崔新斌 傅景禮

(1.浙江理工大學機械與自動控制學院,杭州 310018) (2. 浙江理工大學理學院,杭州 310018)

引言

目前,拉格朗日方程被廣泛應用于機械系統[1-3]、電路系統[4-6]、壓電系統[7]和機電系統[8-10]中,并在這些系統的建模和分析方面發(fā)揮著重要的作用.傅[8]等人研究了機電系統的Noether對稱性,這使得機械系統的一些理論擴展到機電系統中.哈密頓-拉格朗日方程是基于能量的傳導機理推導出的,而關于能量傳導機理以及機電耦合系統的哈密頓原理,在很多論文中都已有講述.現在,機電換能器普遍出現在人們的生活當中.在機電系統中,機械能通過換能器能夠轉化為電能,反之亦然.基于哈密頓-拉格朗日的原則,系統的且統一的研究機電系統的方法已經被建立.尼爾森方程作為分析力學的一個重要結論,應該被引入到機電系統的分析當中去.

利用拉格朗日方程對機械系統、電路系統機電系統分析建模的方法已經得到廣泛利用.在機械系統中,尼爾森方程是一個重要的結論,且得到廣泛應用.在這里,我們研究并推導了機電系統的的尼爾森方程,給出利用尼爾森方程對機電系統分析建模的方法.文中通過研究電容式麥克風給出尼爾森方程的使用方法和計算過程.

在機械系統中,尼爾森方程為分析機械系統建立其微分方程提供了一種新的方法[1].尼爾森方程與拉格朗日方程有這同等重要的地位,而且由于兩種方程求導方式不同,對一些系統建模時,尼爾森方程可能更加的便捷.同樣,機電系統的尼爾森方程也具有這樣的作用.

1 機電系統中的尼爾森方程

1.1 機電系統的拉格朗日方程

機電系統的歐拉-拉格朗日動力學方程為:

(1)

上式中,zi是機電系統相互獨立的所有機械廣義坐標,qk為機電系統相互獨立的所有電路廣義坐標.m和n分別為機械廣義坐標和電路廣義坐標的數量.Qi為系統中廣義坐標,zi對應的廣義非勢力,Ek為廣義坐標,qk對應的電源電壓,D為系統耗散函數,其中包括電能耗散和機械耗散兩個部分.函數

(2)

1.2 機電系統的尼爾森方程

機電系統包括兩個部分,即機械部分和電路部分.兩個部分既有一定的聯系,又各自遵循各自相應的法則.

首先,研究機電系統的機械部分.一個機電系統的機械部分應滿足虛位移的運動力學約束條件,即達朗貝爾-拉格朗日原理:

(3)

(4)

根據機械系統的尼爾森方程可以得到[1]:

(5)

(6)

通過計算拉格朗日函數對時間的導數可得:

(7)

和式

(8)

由式(6)和(8)可得:

(9)

和式

(10)

在系統中,式(9)中δzi是彼此獨立的.因此,式(9)能夠改寫為:

(11)

在機電系統中,耗散函數為:

(12)

從上式(12)可以看出,Dm和De分別表示機電系統機械部分和電路部分的耗散,電路部分的耗散不依賴于機械的廣義坐標,機械部分的耗散與電路中電流無關.因此含有耗散的尼爾森方程為:

(13)

然后,研究機電系統的電路部分.機電系統的機械部分和電路部分通過一些獨立的廣義坐標聯系在一起.但是,電路部分必須滿足基爾霍夫電壓定律,電壓只依賴于電路部分的廣義坐標.

對于電路,電能函數為:

(14)

在對電容器充電的過程中,電容器兩極板間產生一個電勢差:

(15)

磁余能函數為:

(16)

上式中,Lkr(k≠r)是第k個獨立回路與第r個獨立回路的互感系數,Lkk為第k個回路的自感系數,且:

Lkr=Lrk(zi)

(17)

(18)

根據式(18)可得:

(19)

電路部分耗散為:

(20)

且

(21)

然后,計算偏導數:

(22)

和偏導數:

(23)

將式(21)、(22)和(23)帶入(19)得:

(24)

綜上所述,式(13)和(24)為機電系統的尼爾森方程,即:

(25)

1.3 機電系統的尼爾森方程與拉格朗日方程的等效性

電磁揚聲器是一個簡單的機電系統.下面分析該系統來驗證機電系統的尼爾森方程與拉格朗日方程的等效性.

揚聲器將電能轉換為聲能.圖1是低頻的揚聲器模型,其機械部分為含有阻尼的彈簧-質量系統,m、k、c為對應元件的常數,T是傳感器常數.

圖1 電磁揚聲器Fig.1 Electromagnetic loudspeaker

We=0

(26)

系統耗散為:

(27)

從上式(26)可得系統拉格朗日函數為:

(28)

首先,將式(27)和(28)帶入式(1)得:

(29)

式(29)即為電磁揚聲器的拉格朗日方程.

然后,對拉格朗日函數對時間求導得:

(30)

將式(27)和(30)帶入式(25)得:

(31)

式(31)即為電磁揚聲器的尼爾森方程.通過比較,式(29)和(31)完全相同.因此,我們可以看出機電系統的尼爾森方程與拉格朗日方程具有相同的作用.

2 電容式麥克風

利用實例電容式麥克分來說明機電尼爾森方程的分析建模過程.

電容式麥克風由一個固定的極板和一個與之平行的可動極板組成,后者與彈簧相連.該電容通過一個具有電壓源和RL支路的串聯電路充電.電阻R兩端的電勢差可反映作用于極板上的壓強.

圖2為電容式麥克風的模型,在系統中,c為機械部分阻尼系數,k是彈簧彈性系數,m為動極板的質量.x0表示兩個極板的距離,x1表示彈簧在平衡位置的伸長.假設可動極板電容的電容值為:

(32)

在平衡位置時,電容器的電量q0在兩極板間產生一個吸引力為:

(33)

它與彈簧力相平衡,因此有:

(34)

圖2 電容式麥克風Fig.2 Capacitive microphone

(35)

因此,系統拉格朗日函數為:

(36)

求上式的關于時間的導數為:

(37)

系統耗散為:

(38)

因此,由上可以得到系統的尼爾森方程為:

(39)

(40)

假設q?q0、x?x0,即系統關于平衡位置作小幅度振動,有:

(x0-x)(q0+q)≈x0q0-q0x+x0q

(41)

通過式(40)和(41)，式(39)能被改寫為:

(42)

3 小結

在本文中,我們提出用尼爾森方程為機電系統建模的方程并給出了計算過程.這種方法與拉格朗日方程具有相同的作用.無論機電系統中機械部分和電路部分是否有耦合,我們都可以利用尼爾森方程為其建模.在機械系統中,尼爾森方程為一些系統建立方程提供一種更為簡單的方法,而本文將這種方程擴展到機電系統中,為機電系統建立微分方程提供了一種新的方法.

1梅鳳翔. 分析力學. 北京:北京理工大學出版社, 2013 (Mei F X. Analytical mechanics. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2013 (in Chinese))

2翟曉陽,傅景禮. 汽車車體振動系統的對稱性與守恒量研究. 應用數學和力學, 2015,36(12):1285～1239 (Zhai X Y, Fu J L. Study on symmetries and conserved quantities of vehicle body vibration system.AppliedmathematicsandMechanics, 2015,36(12):1285～1293 (in Chinese))

3梅鳳翔. 李群和李代數對約束力學系統的應用. 北京:科學出版社, 1999 (Mei F X. Application of lie groups and lie algebras to constrained mechanical systems. Beijing: Science Press,1999 (in Chinese))

4Scherpen J M A, Klaassensi J B, Ballini L. Lagrangian modeling and control of DC-to-DC converters.ProceedingsoftheIEEEINTELEC, 1999,99CH37007:31～41

5Scherpen J M A, Jeltsema D, Klaassensi J B. Lagrangian modeling and control of switching networks with integrated coupled magnetics.IEEEConferenceonDecision&Control, 2000,4:4054～4059

6Stramigioli S. Modeling and IPC control of interactive mechanical system: A coordinate free approach. London: Springer, 2001

7謝煜,傅景禮,陳本永. 壓電堆疊作動器的對稱性求解. 應用數學和力學, 2016,37(8):778～790 (Xie Y, Fu J L, Chen B Y. Solution of symmetries for piezoelectric stack actuators.AppliedMathematicsandMechanics, 2016,37(8):778～790 (in Chinese))

8Fu J L,Chen L Q. On Noether symmetries and form invariance of mechanico-electrical systems.PhysicsLettersA, 2004,331(3-4):138～152

9Preumont A. Mechatronics dynamics of electromechanical and piezoelectric systems. Netherlands: Springer, 2006

10 邱家俊. 機電分析動力學. 北京:科學出版社, 1992 (Qiu J J. Electromechanical analytical mechanics. Beijing: Science Publishing Company, 1992 (in Chinese))