北京泰德渥特科技有限公司□溫英明

江 門 市 五 邑 大 學□溫文炯

1 前言

齒輪的精度檢測是齒輪加工和產品驗收的一項重要工作。齒輪檢測項目較多。傳統檢測齒輪精度使用儀器需要多種，如單嚙儀、齒形儀、雙嚙儀、萬能測齒儀、齒圈徑向跳動儀等等，一般來說操作都較繁瑣。如使用雙面嚙合檢查儀、周節(jié)測量儀等，雖然能測量出齒輪誤差，但通用性較差，且測量結果容易受人為因素的影響。運用齒距儀測量齒輪齒距偏差與齒距累積誤差，測量時與測量后的數據處理工作相當繁瑣。

為了簡化操作和減少使用的儀器種類，不少學者都對采用三坐標測量機檢測齒輪精度做了探討。但就目前而言，大多數文獻介紹的都是只檢測齒輪的某一項精度，并且操作仍然需要進一步簡化。如陳興田等著 《齒輪齒距偏差和齒距累積誤差測量值的計算機處理》、徐勁力等著 《齒輪齒距偏差和齒距累積誤差測量的智能改造》、曾愛文等著 《三坐標測量機在齒輪齒距偏差測量中的應用》等文獻只適用于檢測齒輪齒距偏差和齒距累積誤差。也有幾篇文獻要求提取點位于同一圓周 （甚至特定分度圓），操作繁瑣，難于實現。由于齒距有偏差，又反過來影響了提取點位于同一圓周的可靠性，從而影響了檢測的精度。魏冰陽等著 《等距曲面理論及其在螺旋錐齒輪齒面誤差檢測中的應用》、彭浩坤等著 《漸開線圓柱齒輪齒廓偏差計算新方法》、肖威等著 《漸開線圓柱齒輪齒廓偏差的評定方法研究》等文獻主要檢測齒廓形狀偏差和齒廓總偏差。

“圓柱齒輪綜合檢測程序”就是為解決以上問題而研制的程序。以下以外圓柱齒輪為例，首先介紹齒輪綜合檢測程序主要的精度檢測計算原理，然后介紹程序設計流程以及檢測齒輪的操作過程。

2 圓柱齒輪綜合檢測程序的精度檢測計算原理

（1）計算接觸點投射后的坐標

對于圓柱齒輪，從某一個齒面提取若干點（圖1）。把第一個提取點，如A作為基準，即確認其為理想的齒面上的點，將其按齒向線 （螺旋線）的方向向端面投射成為點A′。把經過A′點的漸開線作為理想的漸開線，稱之為基準漸開線。并由該點求解分度圓上的點坐標。假設提取點B也位于A點所在的理想齒面上，按齒向線的方向把提取點B向端面投射成為點B′。B′應該在經過A′點的理想的漸開線上。假設某個提取點，不是位于理想的齒面上，如齒面上的凹入缺陷點C，投射后成為C′點，將不可能位于基準漸開線上。C和A投射以后的坐標關系不符合漸開線的函數關系。

圖1 提取點向端面投影

由于三坐標機的測頭為球形，假設其半徑為R。在理想的齒面上測量時，三坐標機顯示的數值是測頭球心的坐標值，而非與實際齒面接觸點的坐標值。但所有球心都位于一個與實際齒面等距的漸開線曲面上。建立新坐標系，以選定的軸（孔）心線為Z軸，以選定的一個端面為XOY平面，如按上面方法，把提取點 （球心）P0和實際接觸點P按齒向線的方向向端面投射為P0′（x0，y0， 0） 和 P′（x， y， 0） 時， P0′和 P′分別位于相距為R的兩條漸開線上 （圖2）。圖2中的點B為過P′點的漸開線與基圓的交點，T為過P0′的法線與半徑為rb的基圓的相切點。

P0′由提取點P0經坐標變換和投射而來，因此可作為已知值。但P′坐標值尚未知道，應該求解。由公式 （1）、 公式 （2）、 公式 （3），可得式 （4）。

圖2 測球中心和實際接觸點

公式 （4）見下。

設直線OT的斜率為k，則k=tan（β）

P0′T 的方程見式 （5）。

又由于 P0′P′=sqrt ［（x0-x）2+ （y0-y）2］ =R，因此可以求解 P′（x， y， 0）。

于是可以進行以下計算同，見式 （6）、（7）、 （8）、 （9）。

（2）確定分度圓上的點

假設點P′是由第一個提取點P0經坐標變換和投射，并且消除測頭半徑影響后的點 （實際接觸點的轉換） （圖3）。設位于過P′的漸開線的分度圓上的點為Pd，現在要求∠PdOX。

按以上已經求取得∠P′OX 和∠δ=∠BOP′，分度圓壓力角αd為已知的設計值，分度圓的漸開線函數展開角∠BOPd=tag（αd） -αd。 也應看作已知值。對于左側齒面 （圖3），見公式 （10）。

可以類似地求右側齒面位于過P′的漸開線的分度圓上的點的極角∠PdOX （圖4），見式 （11）。

由第一個齒兩側面分度圓上的點位置求齒厚對稱面的位置，此為所有其他齒的周向計算基準。周向計算基準只用于分齒和確定齒的左或右側面位置。齒輪所有齒，可以求得最大齒厚偏差和最小齒厚偏差。

圖3 左側齒面分度圓上的點

圖4 右側齒面分度圓上的點

以上求齒距偏差和齒厚偏差時，分度圓上的點都是由各齒面第一個提取點推導而得到的，因此對第一點的位置沒有嚴格的要求，操作很方便。此處沒有考慮其他提取點的影響，因為這樣處理和傳統儀器的檢測效果相當，但更方便。

3）齒廓形狀偏差計算

把單側齒廓同一軸截面的提取點所對應的分度圓上的點Pi′（i=1，…，n）求出后 （圖 5），求它們的最大弧長之差Hd。平均齒廓跡線的位置和傾斜度用最小二乘法計算得到。齒廓形狀偏差ffα為包容實際齒廓跡線的兩條與平均齒廓跡線完全相同的曲線間的距離。

齒廓形狀 （僅限于未修形的漸開線）總偏差Fα=Hd×cos （αd）。

圖5 螺旋線偏差

（3）各項偏差計算

1）齒距偏差計算

單個齒距偏差jpt等于相鄰同側齒廓分度圓上對應點之間的弧長與理論齒距之差。齒距累積偏差Fpk和齒距累積總偏差Fp的計算就不言而喻了。

2）齒厚偏差計算

單個齒左右兩側齒廓分度圓上對應點之間的弧長與理論齒厚之差為某個齒的齒厚偏差。比較

4）螺旋線偏差

螺旋線偏差是在端面基圓切線方向上測得的實際螺旋線偏離設計螺旋線的量。把單側齒廓同一半徑 （近似）的提取點所對應的分度圓上的點Pi′（i=1，…，n） 求出后 （圖5），求它們的最大弧長之差Hd。螺旋線偏差 （僅限于未修形的漸開線） ffβ=Hd×cos （αd）。 平均螺旋線的位置和傾斜度用最小二乘法計算得到。

把螺旋線形狀偏差的最大值取作螺旋線總偏差Fβ。

5）齒輪徑向綜合偏差和徑向跳動

一齒徑向綜合偏差fi″是被測齒輪轉過一個齒距時的徑向綜合偏差。

把某單一側齒面上的第一個提取點看作是位于理想齒面上。假設某個提取點 （實際接觸點），不是位于理想的齒面上 （如齒面上的凹入缺陷點C），該點投射后成為C′點。

對于左側齒面 （圖6）， 見式 （12）。

對于右側齒面 （圖7）， 見式 （13）、 式 （14）。

對于與OC′位于同一極半徑上的基準漸開線上的 C0′點， 應求其長度 OC0′。過 C0′做法線與基圓相切于T點， 設δ=∠C0′OT （圖6或圖7）。

由∠BOC′=tan （δ） -δ， 采用牛頓法求 δ， 見式 （15）。

差值 C′C0′= （OC0′-OC′）， 即是提取點處的徑向偏差。把一側齒面的全部提取點徑向偏差進行計算，并比較大小。徑向偏差最大值與最小值之差即為一齒徑向綜合偏差fi″。把全部齒面的全部徑向偏差比較大小，最大值與最小值之差即為徑向綜合總偏差fi″，也可以認為是徑向跳動。

圖6 左側齒面徑向偏差和跳動

圖7 右側齒面徑向偏差和跳動

以上述理論為基礎，就可以計算出齒輪的大部分相關偏差。

3 齒輪綜合檢測程序設計流程和檢測齒輪的操作過程

把被測齒輪工件放置于三坐標機工作空間（最好是先把齒輪裝夾于分度裝置上再放入），方位不限。

運行齒輪綜合檢測程序，首先 “輸入文件名” （圖8）。該名即是存儲被檢測零件數據的文件名。

“測量要素命名”就是給作為檢測基準的軸心線和兩端面這三個要素命名 （名稱可隨意寫）。一般來說，作為徑向基準，應該選取齒輪工作時的回轉軸心線，也是檢測時的基準軸心線。對于圓柱齒輪軸向以某一端面定位，兩平面間的距離即為齒寬。

“初始化”是輸入三坐標機測頭半徑，并檢測標準球。如果首次啟動本程序或更換測頭，就要進行此操作。

“檢測基準軸”和 “檢測端平面”，目的是對已經命名的軸 （或孔）和兩端平面做檢測。由此獲得基準參數，主要包含齒輪軸向定位點坐標和軸向方向數。

圖8 程序框圖

框圖中， “檢測外圓柱齒輪”是選擇鍵，從此處開始的操作只針對外圓柱齒輪輪齒相關的精度計算 （本文省略了對檢測內圓柱齒輪的介紹）。

根據提示 “輸入基本參數”，包括齒數、模數、壓力角、螺旋角、變位系數等。此后屏幕出現操作面板 （本文省略圖示），以下雙引號內的文字提示都將出現在其中。

“輸入提取點坐標值”用于對某齒面循環(huán)輸入提取點。

任意選定某一個齒作為第一齒。先測量齒的左側面 （展開右手，指尖向上，掌心面對操作者，手指靠近小手指的一側為左側，靠近大拇指的一側為右側），再測量右側面。每個齒側面至少提取三個點 （提取點數越多、分布越均勻，精度會越高），第一個提取點應該靠近分度圓附近。第二個提取點與第一個提取點應該在不同齒高處。

操作面板中 “串口輸入”的下方，顯示的是三坐標機的提取點坐標值。操作者認為合適時則按 “輸入坐標值”鍵。

如果齒輪繞分度裝置進行了旋轉的話，該齒面所有提取點測量完后，則要確定 “繞軸心線旋轉角度”，把其右側數字修改成實際操作的轉角。這樣設計，使得提取點操作很方便，沒有必要經常調整測量桿方位，也就沒有必要經常檢測標準球。

按 “計算單側齒廓”鍵，則完成了對某一側齒面的檢測和計算。實際極角和展開角等顯示在操作面板下方表中，可供參考。

循環(huán)對逐個齒面進行測量和計算。

最后按 “計算齒輪精度”鍵，相關的齒輪精度將顯示在兩個表中，見表1。

除了第一和第二兩個齒面必須確定為第一個齒的左右兩側齒面外，其余齒面的檢測可以不按順序，是否全部齒面都檢測也由操作者確定 （沒有檢測的齒面就沒有相關的檢測計算數據）。

4 結論

齒輪綜合檢測程序檢測齒輪時，以齒輪軸或孔心線為徑向基準。以提取點的坐標值推導出理論上相應的分度圓上的點坐標。再用這些理論上的分度圓上的點坐標作齒輪的檢測項目計算，包括：單個齒距偏差fpt，齒距累積偏差Fpk，齒距累積總偏差Fp，齒廓形狀偏差ffα，齒廓總偏差Fα，螺旋線形狀偏差ffβ，螺旋線總偏差Fβ，一齒徑向綜合偏差fi″，徑向綜合總偏差fi″，徑向跳動Fr，齒厚最大偏差以及齒厚最小偏差等共12項。

以上只介紹圓柱外齒輪的檢測，內齒輪的檢測主要差異在于提取點轉換成實際接觸點時的計算不同，本文從略介紹。

表1 齒輪精度檢測結果顯示