郭雪鵬

摘 要：2017年全國卷I中物理選擇題的壓軸題考查了動態(tài)平衡問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解張力可快速解決。學(xué)習(xí)物理需要重視數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，應(yīng)正確地處理物理和數(shù)學(xué)的關(guān)系。在教學(xué)中不應(yīng)故意回避數(shù)學(xué)，忽視數(shù)學(xué)技巧，應(yīng)善于把數(shù)學(xué)用于物理，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段解決物理問題。

關(guān)鍵詞：動態(tài)分析；平衡條件；數(shù)理結(jié)合

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）2-0040-2

1 真題呈現(xiàn)

2017年全國卷I第21題如下：

如圖1所示，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時(shí)，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>）?，F(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中（ ）

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

本題考查物體的動態(tài)平衡及相關(guān)知識點(diǎn)。動態(tài)平衡問題學(xué)生經(jīng)常用到，這類題目最常見的類型是三力問題：一個(gè)力的大小和方向均不變，一個(gè)力的方向不變，另一個(gè)力的大小方向均變化。常用的解法是根據(jù)平行四邊形法則畫出力的動態(tài)平衡矢量圖，分析力的變化。此題的特點(diǎn)是一個(gè)力的大小和方向不變，而另兩個(gè)力的大小和方向均變化，與以往不同，難度大大增加，是物理選擇題的壓軸題。

雖然該題仍可用力的平行四邊形法則來判斷力的大小變化情況，參考答案采用的也正是這種方法[1]，但在考場上，并不是所有學(xué)生都能正確地采用此法判斷出正確答案。畫圖形判斷要求作圖準(zhǔn)確，需要畫出細(xì)繩OM轉(zhuǎn)到不同位置時(shí)力的平行四邊形，作圖的位置必須合適才能從圖中看出繩中張力的變化情況，這些都對學(xué)生的畫圖能力提出了很高的要求。實(shí)際上，該題利用平衡條件定量求解張力表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)表達(dá)式判斷張力變化情況更簡潔、高效，對考生來說是一種更好的解決方法。

2 數(shù)理求解繩的張力表達(dá)式

如圖 2所示，設(shè)重物緩慢轉(zhuǎn)動到某位置，OM連線與豎直方向夾角為θ，OM上的張力為T1，MN上的張力為T2，重物質(zhì)量為m，地球表面重力加速度為g。重物緩慢移動，任意時(shí)刻均處于平衡狀態(tài)。由力的平衡條件，沿水平方向

T1sinθ=T2sin（α-θ）（1）

沿豎直方向

T1cosθ+T2cos（α-θ）=mg（2）

由（1）和（2）式消去T1，得

因此

將T2表達(dá)式代入（1）式得

考慮0<θ≤π/2，因此T2逐漸增大。α為鈍角，則（α-θ）從鈍角逐漸減小到銳角，由正弦函數(shù)圖像，T1先增大后減小，A、D選項(xiàng)正確。

3 重視數(shù)學(xué)知識在物理中的應(yīng)用

回看上述用數(shù)理方法求解繩張力的表達(dá)式，相對于采用作圖法求解有其優(yōu)點(diǎn)。用數(shù)理方法求解需要受力分析，列平衡方程，利用三角函數(shù)變換、函數(shù)圖形等知識解決。其中的三角函數(shù)變換看似困難，學(xué)生實(shí)則在數(shù)學(xué)課程中早已熟悉，應(yīng)用熟練。這種解法是學(xué)生最熟悉的解法，采用此種解法學(xué)生能很快判斷出答案。而且求解得到的張力表達(dá)式能夠獲得更多的信息，繩中張力隨角度的變化遵循正弦規(guī)律，這些都是定性分析達(dá)不到的。

在平時(shí)的教學(xué)中，由于學(xué)科的原因，對于此種動態(tài)分析題，常采用作圖法。在文獻(xiàn)[2]中有一道題目和今年的高考題驚人地相似，讀者可自行查閱。由于是物理課程，教師和學(xué)生常常忽略了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，認(rèn)為物理課程不應(yīng)太強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)技巧。筆者恰恰持相反觀點(diǎn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)課程中學(xué)到的很多數(shù)學(xué)知識都沒有得到應(yīng)用，在物理課程中應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)貙W(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)知識加以應(yīng)用，解決物理問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題也是高考考查的能力之一。例如，2017年全國卷I第25題物理壓軸題利用數(shù)學(xué)中的不等式知識，雖然學(xué)生能根據(jù)物理知識列出表達(dá)式，但如果最終沒有求解出答案，將喪失很多分?jǐn)?shù)，這就凸顯出靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的重要性。

學(xué)好物理，數(shù)學(xué)工具是非常重要的，不但要掌握數(shù)學(xué)，而且也要善于把數(shù)學(xué)工具用于物理。從物理學(xué)的發(fā)展史看，物理與數(shù)學(xué)是分不開的。牛頓在發(fā)展力學(xué)的過程中，深感當(dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)知識已無法滿足力學(xué)的需要而創(chuàng)造了微積分，而微積分的發(fā)展又極大地推動了力學(xué)以及物理學(xué)其他領(lǐng)域的發(fā)展。又如數(shù)學(xué)中的場論與電磁場理論，偏微分方程、矩陣代數(shù)與量子力學(xué)都有密切的聯(lián)系。群論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，但在物理學(xué)研究的各個(gè)層次，包括基本粒子、原子核、原子、分子、固體和天體物理都有著廣泛的應(yīng)用[3]?？梢哉f，在某種情況下，如果找不到一種適應(yīng)近代物理所需的近代數(shù)學(xué)，近代物理就很難發(fā)展。

4 總 結(jié)

綜上，對于這道高考題，采用數(shù)理求解張力表達(dá)式判斷答案對于學(xué)生來說可能是一個(gè)更熟悉、更準(zhǔn)確的解法。在教學(xué)中，不應(yīng)忽視數(shù)學(xué)知識在解決物理問題中的重要作用，應(yīng)適當(dāng)?shù)貜?qiáng)調(diào)這種作用，引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識去解決物理問題，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。要真的學(xué)好物理，就不應(yīng)害怕數(shù)學(xué)，不要故意回避數(shù)學(xué)。每個(gè)學(xué)生應(yīng)根據(jù)自己的情況，從實(shí)際出發(fā)正確處理好學(xué)習(xí)物理和使用數(shù)學(xué)的關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

[1]杜志建.金考卷特快專遞第1期——2017年全國各省市高考試題匯編[M]. 烏魯木齊：新疆青少年出版社，2017.

[2]沈晨.更高更妙的物理：沖刺全國高中物理競賽第4版[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012：4.

[3]全國中學(xué)生物理競賽委員會常委會.全國中學(xué)生物理競賽1～20屆試題解析 力學(xué)分冊[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005：169.

（欄目編輯 陳 潔）