陳麗華 薛堅 張偉

(北京工業(yè)大學(xué), 北京100124)

引言

裂紋廣泛存在于工程結(jié)構(gòu)中,如果出現(xiàn)裂紋,結(jié)構(gòu)的阻尼和剛度將會發(fā)生改變,從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的振動特性發(fā)生變化.梁、板元件是工業(yè)中應(yīng)用最廣泛的結(jié)構(gòu),特別是在航天、航空領(lǐng)域,由于板出現(xiàn)裂紋經(jīng)常導(dǎo)致重大安全事故的發(fā)生.因此,研究裂紋對板振動特性的影響有重要的理論意義和廣泛的工程應(yīng)用前景.

對于含邊角穿透裂紋的振動特性研究,Yuan,Dickinson[1]應(yīng)用區(qū)域分解法,并在內(nèi)邊界人為地附加虛擬彈簧,研究了帶邊角裂紋的四邊簡支矩形板的彎曲振動問題.Yuan和Young[2]也用了區(qū)域分解法研究了完全自由的帶邊角和內(nèi)部裂紋環(huán)形板的振動問題.Liew[3]等人用同樣的方法得到了各種邊界條件下裂紋矩形薄板的固有頻率.他們將裂紋板假設(shè)成可以用適當(dāng)方程表達(dá)的子區(qū)域的組合體,并得到了裂紋薄板振動問題的特征值方程.Leissa,Huang[4,5]假設(shè)裂紋板的模態(tài)函數(shù)由兩部分構(gòu)成,一個是代數(shù)多項式,一個是附加的轉(zhuǎn)角函數(shù),并結(jié)合Ritz法研究了帶V型裂紋或邊角裂紋矩形的自由振動.Huang[6,7]用同樣的方法研究了四邊簡支或懸臂的矩形Mindlin板和功能材料Reddy板.本課題組陳麗華、孫悅[8,9]等人研究了帶邊角裂紋懸臂矩形薄板的振動特性.在此基礎(chǔ)上本文考慮剪切變形的影響對帶邊角裂紋懸臂矩形Mindlin板的振動特性進(jìn)行研究.

本文用梁函數(shù)組合法得到理想完整板的模態(tài)函數(shù),這樣由完整板的模態(tài)函數(shù)和角函數(shù)組成的特殊模態(tài)函數(shù)能更好的描述板的振動特性并且有了更好的物理意義.最后,本文研究了裂紋長度、裂紋高度、裂紋角度對Mindlin懸臂板振動特性的影響,并利用Ansys有限元軟件進(jìn)行驗(yàn)證.

1 控制方程

基于一階剪切變形理論,Mindlin板自由振動的動力學(xué)方程為:

(1)

(2)

(3)

矩形懸臂板的邊界條件為:

固定端:y=0:w=0,φy=0,φx=0

(4a)

自由端:y=b:Mx=0,Mxy,Qx=0

(4b)

x=0,a:My=0,Mxy,Qy=0

(4c)

式中,w表示板的法向位移；J=h3/12；h為板的厚度；ρ為板的質(zhì)量密度；w表示中性面上的橫向位移；φx和φy是中性面法線轉(zhuǎn)過去的角度.這里:

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

式中,D為板的抗彎剛度,D=Eh3/12(1-v2);G為剪切模量,G=E/(2(1-v));κτ=π2/12為剪切修正系數(shù);E,v分別為材料的彈性模量和Poisson比.

2 位移函數(shù)

裂紋板自由振動解的形式可設(shè)為:

w(x,y,t)=W(x,y)φ(t)

(6a)

φx(x,y,t)=Φx(x,y)φ(t)

(6b)

φy(x,y,t)=Φy(x,y)φ(t)

(6c)

W(x,y),φx(x,y)和φy(x,y)為裂紋板的振型函數(shù).

本文采用雙向梁函數(shù)組合的級數(shù)形式來逼近完整板振動的真實(shí)振型.對于完整矩形Mindlin板的振型可以設(shè)為:

(7a)

(7b)

(7c)

其中Xi(x),Yi(y)分別為板x,y方向與邊界條件相對應(yīng)的梁位移函數(shù),Φi(x),Φj(y)分別為與板x,y邊界條件相應(yīng)之梁轉(zhuǎn)角函數(shù),Aij,Bij,Cij為待定的振型系數(shù).

下面根據(jù)梁函數(shù)組合法來求完整板的模態(tài)函數(shù).

如圖1,x方向(自由-自由)的各階梁函數(shù)為:

X1=1

(8a)

(8b)

(i=3,4,5,…)

(8c)

在y方向(固定-自由)的各階梁函數(shù)為:

(9)

由文獻(xiàn) [10]可以得出轉(zhuǎn)角函數(shù):

(10a)

(10b)

Xi?表示Xi(x)對x的三階偏導(dǎo),Yj?表示Yj(y)對y的三階偏導(dǎo).

圖1 矩形板的尺寸以及(r,θ)坐標(biāo)Fig. 1 Dimension and coordinate of a rectangular plate with a side-crack

將式(8a～8c)和(9)分別代入式(10a)和(10b)中便可得到轉(zhuǎn)角的Φi(x),Φj(y)的振型函數(shù),再代入到(7a～7c)便可以得到完整矩形Mindlin板的振型函數(shù).

考慮到帶邊角裂紋矩形板的振動,只用式(7a～7c)來描述其振型函數(shù)顯然是不合理的,因?yàn)椴粷M足裂紋處位移和轉(zhuǎn)角不連續(xù)的條件,因此需要在完整板的基礎(chǔ)上附加上一個角函數(shù)來描述裂紋附近的性質(zhì).針對裂紋板,其振型函數(shù)由兩部分構(gòu)成,一部分是用梁函數(shù)組合法得到的理想完整板Mindlin板的振型,另一部分是利用裂紋的尖端奇異性理論來構(gòu)造描述裂紋附近位移和轉(zhuǎn)角的角函數(shù),即運(yùn)用半角三角函數(shù)的性質(zhì),在裂紋兩邊構(gòu)造撓度和轉(zhuǎn)角不連續(xù)性質(zhì)的表達(dá)式.所以帶裂紋矩形Mindlin板的振型函數(shù)可設(shè)為:

(11a)

(11b)

(11c)

式中ψkc(r,θ)(k=1,2,3)為描述裂紋的角函數(shù).

附加描述裂紋性質(zhì)的角函數(shù)可設(shè)為:

(l=0,1,2,…,n；n=1,2,3,…)

(12)

(13)

但是θ的表達(dá)式在各個區(qū)域的形式有所不同,具體表達(dá)式如下:

(14)

式中,x0=a-dcosα,y0=c-dsinα,如圖1所示,α是裂紋順時針方向與水平線的夾角,a、b分別是矩形板的長和寬,c、d分別是裂紋的高度和長度.

將式(13)中r的表達(dá)式和(14)中不同區(qū)域的θ表達(dá)式代入(12)中就得到了直角坐標(biāo)下的角函數(shù)表達(dá)式.

在(12)式中g(shù)k(x,y)是滿足各種幾何邊界條件的簡單函數(shù).對于y=0處固支的懸臂板其表達(dá)式可表示為:

gk(x,y)=y(k=1,2,3)

(15)

3 Ritz法

本文研究的是帶裂紋矩形Mindlin板,如圖1所示.基于Mindlin板理論,用Ritz法可以求出裂紋板的固有頻率.在Ritz法中,帶裂紋矩形Mindlin板的最大勢能(Umax)和最大動能(Tmax)分別為:

(16a)

(16b)

式中,ω是帶裂紋矩形Mindlin板的固有頻率；W,Φx和Φy分別是式(11a～11c)中的模態(tài)函數(shù);這些函數(shù)下標(biāo)里逗號后面的變量表示函數(shù)對相應(yīng)變量的偏導(dǎo).通過求能量方程:

∏=Vmax-Tmax

(17)

(18)

4 結(jié)果分析

4.1 帶裂紋懸臂Mindlin板的頻率分析

(1)裂紋長度對懸臂Mindlin板頻率的影響

表1考察相同裂紋角度和裂紋位置下不同裂紋長度對板固有頻率的影響.裂紋位置c/b=1/2;裂紋的角度α=15°或α=-15°;裂紋長度的變化為d/a=0.1,0.2,0.3,…,0.6.

表1 不同裂紋長度懸臂板的頻率參數(shù)Table 1 Frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plates with different crack lengths

在裂紋角度和位置相同的情況下,改變裂紋的長度對固有頻率有一定的影響,從表1可以看出,不論對于第幾階固有頻率,均是裂紋長度越長,板固有頻率就越小,這是由于局部剛度減小的原因造成的.當(dāng)裂紋長度大于或等于板的寬度的一半時,固有頻率減小得更快.

(2)裂紋位置對懸臂Mindlin板頻率的影響

圖2考查了相同裂紋角度和裂紋長度下不同裂紋位置對板的前三階固有頻率的影響,裂紋位置的變化為c/b=0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,…,0.75.

在裂紋長度和角度相同的情況下,改變裂紋的位置對固有頻率也有一定的影響,從圖2可以得出:當(dāng)α±15°時,隨著裂紋位置由固定端向自由端移動,裂紋板的第一階固有頻率逐漸增大,第二階固有頻率先減小后增大,即當(dāng)裂紋處在板中間位置時對固有頻率的減小比在兩端時有更顯著的影響.在α為15°時,對于第三階固有頻率,由于第三階振動模態(tài)有兩條節(jié)線,所以固有頻率的變化趨勢是先增大后減小再增大,在越靠近節(jié)線位置附近頻率減小的越顯著.當(dāng)α為-15°時,固有頻率的趨勢是先減小后增大.

圖2 d/a=0.4時不同裂紋位置懸臂板的前三階頻率參數(shù)Fig. 2 Firstthree order Frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack locations (d/a=0.4)

(3) 裂紋角度對懸臂Mindlin板頻率的影響

圖3(a)～3(c)考查了相同裂紋位置和裂紋長度下不同裂紋角度對板的前三階固有頻率的影響,橫坐標(biāo)的單位為(°).

在裂紋長度和位置相同的情況下,改變裂紋的角度對固有頻率有一定的影響,當(dāng)裂紋角度與x軸的夾角從正方向增大時,第一階固有頻率逐漸減小,第二階和第三階固有頻率均是一直呈增大的趨勢；當(dāng)裂紋角度與x軸的夾角從負(fù)方向增大時,前兩階階固有頻率均呈現(xiàn)增大的趨勢,第三階固有頻率先減小后增大.

圖3 d/a=0.4,c/b=0.5時α不同裂紋角度的前三階頻率參數(shù)Fig. 3 First three order Frequency parameters ωa2 of different crack angles at crack angles at d/a=0.4 and c/b=0.5

4.2 帶裂紋懸臂Mindlin板的模態(tài)分析

得到各階固有頻率之后,本文計算了前三階的振型,針對Mindlin板分別給出了撓度W和轉(zhuǎn)角Φx、Φy的模態(tài)圖.

圖4 裂紋板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°時有關(guān)W的前三階模態(tài)函數(shù)圖Fig. 4 First three order model of W for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

圖5 裂紋板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°時有關(guān)Φx的前三階模態(tài)函數(shù)圖Fig. 5 First three order model of Φx for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

圖6 裂紋板在d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°時有關(guān)Φy的前三階模態(tài)函數(shù)圖Fig. 6 First three order model of Φy for the crack plate at d/a=0.4,c/b=0.5,α=15°

從圖4～6中裂紋板的模態(tài)函數(shù)圖可以看出,裂紋的存在使得各階的模態(tài)函數(shù)圖中出現(xiàn)了位移和轉(zhuǎn)角不連續(xù)的現(xiàn)象.

5 有限元仿真

本文應(yīng)用Ansys有限元分析軟件進(jìn)行建模和求解,由于本文研究的是懸臂裂紋Mindlin板,因此選取殼單元進(jìn)行建模.圖7為Ansys中截取的一張有限元模型圖.

圖7 Ansys中裂紋板模型圖以及局部放大圖Fig. 7 The FE model of crack plate and its partial enlarged detail in ANSYS

有限元中材料和尺寸比例與前面的理論計算保持一致.其中計算結(jié)果與理論計算結(jié)果對比和誤差分析如表2和表3.表2對不同裂紋長度下仿真與理論計算的結(jié)果進(jìn)行對比.表3對不同裂紋位置下仿真與理論計算的結(jié)果進(jìn)行對比.

圖8為Ansys有限元仿真得到的裂紋板前三階模態(tài)函數(shù)圖.

將圖8與上一節(jié)理論計算中的圖4對比可以看出,同樣的裂紋參數(shù)下,其振動的模態(tài)函數(shù)圖形式是一致的,可以驗(yàn)證理論計算求解模態(tài)函數(shù)的正確性.

表2 不同裂紋長度懸臂板的前三階頻率參數(shù)Table 2 The first three order frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack lengths (c/b=0.5,α=15°)

表3 不同裂紋位置懸臂板的前三階頻率參數(shù)Table 3 The first three order frequency parameters ωa2 of the cantilevered square plate with different crack location (d/a=0.4,α=15°)

圖8 時有限元仿真的前三階模態(tài)函數(shù)圖Fig. 8 First three order model of crack plate at in ANSYS

將仿真的數(shù)據(jù)與理論計算結(jié)果進(jìn)行對比,發(fā)現(xiàn)當(dāng)裂紋參數(shù)變化時,兩種結(jié)果均呈現(xiàn)了相同的變化規(guī)律,并且有限元仿真與理論結(jié)果的誤差可以控制在一定的范圍內(nèi).通過驗(yàn)證可以說明理論推導(dǎo)的正確性.

6 結(jié)論

本文利用Ritz法求得了帶邊角裂紋懸臂板的固有頻率和模態(tài)函數(shù),進(jìn)而研究了不同裂紋參數(shù)對板固有頻率的影響.并應(yīng)用Ansys有限元分析軟件進(jìn)行驗(yàn)證.通過本文的研究發(fā)現(xiàn):

(1)本文推導(dǎo)的附加角函數(shù)的模態(tài)函數(shù)可以表示裂紋處位移及轉(zhuǎn)角的不連續(xù)性.

(2)通過對本文理論分析得到的固有頻率和模態(tài)與有限元軟件Ansys得到的結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證了本文理論推導(dǎo)和計算的正確性.

(3)通過分析裂紋參數(shù)對固有頻率的影響表明:①裂紋的存在使得局部剛度減小,不論對于第幾階固有頻率,均是裂紋長度越長,板固有頻率就越小.②裂紋靠近節(jié)線位置時頻率減小的越顯著.③隨著角度從負(fù)向正增大時,第一階固有頻率逐漸減小,第二階和第三階固有頻率均先減小后增大.

本文對裂紋板的研究在損傷探測方面具有重要的應(yīng)用價值,可利用本文的研究成果來探測裂紋的位置和長度,并且為以后裂紋板的非線性振動研究奠定了理論基礎(chǔ).

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