秦立振 張振宇 張坤 丁建橋 段智勇 蘇宇鋒

1)(鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,鄭州 450001)

2)(鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院,鄭州 450001)

1 引 言

近年來,植入式醫(yī)療設(shè)備、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)等得到了廣泛的應(yīng)用,但是這些設(shè)備的電能供應(yīng)仍然依賴于傳統(tǒng)電池[1].傳統(tǒng)電池具有使用方便、成本低廉的優(yōu)點,但同時也具有持久性差、儲能有限的缺點.在一些無法更換電池或更換電池的成本比較高的場所,傳統(tǒng)電池顯現(xiàn)了其固有的局限性.因此,開發(fā)一種在用電設(shè)備有效壽命結(jié)束之前無需維護(hù)的永久電池成為各國研究者關(guān)注的課題之一.自然環(huán)境中存在著各種各樣的能量,利用環(huán)境中的能量為電子元器件供電是取代傳統(tǒng)電池的有效途徑[2].

能量采集技術(shù)的主要原理是利用光伏效應(yīng)、壓電效應(yīng)、熱電效應(yīng)、電磁感應(yīng)等,將周圍環(huán)境中的能量轉(zhuǎn)化為電能,然后利用儲能元件進(jìn)行電能存儲,最后通過相應(yīng)的電源管理電路,將存儲的電能提供給外部負(fù)載,進(jìn)而為用電設(shè)備供電.能量采集不僅涉及能量轉(zhuǎn)化利用的問題,同時也涉及優(yōu)質(zhì)能量來源的問題.相對于光、風(fēng)、熱等,振動能量具有分布范圍廣、能量密度高、易于采集的特點,因此振動能量采集是目前研究較多的一種能量采集方案[3].

振動能量的采集存在不同的途徑,基于不同的原理、方法和材料.1939年,Braunbek和Schweben[4]首次利用非均勻電磁場實現(xiàn)了微小片狀石墨的穩(wěn)定懸浮,此后,抗磁懸浮得到了越來越多的關(guān)注和研究.意大利都靈理工大學(xué)的de Pasquale等[5]利用釹鐵硼(NdFeB)強(qiáng)磁鐵和高定向熱解石墨(HOPG)抗磁材料,在常溫下獲得了1—2 mm的懸浮高度.抗磁懸浮由于能夠在常溫下實現(xiàn)無摩擦穩(wěn)定懸浮,所以得到了越來越多的應(yīng)用.目前,抗磁懸浮原理已被應(yīng)用到生物醫(yī)學(xué)[6,7]、傳感器[8]、微執(zhí)行器[9]、微型電機(jī)[10]等領(lǐng)域.基于這一原理,我們課題組開展了微型抗磁懸浮振動能量采集器的研究[11,12],本文研究了該能量采集器的振動響應(yīng)特性.

2 結(jié)構(gòu)模型和工作原理

抗磁懸浮振動能量采集器的主要部件包括:提升永磁體、懸浮永磁體、上熱解石墨板、下熱解石墨板以及布置在上下熱解石墨板內(nèi)表面的平面螺旋線圈,其結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 抗磁懸浮振動能量采集器的結(jié)構(gòu)模型Fig.1.The structure model of diamagnetic levitation vibration energy harvester.

由于提升永磁體和懸浮永磁體都是圓柱形且磁化方向都沿軸向,所以提升永磁體的磁場會在水平方向上形成一個磁勢阱.根據(jù)能量最小原理,懸浮永磁體在水平方向上能夠穩(wěn)定懸浮且平衡點位于兩永磁體的公共軸線上.高定向熱解石墨是常溫下抗磁性最強(qiáng)的材料,表現(xiàn)為對外界磁場的排斥作用.在豎直方向上,懸浮永磁體同時受到重力、提升磁體吸引力的豎直分量、熱解石墨板的抗磁力.在滿足特定的尺寸參數(shù)條件下,豎直方向上也能夠穩(wěn)定懸浮,所以懸浮永磁體處于一個三維勢阱之中能夠穩(wěn)定懸浮.當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾時,懸浮磁體可以在平衡位置附近振動,從而將外界振動轉(zhuǎn)化為懸浮磁體的振動.根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,懸浮磁體振動的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為線圈內(nèi)部的電能[11].

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)和受力分析

抗磁懸浮振動能量采集器的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)直接決定了懸浮磁體的受力狀態(tài),進(jìn)而影響能量采集器的振動響應(yīng)特性和能量轉(zhuǎn)化效率,其結(jié)構(gòu)材料參數(shù)如表1所列.

當(dāng)懸浮永磁體發(fā)生振動時,其不但會受到重力、抗磁力、提升永磁體的吸引力,還會受到空氣和感應(yīng)線圈的阻尼力.文獻(xiàn)[13—16]給出了永磁體之間以及永磁體和熱解石墨板之間受力的理論關(guān)系式,但這些關(guān)系式并不是顯式且過于復(fù)雜,不便于進(jìn)行動力學(xué)響應(yīng)分析,因此采用COMSOLTM仿真并結(jié)合數(shù)值擬合的方法獲得磁力和抗磁力的近似表達(dá)式.本研究中懸浮永磁體受力的仿真計算模型如圖2(a)和圖2(b)所示.

表1 抗磁懸浮能量采集器結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1.The structure parameters of diamagnetic levitation energy harvester.

圖2 磁力和抗磁力計算模型Fig.2.The calculational model of magnetic force and diamagnetic force.

永磁體和熱解石墨板周圍的空氣域分為兩層,外層設(shè)為無限域模擬磁體的彌散場,且網(wǎng)格劃分較粗,內(nèi)層是有限域且網(wǎng)格劃分較細(xì),以節(jié)省仿真時間并兼顧仿真精度,磁體的和熱解石墨板的網(wǎng)格最細(xì)以提高仿真精度,單元類型采用自由剖分四面體網(wǎng)格,最大生長率為1.6,曲率因子為0.6,狹窄區(qū)域解析度為0.5.當(dāng)網(wǎng)格的精度不斷增加時,仿真結(jié)果越趨近于定值且變化越來越慢.為了兼顧時間和精度,分析中網(wǎng)格最大單元尺寸選定如下:無限空氣域5 mm,有限空氣域2 mm,磁體和熱解石墨板0.8 mm.圖2(a)和圖2(b)中模型單元數(shù)分別為661370和920624.

對仿真結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合求得磁力F1的解析式為

式中,H為提升永磁體和懸浮永磁體之間的距離,單位為mm;F1單位為μN(yùn).

抗磁力F2的解析式為

式中,h為懸浮永磁體和熱解石墨板之間的距離,單位為mm;F2單位為μN(yùn).

感應(yīng)線圈工作時懸浮永磁體受到的電磁阻力Fεγ

式中,Bri為第i匝線圈所在位置磁感應(yīng)強(qiáng)度在徑向上的分量,Bz為磁感應(yīng)強(qiáng)度在軸向上的分量,ri為第i匝線圈的半徑.

對(3)式利用響應(yīng)面法求得懸浮磁體周圍磁場在軸向和徑向上的分布,最終求得其電磁阻尼力的表達(dá)式為

懸浮磁體的運(yùn)動屬于低幅低頻運(yùn)動,因此其受到的空氣阻力可以用(5)式近似計算:

式中,S為迎風(fēng)面積,k為阻力系數(shù).

以兩熱解石墨板對稱面的中心為零點,向上設(shè)為正方向,統(tǒng)一坐標(biāo)系后,在豎直方向上振動的動力學(xué)方程如(6)式所示:

其中,a1,a3由F1和F2決定,ω=2πf為外界激勵頻率,A為激勵振幅.

4 運(yùn)動特性

懸浮磁體所受磁力、抗磁力和重力的合力隨熱解石墨板間距L的變化曲線如圖3所示.通過分析其受力曲線可以發(fā)現(xiàn),其受力曲線的非線性程度隨著兩熱解石墨板間距的增大而增強(qiáng).

圖3 懸浮磁體所受合力Fig.3.The resultant curves of the fl oating magnet.

圖4 懸浮永磁體勢能曲線Fig.4.The potential energy curve of the fl oating magnet.

圖4是懸浮永磁勢能隨熱解石墨板間距變化的曲線.發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩熱解石墨板間距L＞7.7 mm時,勢能曲線會出現(xiàn)兩個勢阱,而在L＜7.7 mm時,只存在一個勢阱.由能量最小原理可知,懸浮永磁體的穩(wěn)定平衡位置就是磁勢阱的位置.

圖5是當(dāng)熱解石墨板間距L分別為7 mm和8 mm時,懸浮磁體的靜止平衡現(xiàn)象.由實驗現(xiàn)象可知熱解石墨板間距的變化會導(dǎo)致懸浮永磁體穩(wěn)態(tài)類型發(fā)生改變,即單穩(wěn)態(tài)類型和雙穩(wěn)態(tài)類型,分別如圖5(a)和圖5(b)所示.

圖5 懸浮磁體的單穩(wěn)態(tài)(a)和雙穩(wěn)態(tài)(b)現(xiàn)象Fig.5. The monostable(a)and bistable(b)phenomenon of the fl oating magnet.

4.1 單穩(wěn)態(tài)類型時的動力學(xué)響應(yīng)

文獻(xiàn)[17]給出了當(dāng)能量采集器處于非工作的單穩(wěn)態(tài)狀態(tài)時懸浮磁體振動的幅頻關(guān)系方程:

當(dāng)能量采集器處于單穩(wěn)態(tài)類型時,懸浮磁體只有一個平衡位置.當(dāng)受到外界激勵時,懸浮磁體在平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動.選擇熱解石墨板間距L=7,7.4 mm研究單穩(wěn)態(tài)類型時懸浮磁體的振動特性.圖6是外界激勵幅值為1 mm、感應(yīng)線圈處于開路狀態(tài)(非工作狀態(tài))時懸浮磁體的幅頻響應(yīng)曲線.可以發(fā)現(xiàn)懸浮磁體的幅頻響應(yīng)曲線向右偏斜,呈現(xiàn)“硬彈簧”特質(zhì),并且隨著熱解石墨板間距的增加,曲線向右偏斜程度增強(qiáng).當(dāng)熱解石墨板間距L為7 mm和7.4 mm時,懸浮磁體振動的基頻分別為2.37 Hz和1.5 Hz.增大熱解石墨板間距,懸浮磁體的振動響應(yīng)頻帶變寬并出現(xiàn)多解和跳躍現(xiàn)象.

圖6 振幅隨激勵頻率變化的曲線Fig.6.The curve of amplitude changes with excited frequency.

圖7是熱解石墨板間距分別為7 mm和7.4 mm,感應(yīng)線圈工作時,懸浮磁體的相對位移隨外界激振幅值和頻率的變化關(guān)系.當(dāng)外界激勵相同,增大熱解石墨板間距能獲得更大的相對運(yùn)動位移.

圖7 單穩(wěn)態(tài)類型時位移峰值隨外界激勵的變化Fig.7.Displacement peaks change with the external excitation in monostable type.

4.2 雙穩(wěn)態(tài)類型時的動力學(xué)響應(yīng)

當(dāng)采集器處于雙穩(wěn)態(tài)類型時,此時的動力學(xué)方程的解Z(t)可以看作一勢子在勢場U(z)中的運(yùn)動,當(dāng)沒有外界激勵時,U(z)=a1z2/2+a3z4/4,是一種雙穩(wěn)勢場結(jié)構(gòu),由dU(z)/dz=0很容易得出系統(tǒng)平衡點Zm1,Zm2,Zb位置,分別如(8)和(9)式所示:

當(dāng)受到外界周期激勵時,系統(tǒng)的勢函數(shù)受到周期調(diào)制,由U(z)變?yōu)閂(z),如(10)式所示:

由(10)式可以看出,勢函數(shù)的勢阱被周期性地抬高或加深.此時,系統(tǒng)存在一臨界幅值A(chǔ)c,使得方程保持雙穩(wěn)結(jié)構(gòu).當(dāng)外界周期激勵的幅值A(chǔ)＜Ac時,勢阱周期性的抬高或加深不足以使勢壘消失,勢子無法越過勢壘進(jìn)入另一勢阱,只能在單阱中做小幅振蕩;當(dāng)外界周期激勵幅值A(chǔ)＞Ac時,由于勢壘可能隨著時間的變化而消失,勢子能夠越過勢壘在兩勢阱間進(jìn)行大位移周期性跳躍.臨界幅值A(chǔ)c表示系統(tǒng)勢函數(shù)V(z)在Acos(2πft)為最大值或最小值時恰好從雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)變成單穩(wěn)結(jié)構(gòu).

圖8 雙穩(wěn)態(tài)類型時懸浮永磁體共振分岔圖Fig.8.The resonant bifurcation diagram of fl oating magnets in bistable type.

兩熱解石墨板的間距不僅影響采集器的穩(wěn)態(tài)類型同時也影響懸浮磁體的平衡位置.當(dāng)L=7.8 mm時,懸浮永磁體在x=±0.51 mm處穩(wěn)定懸浮.動力學(xué)方程的初始條件可以任選其一,此處選擇x=0.51 mm.感應(yīng)線圈開路時,懸浮磁體振動幅值隨外界激勵的分岔圖,如圖8所示.由圖8可以看出,感應(yīng)線圈開路時,當(dāng)外界激勵頻率為1 Hz,激勵振幅從0.2—4 mm的變化過程中,系統(tǒng)出現(xiàn)了2倍周期—4倍周期—混沌—雙倍周期-單倍周期變化的現(xiàn)象.

表2是不同外界激振參數(shù)下,當(dāng)熱解石墨板間距L=7.8 mm時懸浮磁體的振動相圖及其對應(yīng)的Poincare映射圖.當(dāng)非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)進(jìn)行耦合時,兩系統(tǒng)之間的強(qiáng)弱關(guān)系會直接影響到系統(tǒng)的振動響應(yīng)特性:當(dāng)其中一個系統(tǒng)弱到整個系統(tǒng)可以看做兩個獨立的系統(tǒng),或者其中一個系統(tǒng)強(qiáng)到占統(tǒng)治地位時,整個系統(tǒng)都將處于周期運(yùn)動狀態(tài);只有當(dāng)兩系統(tǒng)的強(qiáng)弱不相上下時,兩系統(tǒng)相互影響強(qiáng)烈,運(yùn)動才變得十分復(fù)雜,從而才可能形成混沌[18].

圖9是兩熱解石墨板間距為7.8 mm、感應(yīng)線圈處于工作狀態(tài)、外界激勵頻率為1 Hz、激勵振幅從0.5 mm增大到8.5 mm的過程中(每次增加1 mm),懸浮磁體穩(wěn)態(tài)振動的運(yùn)動相圖.從圖9可以看出隨著激振幅值A(chǔ)的增加,倍周期現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象消失,懸浮磁體進(jìn)行周期振動.

圖9 外界激勵頻率為1 Hz時雙穩(wěn)態(tài)類型的運(yùn)動相圖Fig.9.The vibration phase diagram when the excitation is 1 Hz in bistable type.

圖10是外界激勵頻率在0—3.2 Hz,激勵振幅在0—10 mm之間變化、系統(tǒng)處于雙穩(wěn)態(tài)類型時,懸浮磁體穩(wěn)態(tài)振動的峰值.當(dāng)激勵振幅較小時,懸浮磁體僅能在鞍點一側(cè)振動;當(dāng)激勵振幅足夠大時,懸浮磁體跨過鞍點做阱間周期振動.

表2 雙穩(wěn)態(tài)類型時懸浮磁體的運(yùn)動相圖和對應(yīng)的Poincare映射圖Table 2.The vibration phase diagram and the Poincare mapping diagram of the fl oating magnetic in bistable type.

圖10 雙穩(wěn)態(tài)類型時位移隨外界激勵的變化Fig.10.The displacement changes with the external excitation in bistable type.

5 總 結(jié)

抗磁懸浮振動能量采集器中懸浮永磁體的運(yùn)動特性直接決定著其輸出特性,懸浮磁體受力的非線性使得能量采集器的動力學(xué)響應(yīng)和能量輸出特性較為復(fù)雜.本文利用COMSOLTM建立仿真模型,仿真獲得懸浮磁體所受的磁力和抗磁力,并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合得到磁力和抗磁力的解析表達(dá)式.然后,建立了懸浮永磁體的動態(tài)響應(yīng)方程以研究其動態(tài)響應(yīng)特性.在感應(yīng)線圈開路(非工作狀態(tài))時,單穩(wěn)態(tài)類型的幅頻響應(yīng)曲線呈現(xiàn)向右偏斜的現(xiàn)象,并隨著熱解石墨板間距和非線性擾動的增大而增強(qiáng).同時發(fā)現(xiàn)在相同激勵下,石墨板間距越小,采集器的響應(yīng)幅值越大.當(dāng)感應(yīng)線圈開路且采集器處于雙穩(wěn)態(tài)類型時,通過分析懸浮磁體的振動相圖及其對應(yīng)的Poincare映射圖發(fā)現(xiàn)采集器出現(xiàn)了倍周期、4倍周期和混沌等非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象.當(dāng)感應(yīng)線圈處于工作狀態(tài)且采集器處于雙穩(wěn)態(tài)類型時由于受到電磁阻尼力的影響,倍周期和混沌現(xiàn)象消失,懸浮磁體的振動頻率和外界激勵頻率保持一致.該研究是對微型抗磁懸浮振動能量采集器動態(tài)特性的深入探索,對該能量采集器的結(jié)構(gòu)設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義,加快了該能量采集器的實用化進(jìn)程.基于本文的研究,可以對能量采集器進(jìn)行優(yōu)化,以提高其響應(yīng)特性和輸出性能.此外,本文也是對能量采集器中非線性振動特性研究的補(bǔ)充和豐富,對理解和利用非線性振動具有重要的意義.下一步的工作是研究分析該能量采集器的輸出特性,開展動態(tài)研究實驗,并對實驗結(jié)果進(jìn)行對比分析,推動該能量采集器向?qū)嵱没~進(jìn).

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