張迪 張銀星 邱小芬 祝光湖 李科贊

(桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西密碼學(xué)與信息安全重點(diǎn)實驗室,桂林 541004)

1 引 言

自20世紀(jì)80年代,隨著以互聯(lián)網(wǎng)為代表的信息工程技術(shù)的迅猛發(fā)展,人類已經(jīng)進(jìn)入了一個網(wǎng)絡(luò)時代.我們的身邊圍繞著各種各樣的網(wǎng)絡(luò),例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、生物網(wǎng)絡(luò)等.人類社會的日益網(wǎng)絡(luò)化就要求我們要對這些復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)有更深入的認(rèn)識.近年來,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究取得了一系列重要的研究成果[1,2].

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域,同步現(xiàn)象一直是學(xué)者們關(guān)注的重點(diǎn)問題.在現(xiàn)實生活中,同步現(xiàn)象普遍存在,例如觀眾的掌聲響亮如雷鳴,過往的行人太多會導(dǎo)致大橋坍塌,各種網(wǎng)絡(luò)同步的例子數(shù)不勝數(shù).當(dāng)然,有些同步是有利的,有些則是有害的.正因為同步現(xiàn)象的普遍存在,并且具有很大的應(yīng)用價值,所以近幾十年以來,同步被廣泛且深入地研究并取得了大量有價值的研究成果[3?7],這些同步包括完全同步[8,9]、部分同步[10]、相位同步[11]、滯后同步[12]、投影同步[13]、廣義同步[14]、混沌同步[15]等.

時滯是現(xiàn)實動力系統(tǒng)中普遍存在的一種現(xiàn)象.時滯通常是由于通信距離、信道噪聲等因素引起的.近年來,具有時滯的同步現(xiàn)象已經(jīng)引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注,并應(yīng)用在物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等多個領(lǐng)域.研究表明,滯后同步的現(xiàn)象不僅會發(fā)生在一個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,而且完全有可能發(fā)生在兩個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之間.例如文獻(xiàn)[16]研究了單個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)里的滯后同步,文獻(xiàn)[17—19]研究了兩個耦合動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)上的廣義滯后同步.在這些研究中,主要考慮如何在兩個耦合的網(wǎng)絡(luò)(其中一個為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò),另一個為響應(yīng)網(wǎng)絡(luò))系統(tǒng)之間實現(xiàn)滯后同步.

接連滯后同步是Li等[20]提出的一種復(fù)雜動力系統(tǒng)上的新型滯后同步模式,接連滯后同步指的是依據(jù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)編號,第i+1個節(jié)點(diǎn)與第i個節(jié)點(diǎn)接連實現(xiàn)滯后同步,即當(dāng)t→+∞時,xi(t?τ)→xi+1(t),其中xi表示第i個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量,τ為同步時滯.在現(xiàn)實生活中的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間通常是存在通信時滯的,因此考慮含通信的時滯網(wǎng)絡(luò)上的同步問題更具現(xiàn)實意義.在文獻(xiàn)[20]中沒有考慮節(jié)點(diǎn)之間的通信時滯,在文獻(xiàn)[21]中只考慮帶有一致通信時滯的復(fù)雜動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)上的接連滯后同步.由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)往往具有差異性,它們之間的通信時滯也往往會隨著節(jié)點(diǎn)的不同而不一樣.例如,在國慶閱兵時,由一架架飛機(jī)組成的飛機(jī)網(wǎng)絡(luò),為了避免碰撞和保持隊形(可視為接連滯后同步),飛機(jī)的駕駛員之間要時刻保持聯(lián)絡(luò),但是由于通信距離和駕駛員個體差異等方面的影響,飛機(jī)與飛機(jī)之間的通信一定會存在時滯現(xiàn)象,而且不同駕駛員之間的通信時滯肯定會有所不同.因此,研究含有不同通信時滯(即非一致通信時滯)的動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)上的同步問題將更加具有現(xiàn)實意義.

多智能體系統(tǒng)的一致性是網(wǎng)絡(luò)同步的一種情形,類似文獻(xiàn)[20],本文的工作也可用于多智能體系統(tǒng)一致性的研究.近年來,多智能體系統(tǒng)的一致性受到了廣泛關(guān)注和深入研究,如文獻(xiàn)[22]考慮具有非線性動力學(xué)和有向拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的一個二階一致性問題,其中每個節(jié)點(diǎn)都受位置和速度一致性項的影響,且具有時變漸近速度;文獻(xiàn)[23]研究了在多拉格朗日系統(tǒng)中沒有通信的條件下參數(shù)不確定性下的不使用鄰居速度信息有向圖的分布式協(xié)調(diào)問題;文獻(xiàn)[24]提出多智能體系統(tǒng)的滯后一致性概念,研究了有向網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下一階領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)的滯后一致性問題.

正是考慮到現(xiàn)實生活中處處存在時滯,并且不同節(jié)點(diǎn)之間的通信時滯往往是不同的,所以本文構(gòu)建了含有非一致通信時滯的動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型,并重點(diǎn)分析了該網(wǎng)絡(luò)的接連滯后同步的穩(wěn)定性,得到了同步穩(wěn)定的充分條件,使得本文的研究更加符合現(xiàn)實的要求;其次,分別設(shè)計了線性反饋控制和自適應(yīng)反饋控制,利用Lyapunov函數(shù)方法分析了該網(wǎng)絡(luò)模型的接連滯后同步的穩(wěn)定性,獲得了同步穩(wěn)定的充分條件;最后,通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果的正確性.

2 預(yù)備知識

為了后續(xù)理論分析的需要,首先介紹本文將要用到的一些預(yù)備知識.

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)有n個節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間存在通信時滯,且不同的節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的時滯不一樣(即非一致通信時滯),則受控下的復(fù)雜動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)可描述如下:

其中i=1,2,...,n,xi(t)=(xi1,xi2,···,xim)T∈Rm表示節(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)變量;τij＞0是節(jié)點(diǎn)i與j之間的通信時滯(也稱傳輸時滯);常數(shù)c＞0是耦合強(qiáng)度;ui(t)代表第i個節(jié)點(diǎn)的反饋控制.假設(shè)耦合矩陣是不可約矩陣,

ki是第i個節(jié)點(diǎn)的度,當(dāng)?shù)趇個節(jié)點(diǎn)與第j個節(jié)點(diǎn)有連接時aij=aji=1,當(dāng)?shù)趇個節(jié)點(diǎn)與第j個節(jié)點(diǎn)沒有連接時aij=aji=0,(i?=j,i,j=1,2,...n).記Γ=(τij)n×n為系統(tǒng)(1)的通信時滯矩陣.

假設(shè)1Γ為對稱的,τij=τji且τij=τi+1,j+1(i,j=1,2,···,n?1).

記C([?(n?2)τ?max{τij},0],R)為全體從[?(n?2)τ?max{τij},0]到R上連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合.

定義1[20]如果對于任意的初始條件xi(t)=φi(t)∈C([?(n?2)τ?max{τij},0],R)和所有的i∈{1,2,···n?1},都有

則動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)實現(xiàn)了接連滯后同步(successive lag synchronization,SLS),即接連滯后同步是全局穩(wěn)定的,其中同步時滯τ＞0.

定 義2[25]QUAD(?,P,ω) 函 數(shù) 類:設(shè)是 對 角 矩 陣,P=是 正 定 對 角 矩 陣, 函 數(shù)若存在ω＞0,以及所有有

引理1[26]設(shè)矩陣M= (mij)p×q,則有不等式

引理2(Barbalat引理)[27]若g(t):R→R+在[0,+∞)為一致連續(xù)函數(shù),且極限

引理3[20]若g(t):在[0,+∞)為一致連續(xù)函數(shù),且積分

在[0,+∞)上有界,則

引理4[28]對有合適維數(shù)的矩陣A,B,C它們之間的Kronecker積?滿足

其中?是任意常數(shù).

3 SLS的控制策略及穩(wěn)定性分析

本節(jié)將分別設(shè)計線性反饋控制和自適應(yīng)反饋控制兩種方法來達(dá)到接連滯后同步,利用Lyapunov函數(shù)法和Barbalat引理分析接連滯后同步的穩(wěn)定性.

3.1 線性反饋控制

為了消除后面誤差系統(tǒng)中的抑制項實現(xiàn)接連滯后同步,設(shè)計以下的預(yù)備函數(shù):

其中d＞0為控制強(qiáng)度,

且

進(jìn)一步,設(shè)計線性反饋控制如下:

于是得到

定義同步誤差ei(t)=xi(t?τ)?xi+1(t),i=1,2,...,n?1.從而系統(tǒng)(1)的誤差系統(tǒng)可描述為

由假設(shè)1知τij=τi+1,j+1,結(jié)合(8)從而有誤差系統(tǒng)

其中

且

定理1設(shè)為對角矩陣,為正定對角矩陣,若且存在d＞0,使得

證明定義Lyapunov函數(shù)如下:

其中

其中Q=cπ(P)In?1.

V(t)沿著系統(tǒng)(9)的解求導(dǎo)可得:

其中

由引理1知

結(jié)合(18)—(21)式可知

兩邊同時對t求積分得到

3.2 自適應(yīng)反饋控制

由定理1知,總可以選取足夠大的控制強(qiáng)度d,使得不等式(10)得以滿足,從而實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)的接連滯后同步.但是,控制強(qiáng)度越大,意味著控制成本越高.為了降低控制強(qiáng)度,本節(jié)將采用自適應(yīng)控制法來實現(xiàn)接連滯后同步.

定義預(yù)備函數(shù)

其中di(t)≥0表示時變控制強(qiáng)度,對于k=i,有

當(dāng)k=i時,有

設(shè)計自適應(yīng)反饋控制如下:

定理2設(shè)為對角矩陣,為正定對角矩陣,若那么在控制(23)下的動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)對任何初始條件都可以實現(xiàn)接連滯后同步.

證明定義Lyapunov函數(shù)

由該定理的已知條件知

其中

由假設(shè)1知τij=τji,從而

選取適當(dāng)?shù)摩潦沟??2α＞0,并選取適當(dāng)?shù)腄?使得

可得

4 數(shù)值模擬

為了驗證控制方法的有效性和正確性,將用具體的數(shù)值例子進(jìn)行驗證.

4.1 線性反饋控制

不妨選取網(wǎng)絡(luò)(1)的局部動力學(xué)為蔡氏電路系統(tǒng)[20],

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及節(jié)點(diǎn)編號如圖1所示.不失一般性,不妨設(shè)動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n=4.

圖1 節(jié)點(diǎn)數(shù)為4的無權(quán)無向鏈?zhǔn)骄W(wǎng)絡(luò),編碼為4,1,2,3Fig.1.Unweighted and undirected Chain-shaped network with size n=4,coding 4,1,2,3.

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的耦合矩陣是

下面用線性反饋控制實現(xiàn)動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的接連滯后同步.

根據(jù)控制(6)我們得到

不妨選取c=0.1,由(10)式知,要使

則需控制強(qiáng)度d≥10.2782,從而滿足定理1的條件,就意味著在該控制下的動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)在任何初始條件下都可以實現(xiàn)接連滯后同步.

另外,不妨取d=14,τ=0.15,通信時滯矩陣

其中τ12=τ21=τ23=τ32=τ34=τ43=0.3,τ13=τ31=τ24=τ42=0.2,τ14=τ41=1. 不失一般性,類似文獻(xiàn)[23,24],在數(shù)值模擬中,選取初始條件?i(t)=0.

利用MATLAB軟件得到模擬結(jié)果(見圖2,圖3).圖2給出了在線性反饋控制(6)下動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量xi1,xi2,xi3的軌線,圖3給出了在控制(6)下,動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)的同步誤差ei1,ei2,ei3的軌線.

圖2 在控制(6)下,動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)的狀態(tài)變量xi1,xi2,xi3的軌線,其中i=1,2,3,4,d=14.Fig.2. Trajectories of all state variables xi1,xi2,xi3of dynamical network(1)under control(6),wherei=1,2,3,4,d=14.

圖3 在控制(6)下,動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)的同步誤差ei1,ei2,ei3的軌線,其中i=1,2,3,4,d=14Fig.3. Trajectories of SLS errors ei1,ei2,ei3of dynamical network(1)under control(6),where i=1,2,3,4,d=14.

從這些數(shù)值模擬可以看出,在線性反饋控制下動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的接連滯后同步可以實現(xiàn).

4.2 自適應(yīng)反饋控制

與此同時,也可以在耦合矩陣不變以及其他條件都一樣的情況下,用自適應(yīng)反饋控制來實現(xiàn)接連滯后同步.

模擬結(jié)果見圖4,di(t)最終都穩(wěn)定了,說明實現(xiàn)了接連滯后同步.另外,由控制強(qiáng)度di(t)的軌線圖可知控制強(qiáng)度的最大值d?i=0.0812,說明自適應(yīng)反饋控制確實可以大大降低控制強(qiáng)度,更加符合現(xiàn)實需要.

其中?t=0.1為插值步長,m為插值的總步數(shù),tj為插值時刻.對比發(fā)現(xiàn),自適應(yīng)控制的能量消耗遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于線性反饋控制的能量消耗.

接下來,我們用自適應(yīng)反饋控制實現(xiàn)另一個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的接連滯后同步,其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及節(jié)點(diǎn)編號如圖5所示.

圖5 節(jié)點(diǎn)數(shù)為5的無權(quán)無向星形網(wǎng)絡(luò)Fig.5. Unweighted and undirected star-shaped network with size n=5.

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的耦合矩陣是

根據(jù)自適應(yīng)反饋控制(23),得到

MATLAB模擬結(jié)果如圖6和圖7所示,圖6給出了在自適應(yīng)反饋控制(23)下,動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)的同步誤差ei1,ei2,ei3的軌線,圖7給出了其狀態(tài)變量xi1,xi2,xi3以及控制強(qiáng)度di(t)的軌線.

由圖6可以看出,當(dāng)t→+∞時,ei→0(i=1,2,3,4,5),即在控制(23)下,系統(tǒng)(1)的接連滯后同步可以實現(xiàn).

圖6 在控制(23)下,動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)的同步誤差ei1,ei2,ei3的軌線,其中i=1,2,3,4,5Fig.6.Trajectories of SLS errors ei1,ei2,ei3of dynamical network(1)under control(23),where i=1,2,3,4,5.

從這些數(shù)值模擬可以看出,在自適應(yīng)反饋控制下動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的接連滯后同步可以實現(xiàn).

5 結(jié) 論

Li等[20]依飛機(jī)按次序一一通過空中的相同位置這一現(xiàn)象,提出了接連滯后同步的概念.隨后,考慮到節(jié)點(diǎn)之間的通信存在滯后現(xiàn)象,含一致通信時滯的網(wǎng)絡(luò)上的接連滯后同步被Zhang等[21]進(jìn)行了研究.然而由于節(jié)點(diǎn)的差異性,節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的通信時滯一般來說是不一樣的,所以本文提出了帶有非一致通信時滯的動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)如何實現(xiàn)接連滯后同步這一問題,進(jìn)而研究了它的全局穩(wěn)定性.

本文設(shè)計了線性反饋控制和自適應(yīng)反饋控制,實現(xiàn)了帶有非一致通信時滯的動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)上的接連滯后同步,重點(diǎn)分析了接連滯后同步的全局穩(wěn)定性,獲得了同步穩(wěn)定的充分條件,并且通過數(shù)值模擬驗證了理論的正確性.

圖7 在控制(23)下,動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)(1)的狀態(tài)變量xi1,xi2,xi3以及控制強(qiáng)度di(t)的軌線,其中i=1,2,3,4,5Fig.7.Trajectories of all state variables xi1,xi2,xi3and di(t)of dynamical network(1)under control(23),where i=1,2,3,4,5.

值得注意的是,本文研究的模型只是局限在一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)里,使得不同節(jié)點(diǎn)之間實現(xiàn)了接連滯后同步,如何在兩個甚至多個動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)中實現(xiàn)接連滯后同步,本文中設(shè)計的方法是否還適用,這是值得進(jìn)一步研究的問題.

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