吳敏強(qiáng)

[摘 要] 教材課后習(xí)題是教材的重要組成部分，筆者通過(guò)對(duì)課后習(xí)題的整理、比較和分析，闡述了教材習(xí)題的功能和價(jià)值. 結(jié)合教材習(xí)題，從“找題”“變題”“挖題”三個(gè)角度，闡述課后習(xí)題在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、提升學(xué)生思維廣度與深度、體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)功能中的重要作用. 教材課后習(xí)題除了在鞏固教學(xué)，提升學(xué)生解題熟練度之外，還能參與到課堂教學(xué)中，參與到教師的備課中，參與到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的研究探索中去，充分發(fā)揮教材習(xí)題的功能！

[關(guān)鍵詞] 教材課后習(xí)題；找題；變題；挖題；教學(xué)情境；思維能力；研究與探索

教材課后習(xí)題是教材的重要組成部分，是教學(xué)過(guò)程中用于鞏固教學(xué)成效的重要手段. 筆者通過(guò)對(duì)教材習(xí)題的整理、比較和分析，充分認(rèn)識(shí)到教材習(xí)題的功能和價(jià)值取向. 科學(xué)地把握教材習(xí)題和日常教學(xué)的關(guān)系，把課后習(xí)題融入日常的教學(xué)中，充分挖掘教材習(xí)題的教學(xué)功能，讓習(xí)題除了能作用于鞏固教學(xué)之外，更能參與到教學(xué)過(guò)程中. 筆者對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行了研究和探索，以期能對(duì)充分發(fā)揮教材習(xí)題的教學(xué)功能起到一定的參考作用.

回首“找”題，聚焦最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境

蘇聯(lián)心理學(xué)家、教育學(xué)家維果斯基通在談到發(fā)展與教學(xué)的關(guān)系時(shí)，他指出：教學(xué)就應(yīng)該在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)水平的基礎(chǔ)上，找到最利于教育發(fā)展的“最近發(fā)展區(qū)”，從這里開(kāi)始，努力創(chuàng)造條件，給學(xué)生提供自主探索、充分思考的空間，讓學(xué)生在觀察、思考、分析、歸納的過(guò)程中去理解知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，進(jìn)行知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的能力，滲透正確的解決問(wèn)題的方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的信心和勇氣. 而筆者通過(guò)對(duì)學(xué)生已學(xué)內(nèi)容的習(xí)題的再研究，從習(xí)題中找尋學(xué)生新知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)，利用習(xí)題創(chuàng)設(shè)情境和引例，引出新的知識(shí).

案例1：新授課《圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義》

在學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握了橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義、方程和幾何性質(zhì)后，對(duì)直接法求曲線(xiàn)的軌跡方程已經(jīng)有了初步的了解，而《圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義》必須要把橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行糅合整理成一個(gè)統(tǒng)一的形式. 故筆者對(duì)之前學(xué)生所學(xué)內(nèi)容的課后習(xí)題進(jìn)行了整理，從中找到了能作為新授課情境的習(xí)題，并進(jìn)行了改編和變式，形成了新授課的引例題組.

原題：（高中數(shù)學(xué)選修2-1習(xí)題2.2（1）第8題）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離是到直線(xiàn)x=9的距離的，試判斷點(diǎn)P的軌跡是什么圖形.

改編后題組：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）和到定直線(xiàn)x=9的距離的比是，試求點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）和到定直線(xiàn)x=的距離的比是2，試求點(diǎn)P的軌跡方程.

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）和到定直線(xiàn)x=-2的距離的比是1，試求點(diǎn)P的軌跡方程.

筆者改編后的題組在語(yǔ)言描述上具有很大的相似性，讓學(xué)生在求軌跡方程的過(guò)程中感受到圓錐曲線(xiàn)可以通過(guò)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線(xiàn)（定點(diǎn)不在定直線(xiàn)上）的距離的比等于某一常數(shù)的方式進(jìn)行統(tǒng)一的定義，以此建立學(xué)生已有的知識(shí)和即將學(xué)習(xí)的知識(shí)之間的紐帶，新知識(shí)的引出變得自然而不突兀，可見(jiàn)“舊”的習(xí)題完全可以參與到新授課的教學(xué)中，因?yàn)椤芭f”，所以熟悉，于是我們的新授課就不再那么的“新”了.

多元化“變”題，提升學(xué)生思維的廣度和深度

教材的習(xí)題本身豐富多彩，但由于教材編排的原因，每一節(jié)后面的習(xí)題所涉及的知識(shí)點(diǎn)略顯單一，對(duì)習(xí)題的難度有縱向的提升，但很少涉及橫向知識(shí)的對(duì)比. 故需要教師對(duì)課后習(xí)題的順序進(jìn)行重新編排和改編，形成橫向或縱向的題組，以提升學(xué)生思維的廣度和深度.

1. “橫”向變題，拓展學(xué)生思維的廣度

案例2：新授課《在三棱錐中研究三角形內(nèi)的四顆心》

筆者在立體幾何的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有關(guān)三角形的外心、內(nèi)心、重心和垂心的問(wèn)題一直困擾著學(xué)生，故筆者選用了高中數(shù)學(xué)必修2習(xí)題1.2（2）第11題為基礎(chǔ)，并進(jìn)行了適當(dāng)?shù)摹皺M”向變題，形成題組，開(kāi)設(shè)公開(kāi)課《在三棱錐中研究三角形內(nèi)的四顆心》，解決了學(xué)生在這方面的困擾.

原題：（高中數(shù)學(xué)必修2習(xí)題1.2（2）第11題）在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的外心，求證：PA=PB=PC.

解法：由O是△ABC的外心，故OA=OB=OC，所以△POA，△POB，△POC全等，故PA=PB=PC.

“橫”向變題：（1）在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的內(nèi)心，求證：點(diǎn)P到三角形三條邊AB，AC，BC的距離相等.

解法：過(guò)點(diǎn)P分別作三角形三條邊AB，AC，BC的垂線(xiàn)PD，PE，PF，由O是△ABC的內(nèi)心，故OD=OE=OF，所以△POD，△POE，△POF全等，故結(jié)論得證.

（2）在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心，求證PA⊥BC.

解法：由點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心，可得OA⊥BC，又由PO⊥BC，可得BC⊥平面PAO，故PA⊥BC.

筆者通過(guò)對(duì)原題的橫向擴(kuò)展而形成的題組是對(duì)三棱錐頂點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影的位置的系統(tǒng)研究：教材的習(xí)題僅僅是對(duì)外心的研究，而筆者通過(guò)對(duì)三角形外心、內(nèi)心和垂心的研究，更改條件，完善了課本習(xí)題，讓學(xué)生系統(tǒng)地解決了此類(lèi)問(wèn)題.

可見(jiàn)“橫”向變題可以從原題的背景出發(fā)，向前后左右拓展，找到與原題相似又具有對(duì)比性的知識(shí)點(diǎn)，更改條件或問(wèn)題而形成題目，使得整個(gè)題組具有明顯的知識(shí)廣度. 學(xué)生在整個(gè)題組的訓(xùn)練中借用原題的解決方案，類(lèi)比解決同類(lèi)問(wèn)題，進(jìn)而讓學(xué)生形成一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)體系.

2. “縱”向變題，拓展學(xué)生思維的深度

案例3：橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

原題：（高中數(shù)學(xué)選修2-1習(xí)題2.5第8題）設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求PF1·PF2的最大值和最小值.

解法1：設(shè)P（x0，y0），利用統(tǒng)一定義可得PF1=a+ex0，PF2=a-ex0，故PF1·PF2=a2-e2x，由x0∈[-a，a]可求得PF1·PF2的最大值和最小值.

解法2：利用統(tǒng)一定義可得PF1=ed1，PF2=ed2（其中d1，d2分別是點(diǎn)P到左、右準(zhǔn)線(xiàn)的距離）. 又d1+d2=，故PF1·PF2=e2d1-d1，由d1∈-a，+a可求得其最大值和最小值.

解法3：利用基本不等式PF1·PF2≤（當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF2時(shí)等號(hào)成立）可求得最大值.

“縱”向變題：（1）設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求∠F1PF2的最大值.

解法：可利用余弦定理以及原題解法3的基本不等式得到∠F1PF2的最大值，難度較低.

（2）設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠F1PF2=θ，求S△F1PF2.

解法：可利用面積公式S=PF1·PF2sinθ結(jié)合變題（1）解答中的余弦定理得到焦點(diǎn)三角形面積公式S=b2tan. 有變題（1）的鋪墊，難度適中.

（3）設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上一點(diǎn)，A1，A2是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，求∠A1PA2的最大值.

解法：筆者把焦點(diǎn)改為頂點(diǎn)，雖然結(jié)論仍然是當(dāng)點(diǎn)P在橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)∠A1PA2最大，但解法完全不同. 可過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)PH，則tan∠A1PH=，tan∠A2PH=，故由tan∠A1PA2=tan（∠A1PH+∠A2PH）可求得其最大值，難度較大.

筆者提供的案例原題來(lái)自于《圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義》的課后習(xí)題，教材編者是用此題鞏固圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義，展示統(tǒng)一定義在求焦半徑問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性. 而筆者發(fā)現(xiàn)此題的背景是橢圓的焦點(diǎn)三角形，故借用此題作了一系列的“縱”向變題.

可見(jiàn)“縱”向變題可以不改變?cè)}的背景，從一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)入手，向下深入，更改條件或問(wèn)題而形成題目，使得整個(gè)題組具有明顯的難度梯度. 學(xué)生在整個(gè)題組的訓(xùn)練中既能鞏固原題的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)又能在不同難度條件和問(wèn)題下對(duì)該知識(shí)點(diǎn)有新的發(fā)現(xiàn). 學(xué)生在知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程中，培養(yǎng)能力，滲透正確的解決問(wèn)題的方法，激發(fā)學(xué)習(xí)知識(shí)的信心和勇氣.

大膽“挖”題，發(fā)揮教材習(xí)題的實(shí)踐探究功能

教材的課后習(xí)題與閱讀材料有許多是結(jié)合生活、科技現(xiàn)象等設(shè)置的問(wèn)題情境類(lèi)習(xí)題，并且有部分習(xí)題已經(jīng)從單純的訓(xùn)練題發(fā)展到手動(dòng)實(shí)踐問(wèn)題，如到圖書(shū)館或互聯(lián)網(wǎng)查閱資料進(jìn)行交流，小論文及調(diào)查報(bào)告等. 筆者認(rèn)為，這些課后的實(shí)踐類(lèi)問(wèn)題對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)修養(yǎng)等方面的確有著重要作用！而事實(shí)上，我們有的教師為了節(jié)省時(shí)間，常要求學(xué)生“忽略無(wú)關(guān)信息，抓住主題”，這樣無(wú)疑會(huì)極大地消弱習(xí)題的教學(xué)功能，降低習(xí)題知識(shí)載體的內(nèi)容. 為此，教師應(yīng)該在不影響教學(xué)的情況下，重視教材習(xí)題中那些具有豐富情境資料及動(dòng)手實(shí)踐要求的習(xí)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用方面的意識(shí)和能力.

案例4：折紙中的圓錐曲線(xiàn)

教材高中數(shù)學(xué)選修2-1在橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的習(xí)題中均分散著一個(gè)操作題，用折紙來(lái)制作圓錐曲線(xiàn)，非常有意思，教師不應(yīng)該忽略這種有意思的操作題. 筆者把分散著的三個(gè)操作題“串”起來(lái)，讓學(xué)生動(dòng)手制作，并進(jìn)行數(shù)學(xué)化的研究與創(chuàng)造.

操作題1：（高中數(shù)學(xué)選修2-1習(xí)題2.2（1）第11題）準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心的一點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周過(guò)點(diǎn)F，然后將紙片展開(kāi)，就得到一條折痕（為了看清楚，可把直線(xiàn)l畫(huà)出來(lái)）. 這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕. 觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線(xiàn)？

操作題2：（高中數(shù)學(xué)選修2-1 習(xí)題2.3（1）第11題）在紙上畫(huà)一個(gè)圓O，在圓外任取一定點(diǎn)F，將紙片折起，使圓周過(guò)點(diǎn)F，然后將紙片展開(kāi)，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線(xiàn)l畫(huà)出來(lái)）. 這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕. 觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線(xiàn)？

操作題3：（高中數(shù)學(xué)選修2-1習(xí)題2.4第14題）將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD的一只角斜折，使點(diǎn)D總是落在對(duì)邊AB上，然后展開(kāi)紙片，得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線(xiàn)l畫(huà)出來(lái)）. 這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕. 觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線(xiàn)？

在學(xué)生完成折紙，感受折紙中的數(shù)學(xué)藝術(shù)后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)折紙模型進(jìn)行數(shù)學(xué)化，由學(xué)生完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的編制，學(xué)生成功編制的問(wèn)題如下：

問(wèn)題1：已知圓O：（x-2）2+y2=36，定點(diǎn)F（-2，0），在圓周上任取一點(diǎn)M，連接MF，作線(xiàn)段MF的中垂線(xiàn)l，當(dāng)點(diǎn)M取遍圓O上所有點(diǎn)后，則所有的中垂線(xiàn)圍成的曲線(xiàn)方程為_(kāi)_______.

問(wèn)題2：已知圓O：（x-4）2+y2=36，定點(diǎn)F（-4，0），在圓周上任取一點(diǎn)M，連接MF，作線(xiàn)段MF的中垂線(xiàn)l，當(dāng)點(diǎn)M取遍圓O上所有點(diǎn)后，則所有的中垂線(xiàn)圍成的曲線(xiàn)方程為_(kāi)_______.

可見(jiàn)，課后的操作題與應(yīng)用題絕不是教師和學(xué)生的累贅與麻煩，而是在教師深入研究后能用于課堂教學(xué)的利器，也是學(xué)生拓展思維、大膽創(chuàng)新的機(jī)會(huì). 既能對(duì)課內(nèi)知識(shí)復(fù)習(xí)鞏固，又能聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

筆者從“找題”“變題”“挖題”三個(gè)方面總結(jié)了課后習(xí)題的教學(xué)功能，可見(jiàn)，習(xí)題不僅僅是學(xué)生復(fù)習(xí)的工具，也是教師在課堂教學(xué)中可以充分使用的教學(xué)工具，在教師與學(xué)生的共同努力下，課后習(xí)題一定會(huì)成為教師展示個(gè)性教學(xué)的利器！