瑞芝和李養(yǎng)成[22]研究了含有兩組狀態(tài)變量的多參數(shù)等變分歧問(wèn)題在左右等價(jià)群下的開(kāi)折,得出了通有開(kāi)折的充要條件. 2010年,秦朝紅和陳予恕等[23-26]研究了含有兩個(gè)狀態(tài)變量和兩個(gè)分叉參數(shù)的分叉系統(tǒng)的奇異性理論,并給出了含有兩個(gè)分叉參數(shù)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集的計(jì)算方法.

本文以點(diǎn)陣夾芯板為切入點(diǎn),計(jì)算1:1內(nèi)共振情況下點(diǎn)陣夾芯板的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程,推廣含有兩個(gè)狀態(tài)變量和三個(gè)及三個(gè)以上參數(shù)的一般非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)分叉方程的奇異性理論,利用推廣的奇異性理論計(jì)算復(fù)合層合板的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)分叉方程的普適開(kāi)折,同時(shí)計(jì)算普適開(kāi)折的轉(zhuǎn)遷集,并進(jìn)一步討論若干重要參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響.

1點(diǎn)陣夾芯板非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)分叉方程的普適開(kāi)折

1.1 點(diǎn)陣夾芯板的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程

考慮橫向激勵(lì)與面內(nèi)激勵(lì)聯(lián)合作用下四邊簡(jiǎn)支點(diǎn)陣夾芯板,在板的中面上建立坐標(biāo)系oxy,板在x和y方向的長(zhǎng)度分別為a和b,厚度為h,設(shè)夾芯板中面上任一點(diǎn)在x、y和z方向的位移分別為u、v和w,板承受沿z方向的橫向激勵(lì)f=F(x,y)cosΩ1t與沿y方向作用于x=0和x=a的面內(nèi)激勵(lì)p=p0+p1cosΩ2t聯(lián)合作用,這里,Ω1和Ω2分別為橫向激勵(lì)與面內(nèi)激勵(lì)的頻率. 點(diǎn)陣夾芯板由點(diǎn)陣夾芯層與覆蓋在上面的兩層蒙皮組成,蒙皮采用各向同性材料,其厚度為hf,芯層厚度為hc. 其動(dòng)力學(xué)方程為:

(1a)

(1b)

其中,w1為第一階模態(tài)的振幅,w2為第二階模態(tài)的振幅,μ1和μ2表示對(duì)應(yīng)于兩階模態(tài)的阻尼,F1和F2表示對(duì)應(yīng)于兩階模態(tài)的橫向激勵(lì)幅值,βij(i=1,2;j=1…7)表示材料參數(shù). 方程(1)的詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程及其所有參數(shù)表達(dá)式參見(jiàn)文獻(xiàn)[27].

1.2 在1:1內(nèi)共振情況下點(diǎn)陣夾芯板動(dòng)力學(xué)方程攝動(dòng)分析

利用多尺度法進(jìn)行研究,將方程(1)中的阻尼項(xiàng)、參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)、熱激勵(lì)項(xiàng)和非線(xiàn)性項(xiàng)添加小擾動(dòng)項(xiàng)ε,考慮點(diǎn)陣夾芯板的主參數(shù)共振-1:1內(nèi)共振的情況,共振關(guān)系如下:

2ω1=Ω1-εσ1,2ω2=Ω2-εσ2, Ω1=Ω2

(2)

式中ω1和ω2為相應(yīng)線(xiàn)性系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率,σ1和σ2為系統(tǒng)的調(diào)諧參數(shù),為了方便處理,令Ω1=1.

設(shè)方程(1)的一致漸近解為:

w(x,t,ε)=w0(x,T0,T1)+εw1(x,T0,T1)

(3)

其中T0=t,T1=εt.

則有微分算子:

(4a)

(4b)

將式(3)和(4)帶入方程(1)中,比較方程兩邊攝動(dòng)參數(shù)ε同階次的系數(shù),得到如下方程:

ε0階:

(5a)

(5b)

ε1階:

(6a)

(6b)

方程(5a)和(5b)的解可以寫(xiě)成如下復(fù)數(shù)形式:

(7)

將方程(7)代入方程(6a)和方程(6b)中得到:

(8a)

(8b)

其中cc和NST分別表示方程(8)右端函數(shù)的復(fù)數(shù)部分和長(zhǎng)期項(xiàng).

A1和A2可以表示為下列形式:

(9)

消除方程(8)中可以產(chǎn)生長(zhǎng)期項(xiàng)的部分,將方程(9)代入方程(8), 將實(shí)部與虛部分離,得到極坐標(biāo)形式的四維平均方程為:

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(11b)

展開(kāi)方程(11),得到:

(12a)

(12b)

式中:

k19=-β13cos(φ1-φ2),k110=-β13β16cos(3φ1-φ2),

k111=-3β14β16cos(2φ1),k112=-3β14,

k116=2β16sin(2φ1),k117=2β16cos(2φ1),

k29=-β23cos(φ2-φ1),k210=-β23β26cos(3φ2-φ1),

k211=-3β24β26cos(2φ2),k212=-3β24,

k216=2β26sin(2φ2),k217=2β26cos(2φ2)

(12c)

1.3 在1:1內(nèi)共振情況下點(diǎn)陣夾芯板動(dòng)力學(xué)方程分叉分析

令:

(13)

式中:

(14a)

(14b)

z=(a1,a2),λ=(σ1,σ2,p1)

(14c)

1.3.1限制切空間

定理1.1芽g(z,λ)的限制切空間RT(g,1)能夠表示為:

RT(g,1)=M2+M〈σ1,σ2,p1〉

(15)

證明:根據(jù)命題1.4(文獻(xiàn)[10]中,第二冊(cè)169頁(yè)),RT(g,1)的生成元有14個(gè):

(g1,0),(g2,0),(0,g1),(0,g2),a1(g1,a1,g2,a1),

a2(g1,a1,g2,a1),σ1(g1,a1,g2,a1),σ2(g1,a1,g2,a1),

p1(g1,a1,g2,a1),a1(g1,a2,g2,a2),a2(g1,a2,g2,a2),

σ1(g1,a2,g2,a2),σ2(g1,a2,g2,a2),p1(g1,a2,g2,a2)

(16)

式中:

(17a)

(17b)

(17c)

(17d)

M2+M〈σ1,σ2,p1〉的生成元有18個(gè):

(σ2a1,0), (p1a1,0), (σ1a2,0), (σ2a2,0),

(0,σ1a1), (0,σ2a1), (0,p1a1), (0,σ1a2),

(0,σ2a2), (0,p1a2)

(18)

下面證明,當(dāng)(a1,a2,σ1,σ2,p1)=(0,0,0,0,0)時(shí),(16)和(18)之間存在一個(gè)可逆矩陣A,使得兩者可以互相表示:

(19)

式中:

(20a)

u2=(σ2(g1,a1,g2,a1)p1(g1,a1,g2,a1)a1(g1,a2,g2,a2)

a2(g1,a2,g2,a2)σ1(g1,a2,g2,a2)σ2(g1,a2,g2,a2)

(20b)

(σ2a1,0) (p1a1,0) (σ1a2,0) (σ2a2,0)

(20c)

(0,σ2a1) (0,p1a1) (0,σ1a2) (0,σ2a2)

(20d)

(20e)

(20g)

(20h)

式中:

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

(21e)

k28μ2a1a2+k29σ2a1a2+k210p1a1a2+

(21f)

(21g)

2k213σ2a1a2+2k214p1a1a2

(21h)

2k113σ1a1a2+2k114p1a1a2

(21i)

(21j)

因?yàn)棣?>0,μ2>0,當(dāng)a1=a2=σ1=σ2=p1=0時(shí),

(22)

這樣矩陣A等于:

(23)

式中:

(24a)

(24b)

(24c)

(24d)

在14×18的矩陣A中,容易發(fā)現(xiàn)第1行和第5行線(xiàn)性相關(guān),第4行和第11行線(xiàn)性相關(guān),第7、8、9、13、14、15列是空的,剔除第5、11行和第7、8、9、13、14、15列,剩下一個(gè)12×12的矩陣,很容易證明12×12的矩陣的行列式的值是非零的.

證明完成.

1.3.2 簡(jiǎn)單識(shí)別

定理1.2令:

g(z,λ)=h(z,λ)+q(z,λ)

(25)

式中:

(26a)

(26b)

可以得到g和h是強(qiáng)等價(jià)的.

證明:根據(jù)定理1.1,M2+M〈σ1,σ2,p1〉的一個(gè)高階項(xiàng)是:

M3+M2〈σ1,σ2,p1〉

(27)

對(duì)于多項(xiàng)式g,我們觀察發(fā)現(xiàn):

(28a)

(28b)

根據(jù)定理4.1(文獻(xiàn)[10]中,第二冊(cè)185頁(yè)),可以得到g和h是強(qiáng)等價(jià)的.

證明完成.

在下面的討論中,g將被h取代.

引理1.1h的非退化條件是:

(29)

滿(mǎn)足非退化條件的h等價(jià)于:

(30)

證明:h是關(guān)于a1,a2的二次齊次多項(xiàng)式,根據(jù)方程(2.7) (文獻(xiàn)[10]中,第一冊(cè)402頁(yè)),

(31)

根據(jù)方程(2.8)(文獻(xiàn)[10]中,第一冊(cè)402頁(yè)),

(32)

因?yàn)棣?>0,μ2>0,

(33)

h的正規(guī)形式能夠表示為:

(34)

證明完成.

觀察表達(dá)式(34),h的普適開(kāi)折需要表達(dá)式(34)補(bǔ)足h的線(xiàn)性項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).

定理1.3令:

H(a1,a2,σ1,σ2,p1)=(h1(a1,a2,σ1,σ2,p1),h2(a1,a2,σ1,σ2,p1))是分叉問(wèn)題h的一個(gè)4參數(shù)開(kāi)折,如果滿(mǎn)足引理1.1,則H是h的普適開(kāi)折,當(dāng)且僅當(dāng):

det(Q)=

(35)

式中γ是輔助參數(shù),這里:

(a1,a2,σ1,σ2,p1,γ)=(0,0,0,0,0,0)

證明: 矩陣Q能夠被表示為:

Q=(α1,α2,α3,α4,α5,α6)T

(36)

式中:

α1=(0,h1,a1a1,h1,a1a2,0,h2,a1a1,h2,a1a2)

(37a)

α2=(0,h1,a2a1,h1,a2a2,0,h2,a2a1,h2,a2a2)

(37b)

α3=(h1,σ1,h1,σ1a1,h1,σ1a2,h2,σ1,h2,σ1a1,h2,σ1a2)

(37c)

α4=(h1,σ2,h1,σ2a1,h1,σ2a2,h2,σ2,h2,σ2a1,h2,σ2a2)

(37d)

α5=(h1,p1,h1,p1a1,h1,p1a2,h2,p1,h2,p1a1,h2,p1a2)

(37e)

α6=(h1,γ,h1,γa1,h1,γa2,h2,γ,h2,γa1,h2,γa2)

(37f)

將h代入方程(37), 得到:

α1=(0,2,0,0,0,0),α2=(0,0,0,0,0,2),

α3=(0,0,0,0,0,0),α4=(0,0,0,0,0,0),

α5=(0,0,0,0,0,0),α6=(0,0,0,0,0,0)

(38)

在方程(38),僅有2個(gè)向量α1和α2是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的,因此存在補(bǔ)足h的4個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量:

(39)

式中λ,λ′和λ″的取值是σ1,σ2和p1三個(gè)分叉參數(shù)中的任意一個(gè),且互相之間取值不同.

這樣,我們得到:

(40)

把方程(40)代入方程(35),得到:

det(Q)≠0.

(41)

反過(guò)來(lái),在方程(38)中,僅有向量α1和α2是線(xiàn)性無(wú)關(guān),因?yàn)閐et(Q)≠0, 補(bǔ)足h的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量需要4個(gè):

(42)

這樣,得到:

證明完成.

1.3.3 多項(xiàng)式空間的維數(shù)

定理1.4多項(xiàng)式空間能夠簡(jiǎn)化為:

R{(dh)z,λ(Y1),…,(dh)z,λ(Ym),hλ,λhλ,λ2hλ,…}

=R{(a1,0),(0,a2)}

(43)

證明: 推導(dǎo)方程(43),建立下面的矩陣關(guān)系:

(44)

式中:

(45a)

(45b)

(45c)

(45d)

(45e)

(45f)

(45g)

(45h)

顯然:

D1=2,D2=2

(46)

R{(dh)z,λ(Y1),…,(dh)z,λ(Ym),hλ,λhλ,λ2hλ,…}

=R{(a1,0),(0,a2)}

(47)

證明完成.

1.3.4 奇異性理論推廣

根據(jù)定理1.1,有下面的關(guān)系:

h∈M2?M2+M〈σ1,σ2,p1〉

(48)

得到:

(49)

因此,對(duì)奇異性理論作如下的推廣:

〈h〉⊕p(n)=T(h+1)

(50)

式中p(n)是一個(gè)有限維子空間.

同理,存在m個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量補(bǔ)足T(h,1),使得

(51)

式中p′(m)是一個(gè)有限維子空間.

把方程(50)代入方程(51), 得到

(52)

證明完成.

推論1.1n=6-2-m.

證明:根據(jù)定理1.3,存在6個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量,但是在方程(38)中,僅有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量α1和α2. 根據(jù)引理1.1, 可知2+m+n=6,即:n=6-2-m.

證明完成.

引理1.3讓輔助參數(shù)γ∈R作用在單項(xiàng)式λl1xl2上, 如果l1≠0,則|γ|能夠被剔除,sgn(γ)λl1xl2將被獲得.

證明:對(duì)于γλl1xl2,如果l1≠0,|γ|能夠嵌入在λl1中,得到sgn(γ)λl1,這是因?yàn)棣煤挺硕际菂?shù),有共同的輔助特性.

證明完成.

在后面的討論中,為了簡(jiǎn)化符號(hào),sgn(γ)被記作ε.

1.3.5 普適開(kāi)折

ε11p1+γ)

(53a)

ε21p1+γ)

(53b)

ε31σ1+γ)

(53c)

ε41σ1+γ)

(53d)

ε51σ2+γ)

(53e)

ε61σ2+γ)

(53f)

式中γ是輔助參數(shù),εij=+1,0,-1；i=1,…,6；j=1,2,3.

證明:根據(jù)方程(2.7) (文獻(xiàn)[10]中,第二冊(cè)211頁(yè)),可知:

R{(a1,0),(0,a2)}

(54)

ItrT(h,1)是包含在T(h,1)中的極大理想:

(55)

可知:

(σ2,0),(p1,0),(-1,0)

(0,a1),(0,a2),(0,σ1),

(0,σ2),(0,p1),(0,1)}

(56)

維數(shù)是12.

(a2,0), (0,a1), (σ1,0), (0,σ1), (σ2,0),

(0,σ2),(p1,0), (0,p1),(-1,0),(0,1)

(57)

根據(jù)定理1.3,簡(jiǎn)化方程(57),

(a2,0), (0,a1), (σ1,σ1), (σ2,σ2),

(p1,p1), (-1,1)

(58)

(σ1a1,0), (σ2a1,0), (p1a1,0), (σ1a2,0),

(σ2a2,0), (p1a2,0), (0,σ1a1), (0,σ2a1),

(0,p1a1), (0,σ1a2), (0,σ2a2), (0,p1a2)

(59)

在方程(58)中,對(duì)于向量(a2,0)和(0,a1),存在兩個(gè)輔助參數(shù)β1和β2,使得(β1a2,0)和(0,β2a1)發(fā)生. 根據(jù)定理1. 3,(β1a2,0)和(σ1a2,0), (σ2a2,0), (p1a2,0)三個(gè)向量中的任意一個(gè)線(xiàn)性相關(guān)；(0,β2a1)和(0,σ1a1), (0,σ2a1), (0,p1a1)三個(gè)向量中的任意一個(gè)線(xiàn)性相關(guān). 因此,(a2,0)和(0,a1)將被剔除.

在h的普適開(kāi)折中,存在4個(gè)輔助參數(shù)α1,α2,α3和γ,使得(α1p1,α1p1),(α2σ1,α2σ1), (α3σ2,α3σ2)和(-γ,γ)發(fā)生,根據(jù)引理1.3,(ε1p1,ε1p1),(ε2σ1,ε2σ1),(ε3σ2,ε3σ2)和(-γ,γ)發(fā)生. 因?yàn)閜1,σ1,σ2和γ都是參數(shù),根據(jù)定理1.3,把四個(gè)向量(ε1p1,ε1p1),(ε2σ1,ε2σ1),(ε3σ2,ε3σ2)和(-γ,γ)代入方程(37)中,僅有兩個(gè)向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的,根據(jù)定義1.1,m=2.

根據(jù)定理1.3, 在矩陣Q中,可知向量(-γ,γ)必然發(fā)生.

為了簡(jiǎn)化符號(hào),(ε2σ1,ε2σ1)記作(ε1σ1,ε1σ1),(ε3σ2,ε3σ2)記作(ε1σ2,ε1σ2).

根據(jù)推論1.1,n=2.

根據(jù)上面的分析,得到:

ε11p1+γ)

(60a)

ε21p1+γ)

(60b)

ε31σ1+γ)

(60c)

ε41σ1+γ)

(60d)

ε51σ2+γ)

(60e)

ε61σ2+γ)

(60f)

根據(jù)引理1.3,當(dāng)所有隱輔助參數(shù)和輔助參數(shù)γ等于零,即:εij=0 (i=1,…,6;j=1,2,3)和γ=0,我們可以得到:

Gi(a1,a2,p1,0,0,0,0)=h(a1,a2,p1)

(61)

根據(jù)定理1.3,當(dāng)εij≠0,對(duì)于方程(60)有:

(62a)

(62b)

(62c)

(62d)

(62e)

(62f)

證明完成.

1.3.6 轉(zhuǎn)遷集

在下面的分析中,我們討論方程(53)的轉(zhuǎn)遷集.

對(duì)于方程(53a),分叉集滿(mǎn)足的條件是:

(63a)

(63b)

(63c)

由方程(63c)的第三個(gè)等式,可得分叉集的表達(dá)式:

(64)

方程(63c)的第一和第二個(gè)等式,表明分叉發(fā)生時(shí):

(a1,a2,σ1,σ2,p1,γ)=(0,0,0,0,0,0)

(65)

滯后集:

G=0, det(dG)=0和d2G(v,v)∈range(dG),

(66)

任意非零v∈ker(dG).

滯后集滿(mǎn)足的條件:

(67a)

(67b)

a1a2-ε12ε13σ1σ2=0

(67c)

(67d)

式中v=(v1,v2).

我們假設(shè)σ1≠0和σ2≠0,則:

v=(a1,ε12σ1)

(68)

(69)

計(jì)算方程(69),可得:

(70)

讓a1乘以方程(70)的兩端,然后代入方程(67c)中,得到:

(71)

由方程(67c)和方程(71),可得:

(72)

方程(67a)加方程(67b),可得:

(73)

把方程(71)和方程(72)代入方程(73)中,得到滯后集的表達(dá)式:

(74)

雙極限點(diǎn)集滿(mǎn)足的條件:

(75a)

(75b)

a1a2-ε12ε13σ1σ2=0

(75c)

(a11,a21)≠(a12,a22),當(dāng)p1=const

(75d)

根據(jù)方程(64)計(jì)算,可知:

σ1=0,p1≤0和σ2=0,p1≤0當(dāng)ε11=1,

(76a)

σ1=0,p1≥0和σ2=0,p1≥0當(dāng)ε11=-1

(76b)

我們定義ρ,θ和δ是fTσ2σ1-空間的圓柱坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換,令:

σ1=ρ3cos3θ,σ2=ρ3sin3θ,p1=ρ6δ

(77)

把方程(77)代入方程(64)和方程(74)中,B,H和D有如下形式:

(78a)

(78b)

(78c)

同理,方程(53b),(53c), (53d),(53e)和(53f)的轉(zhuǎn)遷集∑也能夠被獲得.

2 數(shù)值模擬

本節(jié)利用Runge-Kutta法對(duì)方程(53a)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,針對(duì)分叉表達(dá)式,滯后表達(dá)式和雙極限點(diǎn)集得到關(guān)于三個(gè)分叉參數(shù)σ1,σ2和p1的平面轉(zhuǎn)遷集和立體轉(zhuǎn)遷集,同時(shí)給出了相應(yīng)的力-幅圖.

根據(jù)以上分析結(jié)果,對(duì)方程(53a)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,由方程(64)和方程(74),我們得到方程(53a)關(guān)于三個(gè)分叉參數(shù)σ1,σ2和p1的平面轉(zhuǎn)遷集和立體轉(zhuǎn)遷集,當(dāng)ε11=-1時(shí),如圖1和圖2所示；當(dāng)ε11=1時(shí),如圖5和圖6所示,B表示分叉集,H表示滯后集,D表示雙極限點(diǎn)集. 從方程(64)的表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)p1固定時(shí),在圖2(a)中,分叉集是一個(gè)圓；當(dāng)σ1或σ2固定時(shí),在圖2(a)中,分叉集是一個(gè)拋物線(xiàn).

圖1和圖2將方程(53a)平衡點(diǎn)附近鄰域分為不同的區(qū)域,分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)陣夾芯板不同的振動(dòng)形式,在區(qū)域(1)中方程(53a)有一個(gè)零解；在區(qū)域(2)中方程(53a)有兩個(gè)零解；在區(qū)域(3)中方程(53a)沒(méi)有零解.

圖1 ε11=-1時(shí)方程(53a)的平面轉(zhuǎn)遷集Fig. 1 Plan transition variety for Equation (53a) when ε11=-1

圖2 ε11=-1時(shí)方程(53a)的三維轉(zhuǎn)遷集Fig.2 Three-dimensional sketch of Transitions variety for Equation (53a) when ε11=-1

圖3表示,當(dāng)ε11=-1,ε12=1和ε13=1時(shí),方程(53a)的第一階模態(tài)的力-幅響應(yīng),其對(duì)應(yīng)參數(shù)值分別為:

(a)σ1=-3,σ2=-1,γ=0

(b)σ1=-1,σ2=-3,γ=0

(c)σ1=-3,σ2=-1,γ=1

(d)σ1=-1,σ2=-3,γ=1

圖4表示,當(dāng)ε11=-1,ε12=1和ε13=1時(shí),方程(53a)的第二階模態(tài)的力-幅響應(yīng),其對(duì)應(yīng)參數(shù)值分別為:

(a)σ1=-1,σ2=-3,γ=0

(b)σ1=-3,σ2=-1,γ=0

(c)σ1=-1,σ2=-3,γ=1

(d)σ1=-3,σ2=-1,γ=1

圖3 ε11=-1時(shí)方程(53a)在不同參數(shù)下第一階模態(tài)的力-幅響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.3 Force-amplitude response curves of the first-order mode with different parameters for Equation (53a) when ε11=-1

圖4 ε11=-1時(shí)方程(53a)在不同參數(shù)下第一階模態(tài)的力-幅響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.4 Force-amplitude response curves of the second-order mode with different parameters for Equation (53a) when ε11=-1

同理,圖5和圖6將方程(53a)平衡點(diǎn)附近鄰域分為不同的區(qū)域,分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)陣夾芯板不同的振動(dòng)形式,在區(qū)域(1)中方程(53a)有一個(gè)零解；在區(qū)域(2)中方程(53a)有兩個(gè)零解；在區(qū)域(3)中方程(53a)沒(méi)有零解.

圖7表示,當(dāng)ε11=1,ε12=1和ε13=1方程(53a)的第一階模態(tài)的力-幅響應(yīng),其對(duì)應(yīng)參數(shù)值分別為:

(a)σ1=-3,σ2=-1,γ=0

(b)σ1=-1,σ2=-3,γ=0

(c)σ1=-3,σ2=-1,γ=1

(d)σ1=-1,σ2=-3,γ=1

圖5 ε11=1時(shí)方程(53a)的平面轉(zhuǎn)遷集Fig.5 Plan transition variety for Equation (53a) when ε11=1

圖6 ε11=1時(shí)方程(53a)的三維轉(zhuǎn)遷集Fig.6 Three-dimensional sketch of Transitions variety for Equation (53a) when ε11=1

圖7 ε11=1時(shí)方程(53a)在不同參數(shù)下第一階模態(tài)的力-幅響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.7 Force-amplitude response curves of the first-order mode with different parameters for Equation (53a) when ε11=1

圖8表示,當(dāng)ε11=1,ε12=1和ε13=1時(shí),方程(53a)的第二階模態(tài)的力-幅響應(yīng),其對(duì)應(yīng)參數(shù)值分別為:

(a)σ1=-1,σ2=-3,γ=0

(b)σ1=-3,σ2=-1,γ=0

(c)σ1=-1,σ2=-3,γ=1

(d)σ1=-3,σ2=-1,γ=1

圖8 ε11=1時(shí)方程(53a)在不同參數(shù)下第二階模態(tài)的力-幅響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.8 Force-amplitude response curves of the second-order mode with different parameters for Equation (53a) when ε11=1

同樣的方法,也可以對(duì)方程(53b)、(53c)、 (53d)、 (53e)和(53f)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,針對(duì)分叉表達(dá)式,滯后表達(dá)式和雙極限點(diǎn)集得到關(guān)于三個(gè)分叉參數(shù)σ1、σ2和p1的平面轉(zhuǎn)遷集和立體轉(zhuǎn)遷集.

3 結(jié)論

針對(duì)1:1內(nèi)共振情況下點(diǎn)陣夾芯板的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)分叉方程,推廣了對(duì)于含有兩個(gè)狀態(tài)變量和三個(gè)及三個(gè)以上分叉參數(shù)的一般非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程的奇異性理論,得到點(diǎn)陣夾芯板的非線(xiàn)性力學(xué)分叉方程余維4的6個(gè)普適開(kāi)折的表達(dá)式,從方程(64)的表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)p1固定時(shí),分叉集是一個(gè)圓；當(dāng)σ1或σ2固定時(shí),分叉集是一個(gè)拋物線(xiàn),同時(shí),在區(qū)域(1)中,方程(53)有一個(gè)零解；在區(qū)域(2)中方程(53)有兩個(gè)零解；在區(qū)域(3)中方程(53)沒(méi)有零解. 研究結(jié)果對(duì)理解點(diǎn)陣夾芯板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性具有指導(dǎo)意義,并為該類(lèi)構(gòu)件的工程應(yīng)用提供參考.

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