黃觀文，崔博斌，張 勤，付文舉，李平力，藺玉亭

(1. 長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，西安 710054；2. 北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094)

0 引 言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)實時導(dǎo)航定位中，衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品精度會直接影響高精度導(dǎo)航定位授時(Position navigation and timing, PNT)服務(wù)能力[1-5]。目前的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)實時鐘差產(chǎn)品包括兩類：一類是衛(wèi)星播發(fā)的實時廣播星歷，其每小時更新發(fā)播一組衛(wèi)星鐘差系數(shù)，用戶收到系數(shù)后進(jìn)行二次多項式插值或擬合預(yù)報獲得實時鐘差值，但現(xiàn)階段BDS廣播星歷的實時鐘差精度較低，一般為3～10 ns，難以滿足分米級以上定位需求；另一類是北斗超快速鐘差預(yù)報產(chǎn)品，是基于24 h實測鐘差序列進(jìn)行實時預(yù)報得到，但其每隔6 h更新預(yù)報。國內(nèi)外學(xué)者在鐘差預(yù)報方面建立了多種鐘差預(yù)報模型[1-17]。然而，由于星載原子鐘時頻特性復(fù)雜且極易受外界環(huán)境影響，衛(wèi)星鐘差通常表現(xiàn)出顯著周期變化與隨機特性，這使得已有的鐘差預(yù)報模型在應(yīng)用中仍存在局限性。文獻(xiàn)[2]與文獻(xiàn)[3]指出多項式預(yù)報鐘差時其預(yù)報誤差會隨著預(yù)報時間增加而顯著變大，GM(1,1)預(yù)報精度受模型指數(shù)系數(shù)影響較大，文獻(xiàn)[6]指出Kalman濾波精度優(yōu)劣取決于對原子鐘運行特性和隨機先驗信息等的認(rèn)知程度，文獻(xiàn)[7]指出時間序列存在模式識別和定階難題，文獻(xiàn)[8]指出譜分析模型的周期函數(shù)要根據(jù)較長的鐘差序列才能可靠確定，文獻(xiàn)[9]指出小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)確定比較困難，文獻(xiàn)[10]指出徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)選取的樣本長度以及樣本之間間隔的確定只能依據(jù)經(jīng)驗確定。而在這些模型當(dāng)中，多項式模型和GM(1,1)模型是最為常用且具有代表性的預(yù)報模型。文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[12]指出顧及到星載原子鐘頻偏、頻漂等物理特性及預(yù)報穩(wěn)定性和精度，衛(wèi)星鐘差超快速預(yù)報模型一般采用多項式加一個主周期項模型，其精度相比廣播星歷鐘差值有一定提升，約為2～6 ns，但仍無法滿足實時分米級導(dǎo)航定位需求?，F(xiàn)階段針對北斗鐘差預(yù)報模型的研究多是基于衛(wèi)星鐘物理模型展開，而對于擬合殘差中不顯著的系統(tǒng)噪聲誤差未能有效顧及，因此本文提出構(gòu)建一種多項式結(jié)合周期項與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的北斗超快速鐘差預(yù)報模型，并利用實測超快速鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行了算法測試驗證。

1 基礎(chǔ)預(yù)報模型

目前BDS二代星載原子鐘均為Rb原子鐘，Rb鐘具有顯著的鐘漂特性，因此選用二次多項式模型作為BDS衛(wèi)星鐘差基礎(chǔ)預(yù)報模型[1-3]，其擬合式如下：

y(t)=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+Δi

(1)

式中：y(t)為歷元時刻ti的衛(wèi)星鐘差，a0，a1，a2分別為衛(wèi)星原子鐘t0時刻的鐘差、鐘速和鐘漂，Δi為鐘差預(yù)報模型殘差。

2 周期項模型

衛(wèi)星在軌運行中會受到軌道運行周期與太空環(huán)境及各種攝動力干擾，因此在軌道鐘差同步解算的超快速衛(wèi)星鐘差預(yù)報中應(yīng)充分考慮軌道周期及系統(tǒng)攝動力影響?，F(xiàn)階段不少學(xué)者已在衛(wèi)星鐘差預(yù)報中加入周期項改正，考慮到在軌衛(wèi)星鐘的顯著周期項通常與衛(wèi)星軌道運行周期基本一致[1-5,11-12]，本文對BDS三種類型衛(wèi)星鐘模型各添加兩個主顯著周期項[11-12]，其中GEO和IGSO主顯著周期為24 h與12 h，MEO主顯著周期為12 h與6 h，結(jié)合式(1)，附加顯著周期項的擬合預(yù)報模型為：

y(t)=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

(2)

式中：p為周期誤差總數(shù)，k為所附加的周期項次序；Λk，fk，φk分別為鐘差周期項的振幅、頻率和相位，Δi為每顆衛(wèi)星經(jīng)過附加周期項的二次多項式擬合后的殘差。由于殘差中不僅包括白噪聲，還受到其他誤差及環(huán)境影響而包含不規(guī)律的有色噪聲。常規(guī)預(yù)報模型很難擬合非線性無顯著規(guī)律的有色噪聲，因此需要考慮引入非線性擬合模型對殘差進(jìn)行進(jìn)一步補償。

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能學(xué)習(xí)和存貯大量的輸入-輸出模式映射關(guān)系，而無需事前揭示描述這種映射關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，是一種單向傳播的多層向前網(wǎng)絡(luò)，具有三層或三層以上的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，包括輸入層、中間層(隱層)和輸出層。相關(guān)研究表明，僅有一層的隱含層模型結(jié)構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以實現(xiàn)任意非線性映射[8-10]，本文設(shè)置為三層模式即輸入層、隱含層與輸出層?？紤]到本文輸出值僅為鐘差，因此輸出層神經(jīng)元個數(shù)為1；而隱含層的神經(jīng)元個數(shù)選取對于模型的訓(xùn)練精度與速率至關(guān)重要，考慮到訓(xùn)練速率與模型精度，本文選取的隱含層神經(jīng)元數(shù)目為6[9-10]。鑒于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在誤差非線性擬合方面的優(yōu)點，本文選用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對北斗擬合殘差進(jìn)行進(jìn)一步訓(xùn)練與擬合預(yù)報。

BP算法實質(zhì)是求取誤差函數(shù)e的最小值問題，通過逆向誤差傳遞，獲取真實值與擬合值之間最優(yōu)映射函數(shù)關(guān)系，其誤差函數(shù)定義為：

(3)

式中:m為模型總層數(shù)。

在反向傳播算法應(yīng)用于前饋多層網(wǎng)絡(luò)，采用Sigmoid為激發(fā)面時，可用下列步驟對網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)Wij進(jìn)行遞歸求取。注意對于每層有n個神經(jīng)元的時候，即有i=1,2,…,n;j=1,2,…,n。對于第k層的第i個神經(jīng)元，則有n個權(quán)系數(shù)Wi1,Wi2,…,Win。另外取多一個Win+1，用于表示閥值θi。并且在輸入樣本X時，取X={X1,X2,…,Xn,1}。通過權(quán)值的確定后，整體算法的執(zhí)行步驟如下：

1)對權(quán)系數(shù)Wij置初值，對各層權(quán)系數(shù)Wij置一個較小的非零隨機數(shù)(本文選取為1)，但其中Wi,n+1=-θi。

2)輸入一個樣本X={X1,X2,…,Xn,1}，以及對應(yīng)期望輸出Y={Y1,Y2,…,Yn}。

(4)

(5)

而對于其他各層，有：

(6)

式中:L為當(dāng)前層神經(jīng)元數(shù)目。

5)修正權(quán)系數(shù)Wij和閥值θ如下所示：

(7)

其中，

ΔWij(t)=Wij(t)-Wij(t-1)=

(8)

式中:θ為閾值,通過誤差函數(shù)的最優(yōu)值，獲取權(quán)值與系數(shù)的最優(yōu)解；η為學(xué)習(xí)速率，即步長，一般取0.1～0.4間的常數(shù)；α為權(quán)系數(shù)修正常數(shù)，取0.7～0.9間的常數(shù)[8-10]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報算法流程為：通過式(3)～式(8)進(jìn)行訓(xùn)練并獲取最優(yōu)的權(quán)值及擬合系數(shù)，進(jìn)而利用獲取的最優(yōu)擬合系數(shù)結(jié)合二次多項式與周期項預(yù)報模型獲取預(yù)報鐘差序列。結(jié)合式(2)預(yù)報模型，附加BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報模型如下所示：

y(t)=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

(9)

本文預(yù)報模型整體流程如圖1所示。由圖1可知，通過讀入需要預(yù)報時間前兩天實測鐘差值，目前國際上實測鐘差數(shù)據(jù)均選取一天的數(shù)據(jù)，本文分別選取了1至3 天的實測數(shù)據(jù)并建模預(yù)報，測試發(fā)現(xiàn)2 天效果更佳，3 天提升較2 天不明顯且預(yù)報建模時間會增加，因此本文選取兩天實測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模擬合。通過數(shù)據(jù)預(yù)處理剔除粗差與鐘跳等異常值，獲取二次多項式與周期項的擬合殘差序列，將第1天擬合殘差序列與第2天的擬合殘差序列分別作為輸入與期望輸出值輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練獲取最優(yōu)擬合系數(shù)，從而利用第2天實測數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差擬合預(yù)報并附加于二次多項式與周期項的預(yù)報模型上，進(jìn)而達(dá)到對有色噪聲的非線性最優(yōu)擬合預(yù)報效果。

4 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備與精度評定

為了驗證本文所提模型的可靠性和精度，分別選取了德國地學(xué)中心GFZ的超快速預(yù)報產(chǎn)品(GBU)與中國全球連續(xù)監(jiān)測評估系統(tǒng)(iGMAS)產(chǎn)品綜合的超快速預(yù)報產(chǎn)品(ISU)進(jìn)行分析比較，時間為2017年年積日001-030天。BDS超快速鐘差產(chǎn)品包含實測部分和預(yù)報部分。首先采用組合中位數(shù)粗差探測法對數(shù)據(jù)中存在的異常值進(jìn)行探測與剔除。分別統(tǒng)計了在此時間段內(nèi)GBU與ISU鐘差預(yù)報精度，考慮到不同機構(gòu)產(chǎn)品間存在基準(zhǔn)差異，精度評定參考基準(zhǔn)為其各自機構(gòu)的事后精密鐘差產(chǎn)品，并分別采用本文預(yù)報模型利用ISU與GBU實測鐘差值進(jìn)行預(yù)報，并與事后精密鐘差進(jìn)行精度評定。鐘差精度δ采用標(biāo)準(zhǔn)差(Standard deviation,STD)作為衛(wèi)星鐘差精度指標(biāo)[1-2]，具體如下所示：

(10)

(11)

5 預(yù)報精度分析

預(yù)報并統(tǒng)計了001-030天GBU及ISU鐘差預(yù)報精度[18-19]，為了驗證本文所提預(yù)報模型的正確性與精度，分別采用二次多項式(Quadratic polynomial, QP)，二次多項式結(jié)合周期項(Quadratic polynomial additional period, QP-Period)及本文所提附加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報模型(Back propagation prediction, BP-PRE)與ISU和GBU預(yù)報產(chǎn)品精度對比分析，并分別展示了007 天三種不同預(yù)報模型及ISU與GBU超快速鐘差預(yù)報殘差結(jié)果(見圖2～3)，其中使用GBU實測數(shù)據(jù)預(yù)報殘差結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，本文預(yù)報模型的鐘差預(yù)報精度相比GBU產(chǎn)品有顯著提升。為了驗證本文所提方法對于BDS衛(wèi)星預(yù)報的普適性，同時給出利用ISU超快速實測鐘差數(shù)據(jù)分別采用三種不同預(yù)報模型及ISU預(yù)報產(chǎn)品的007 天預(yù)報殘差結(jié)果如圖3所示。

從圖2～3可以看出，GBU和ISU鐘差預(yù)報精度與采用QP及QP-Period預(yù)報精度相近，而采用本文所提附加周期項與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)報模型鐘差精度相比ISU及GBU有顯著提升，6號衛(wèi)星預(yù)報精度也有了較好改進(jìn)，發(fā)散程度明顯減小，24 h預(yù)報中殘差也未出現(xiàn)顯著增大。由圖2～3的對比分析可知，采用本文附加周期項和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償?shù)谋倍穼崟r鐘差預(yù)報模型，預(yù)報精度相比傳統(tǒng)多項式預(yù)報模型有顯著提升，相比現(xiàn)階段公開提供BDS超快速預(yù)報服務(wù)的ISU與GBU產(chǎn)品精度也有大幅度改進(jìn)。表明本文預(yù)報模型對于BDS衛(wèi)星超快速預(yù)報有較好的效果。

為了從數(shù)值上比較不同預(yù)報模型精度，同時給出了001天-030天一周內(nèi)不同模型分別在3 h,6 h,12 h和24 h預(yù)報精度平均值，統(tǒng)計數(shù)值結(jié)果如表1所示。

預(yù)報模型ISU/nsGBU/nsQPQP-PeriodISUBP-PREQPQP-PeriodGBUBP-PRE3h0.6030.5310.4590.3390.6200.6010.5610.5036h1.2211.0891.0450.8731.5171.4881.5451.33112h2.6972.7012.6492.3133.4923.4673.2793.01124h5.5335.4985.1794.6316.3516.2036.1355.251

從表1可以看出，ISU及GBU預(yù)報精度較低，因其預(yù)報模型僅為簡單的QP或QP-Period。其中ISU產(chǎn)品預(yù)報精度略高于GBU產(chǎn)品，其原因為ISU為我國13家分析中心產(chǎn)品加權(quán)所得，相當(dāng)于IGS綜合多家分析中心產(chǎn)品，因此ISU對于異常數(shù)據(jù)有更好抗差性，鐘差穩(wěn)定性與精度相比GBU有進(jìn)一步提升。本文預(yù)報模型精度相比QP與QP-Period模型精度均有較大提升。相比ISU產(chǎn)品，本文模型3 h,6 h,12 h和24 h預(yù)報精度分別提升了26.14%,16.46%,12.68%,10.58%；相比GBU產(chǎn)品，本文模型在3 h,6 h,12 h和24 h預(yù)報精度分別提升了10.34%,13.85%,8.17%和14.41%。以上對比結(jié)果也表明本文模型具有較高的鐘差預(yù)報精度，且在24 h預(yù)報中殘差發(fā)散現(xiàn)象明顯變緩，預(yù)報殘差序列更加穩(wěn)定，精度提升顯著。

6 結(jié)束語

常規(guī)北斗鐘差預(yù)報模型擬合殘差中仍存在非線性系統(tǒng)噪聲影響，本文提出并構(gòu)建了一種多項式結(jié)合周期項與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的北斗超快速鐘差預(yù)報模型，設(shè)計了算法實現(xiàn)流程。利用國內(nèi)和國際兩家機構(gòu)北斗實測超快速鐘差產(chǎn)品進(jìn)行了算法測試驗證。結(jié)果顯示：利用本文模型得到的北斗超快速鐘差產(chǎn)品，相比ISU精度提升約為10%～25%，相比GBU精度提升約為10%～15%。本文所構(gòu)建的北斗鐘差預(yù)報模型可用于提高目前我國北斗超快速鐘差產(chǎn)品精度，同時，所提模型對于僅有MEO星座的GPS、Galileo和GLONASS也具有一定的普適性。

[1] 黃觀文. GNSS星載原子鐘質(zhì)量評價及精密鐘差算法研究 [D]. 西安：長安大學(xué), 2012. [Huang Guan-wen. Research on algorithms of precise clock offset and quality [D].Xi’an: Chang’an University, 2012.]

[2] Huang G W, Zhang Q, Xu G C. Real-time clock offset prediction with an improved model [J]. GPS Solutions, 2014, 18(1):95-104.

[3] Heo Y J, Cho J, Heo M B. Improving prediction accuracy of GPS satellite clocks with periodic variation behavior [J]. Measurement Science & Technology, 2010, 21(21): 073001.

[4] 黃觀文, 余航, 郭海榮,等. 北斗在軌衛(wèi)星鐘中長期鐘差特性分析[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2017, 42(7):982-988. [Huang Guan-wen, Yu Hang, Guo Hai-rong, et al. Analysis of the mid-long term characterization for BDS on-orbit satellite clocks [J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2017, 42(7): 982-988.]

[5] Huang G W, Zhang Q, Li H T, et al. Quality variation of GPS satellite clocks on-orbit using IGS clock products [J]. Advances in Space Research, 2013, 51(6): 978-987.

[6] 朱祥為, 肖華, 雍少為, 等. 衛(wèi)星鐘差預(yù)報的Kalman算法及其性能分析 [J]. 宇航學(xué)報, 2008, 29(3):966-968. [Zhu Xiang-wei, Xiao Hua, Yong Shao-wei, et al. Kalman for clock offset prediction and performance analysis [J]. Journal of Astronautics, 2008, 29(3): 966-968.]

[7] 周佩元, 杜蘭, 路余,等. 多星定軌條件下北斗衛(wèi)星鐘差的周期性變化[J]. 測繪學(xué)報, 2015, 44(12):1299-1306. [Zhou Pei-yuan, Du Lan, Lu Yu, et a1. Periodic variations of beidou satellite clock offsets derived from multi-satellite orbit determination [J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2015, 44(12): 1299-1306.]

[8] Xu B, Wang Y, Yang X. Navigation satellite clock error prediction based on functional network [J]. Neural Processing Letters, 2013, 38(2): 305-320.

[9] 王宇譜, 呂志平, 陳正生,等. 衛(wèi)星鐘差預(yù)報的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法研究[J]. 測繪學(xué)報, 2013, 42(3):323-330. [Wang Yu-pu, Lv Zhi-ping, Chen Zheng-sheng, et al. Research the algorithm of wavelet neural network to predict satellite clock bias [J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2013, 42(3): 323-330.]

[10] Wang Y, Lu Z, Qu Y, et al. Improving prediction performance of GPS satellite clock bias based on wavelet neural network [J]. GPS Solutions, 2017, 21(2): 523-534.

[11] 馬卓希, 楊力, 賈小林. BDS星載原子鐘周期項特性及預(yù)報研究[J]. 大地測量與地球動力學(xué), 2017, 37(3):292-296. [Ma Zhuo-xi, Yang Li, Jia Xiao-lin. Research on prediction and characterization of periodic variations in BDS satellite clocks [J]. Journal of Geodesy & Geodynamics, 2017, 37(3): 292-296.]

[12] Wang B, Lou Y, Liu J, et al. Analysis of BDS satellite clocks in orbit [J]. GPS Solutions, 2015, 20(4): 1-12.

[13] Lv Y, Dai Z, Zhao Q, et al. Improved short-term clock prediction method for real-time positioning [J]. Sensors, 2017, 17(6):1308.

[14] 王穎, 徐波, 楊旭海. 一種利用泛函網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報的方法研究[J]. 宇航學(xué)報, 2012, 33(10):1401-1406. [Wang Ying, Xu Bo, Yang Xu-hai. Research on the navigation satellite clock error prediction using functional network [J]. Journal of Astronautics, 2012, 33(10): 1401-1406.]

[15] 劉繼業(yè), 陳西宏, 劉強,等. 基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化LS-SVM的衛(wèi)星鐘差預(yù)報研究[J]. 宇航學(xué)報, 2013, 34(11):1509-1515. [Liu Ji-ye, Chen Xi-hong, Liu Qiang, et al. LS-SVM based on improved pso for prediction of satellite clock error [J]. Journal of Astronautics, 2013, 34(11): 1509-1515.]

[16] 王宇譜, 呂志平, 王寧,等. 顧及衛(wèi)星鐘隨機特性的抗差最小二乘配置鐘差預(yù)報算法[J]. 測繪學(xué)報, 2016, 45(6):646-655.[Wang Yu-pu, Lv Zhi-ping, Wang Ning, et al. Prediction of navigation satellite clock bias considering clock’s stochastic variation behavior with robust least square collocation [J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2016, 45(6): 646-655.]

[17] 唐桂芬, 許雪晴, 曹紀(jì)東, 等. 基于通用鐘差模型的北斗衛(wèi)星鐘預(yù)報精度分析[J]. 中國科學(xué):物理學(xué) 力學(xué) 天文學(xué), 2015(7):079502.[Tang Gui-Fen, Xu Xue-qing, Cao Ji-dong, et al. Precision analysis for compass satellite clock prediction based on a universal clock offset model [J]. SCIENTIA SINICA Physica, Mechanica & Astronomica, 2015, 45(7): 079502.]

[18] 國際GNSS監(jiān)測評估系統(tǒng)數(shù)據(jù)/產(chǎn)品[EB/OL].2017[2017].http://124.205.50.178/Product/TreePage/tree/nav_id/36/cate_id/37.html.

[19] 德國地學(xué)研究中心[EB/OL].2017[2017].ftp://ftp.gfz-potsdam.de/pub/GNSS/products/mgnss/.