(同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海200092)

1 引 言

伴隨著信用風(fēng)險(xiǎn)始作俑者的2007年次貸危機(jī)和歐債危機(jī)的相繼發(fā)生,及其引發(fā)的金融海嘯和隨后漫長的全球市場低迷,金融產(chǎn)品信用風(fēng)險(xiǎn)評估日益受到全球投資者的重視.信用風(fēng)險(xiǎn)評估主流方法是用信用等級優(yōu)良來反映金融產(chǎn)品違約可能性大小,一般由信用評估機(jī)構(gòu)評定.它們針對受評對象實(shí)時(shí)的經(jīng)營狀況,投資資本和行業(yè)環(huán)境等數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)研分析,給予受評對象關(guān)于自身信用的總體評價(jià).由于金融產(chǎn)品發(fā)行者和投資者信息的不對稱,投資者需要通過信用評級來把握投資的金融產(chǎn)品所含的信用風(fēng)險(xiǎn)大??；另一方面金融產(chǎn)品發(fā)行方也需要通過信用評級展現(xiàn)安全兌付其所發(fā)行的金融產(chǎn)品的能力.考慮到信用等級對含信用風(fēng)險(xiǎn)的金融產(chǎn)品定價(jià)的參考價(jià)值和影響力,將可能發(fā)生的信用等級遷移加入到信用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)定價(jià)之中無論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都有了更加切實(shí)的意義.

國內(nèi)外的學(xué)者對含信用風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)評估已經(jīng)做了大量的研究,主流方法是對違約這一隨機(jī)事件進(jìn)行建模,建模的方式主要有約化法(reduced form approach)和結(jié)構(gòu)化法(structure approach).在約化法中,違約被視作一個(gè)由外因決定的不可預(yù)測事件.由風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)進(jìn)行刻畫,通過對風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)的分析建模,得出金融產(chǎn)品違約的概率.Jarrow等[1]和Duffe等[2]都通過約化法來研究金融產(chǎn)品違約問題.結(jié)構(gòu)化法則以期權(quán)定價(jià)理論為基礎(chǔ),通過公司的結(jié)構(gòu)變量指標(biāo)如資本結(jié)構(gòu),資產(chǎn)價(jià)值和負(fù)債等的變動(dòng)過程來刻畫違約.隨著公司的運(yùn)營,當(dāng)公司資產(chǎn)價(jià)值低于預(yù)先設(shè)定的水平時(shí),公司在到期日無法兌現(xiàn)金融產(chǎn)品,即發(fā)生違約.Merton[3]首先將結(jié)構(gòu)化法運(yùn)用到公司金融產(chǎn)品定價(jià)上,但是模型設(shè)定違約只發(fā)生在金融產(chǎn)品到期日清償債務(wù)的時(shí)候.隨后,Cox等[4]及Longstaff等[5]將Merton模型拓展到了違約可在任何時(shí)刻發(fā)生.但都沒有考慮到信用變遷對金融產(chǎn)品定價(jià)的影響,因此Jarrow等[6]用Markov鏈模型刻畫了信用等級遷移,之后Arvanitis等[7]和Hurd等[8]對模型都作了各自的推廣.然而這些模型中信用等級遷移都假定只受外因影響,而實(shí)際上公司資產(chǎn)狀況是影響信用等級遷移的關(guān)鍵因素,所以運(yùn)用結(jié)構(gòu)化法通過公司資產(chǎn)的變換過程來刻畫信用等級遷移,從而反映公司的信用風(fēng)險(xiǎn)變化,這與實(shí)際更加貼切.過去的幾年中,文獻(xiàn)[9—11]首次在金融產(chǎn)品結(jié)構(gòu)化定價(jià)中用公司資產(chǎn)的變換過程來刻畫信用等級遷移風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)做了相應(yīng)的理論證明和約化評估.文獻(xiàn)[12,13]解決了信用等級遷移邊界是自由邊界的情形.

然而目前對含信用等級遷移的債券研究工作還只局限于公司發(fā)行的零息票債券來刻畫公司負(fù)債狀況,可違約和可贖回債券[14,15]相比較而言風(fēng)險(xiǎn)性更小且更適用于實(shí)際.所以本文將推廣到可違約和可贖回債券,這將進(jìn)一步認(rèn)清信用等級變換風(fēng)險(xiǎn)在金融市場所產(chǎn)生的影響.可違約條款保證當(dāng)公司資產(chǎn)低至一定值時(shí),即時(shí)清算公司債券,截止投資人損失；提前償還條款保證當(dāng)公司資產(chǎn)高至一定值時(shí),及時(shí)償還公司債券,減少公司負(fù)債.基于此,本文中將對這一類債券的定價(jià)問題進(jìn)行研究.用結(jié)構(gòu)化法對這債券進(jìn)行解析,設(shè)定公司信用等級遷移邊界,可違約和可贖回風(fēng)險(xiǎn)邊界,給出在信用等級遷移邊界光滑性條件和線性組合條件下債券的定價(jià)模型.用Feynman-Kac公式[16]推導(dǎo)在遷移邊界處耦合的拋物型偏微分方程組,并求得模型的顯式解和數(shù)值解,最后利用曲線圖展現(xiàn)兩種模型債券價(jià)格關(guān)于時(shí)間和公司資產(chǎn)的變化情況.通過數(shù)值圖形對比,兩組模型下債券價(jià)格一致且與其金融性質(zhì)相吻合.本文提供了含信用等級遷移的可違約和可贖回債券結(jié)構(gòu)化法定價(jià)問題兩種模型及其相應(yīng)求解方法,并以此可解析地評估信用等級遷移風(fēng)險(xiǎn).

2 含信用評級變換的債券定價(jià)模型

2.1 模型假設(shè)

假設(shè)1基本假定:假設(shè)市場完備,不存在套利,設(shè)定無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)r.

假設(shè)2公司債券:假設(shè)公司債務(wù)僅為一張面值為F,到期日為T的零息債券.若在到期日,公司的資產(chǎn)價(jià)值小于債券面值,則判定公司違約,即時(shí)清算公司資產(chǎn),將公司資產(chǎn)全部交付給債權(quán)人.不考慮額外的清算費(fèi)用及其他手續(xù)費(fèi).t時(shí)刻的公司資產(chǎn)價(jià)值記為St,且滿足如下運(yùn)動(dòng)過程

其中1A是事件A的示性函數(shù).σi,i=1,2分別是公司資產(chǎn)在高,低信用等級下的波動(dòng)率,且有σ1＜σ2.Wt為由完備帶流概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)生成的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng).

假設(shè)3信用等級遷移:假設(shè)公司(除去違約外)只有兩個(gè)信用等級:高信用等級和低信用等級.設(shè)定信用等級遷移邊界為K,若公司資產(chǎn)下降到K以下,判定公司由高信用等級降為低信用等級；若公司資產(chǎn)上升到K以上,判定公司由低信用等級升為高信用等級.且公司的信用等級遷移可多次重復(fù)發(fā)生.

記公司首次發(fā)生信用等級遷移的時(shí)刻為

其中τ1,2(τ2,1)對應(yīng)初始為低(高)信用等級第一次轉(zhuǎn)移到高(低)信用等級的時(shí)刻.

2.2 公司債券的現(xiàn)金流

考慮一份含信用等級遷移的可違約和可贖回的零息公司債券.可違約條款指設(shè)定公司債券違約邊界,記為常數(shù)D,0＜D＜K.當(dāng)公司資產(chǎn)下降到D時(shí),公司發(fā)生違約,此時(shí)清算公司債務(wù),將公司全部資產(chǎn)支付給債權(quán)人,公司債券的價(jià)值為D.公司債券發(fā)生違約的時(shí)刻定義為

可贖回條款指設(shè)定公司債券贖回邊界,記為常數(shù)C,C＞K.當(dāng)公司資產(chǎn)上升到C時(shí),公司贖回債券,此時(shí)支付債務(wù)面值F的現(xiàn)值以及一定的補(bǔ)貼,公司債券的價(jià)值為Fe-r(T-t)+α(T-t),α為補(bǔ)貼因子,t∈(0,T].公司債券贖回的時(shí)刻定義為

根據(jù)無套利原理,債券價(jià)值等于債券未來期望收益的貼現(xiàn).當(dāng)公司處于高信用等級時(shí),公司債券在未來有三種可能收益:第一種在到期日前發(fā)生信用等級遷移而變?yōu)榈托庞玫燃壍墓緜坏诙N在到期日前運(yùn)營良好達(dá)到可贖回條款,提前贖回債券；第三種在到期日T獲得收益F.當(dāng)公司處于低信用等級等級時(shí),公司債券在未來也有三種可能收益:第一種在到期日前發(fā)生信用等級遷移而變?yōu)楦咝庞玫燃壍墓緜坏诙N在到期日前運(yùn)營不佳觸發(fā)可違約條款,提前清算債券；第三種在到期日T獲得收益min{ST,F}.記V(S,t),U(S,t)分別為公司在時(shí)刻t時(shí)分別處于高,低信用等級下的債券價(jià)值.由此可推出下面耦合的現(xiàn)金流表達(dá)式.

當(dāng)公司在t時(shí)刻處于高信用等級狀態(tài)下,即當(dāng)St≥K時(shí),

當(dāng)公司在t時(shí)刻處于低信用等級狀態(tài)下,即當(dāng)St＜K時(shí),

在信用等級遷移的邊界K上,由無套利假設(shè)可得V(K,t)=U(K,t).

2.3 現(xiàn)金流導(dǎo)出的耦合偏微分方程組

命題若由式(5),式(6)定義的V(S,t),U(S,t)充分光滑,則它們是下列線性偏微分方程組終邊值問題的解,即

命題的證明可參照文獻(xiàn)[17].

方程組(7)的解存在但并不是唯一的,原因在于當(dāng)S=K時(shí),邊界條件僅僅為V(K,t)=U(K,t).為求得定解,在信用等級遷移邊界上從兩個(gè)角度引入新的邊界條件,得到兩類定價(jià)模型.

2.3.1 模型(光滑性條件模型)

利用Δ—對沖給出一種邊界條件.通過持有Δ份額的公司資產(chǎn)和賣出一份公司債券來構(gòu)建一份無風(fēng)險(xiǎn)投資組合Πt,即Πt=ΔtSt-Φt,且滿足dΠt=rΠtdt,其中

信用等級遷移并不會(huì)使投資組合價(jià)值發(fā)生突變,即Πt在信用等級遷移邊界K處連續(xù).所以在邊界處有

把邊界條件(11)添加到原方程組(7)中得到模型I為

由偏微分方程理論可知,方程組(12)的解存在且唯一[17].

2.3.2 模型II(線性組合條件模型)

設(shè)W1(S,t),W2(S,t)為不考慮信用等級遷移,公司資產(chǎn)分別只在高,低信用等級狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)的擁有違約條款和贖回條款的債券價(jià)值,即

Wi(S,t)滿足方程

利用偏微分方程分離變量法,得解析解

當(dāng)σ1＜σ2,有W1(S,t)＞W(wǎng)2(S,t),即公司資產(chǎn)始終在高信用等級狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)的債券價(jià)格比在低信用等級狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)的債券價(jià)格高,這與是實(shí)際相符.考慮到在信用等級遷移邊界上,債券價(jià)值應(yīng)同時(shí)體現(xiàn)高,低信用等級區(qū)域各自的特點(diǎn).設(shè)定處于信用遷移邊界上的債券價(jià)值是W1(S,t),W2(S,t))的線性組合,且其值介于W1(S,t),W2(S,t))之間,則在信用等級遷移邊界上,添加如下由已知函數(shù)確定的偏微分方程第一邊值條件

即V(S,t),U(S,t)滿足偏微分方程組(7)以及邊值條件(16),推得模型II

3 模型求解與數(shù)值分析

3.1 模型I的求解

求解偏微分方程組(12).用隱式差分法求解數(shù)值解,先把偏微分方程變量的定義域進(jìn)行網(wǎng)格剖分.在各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上,將微商轉(zhuǎn)換成差商,使得偏微分方程離散化為差分格式.然后從初始值(終值)出發(fā),通過差分格式沿時(shí)間增加(減少)的方向,逐步求出微分方程的近似解.選擇如下合乎市場情況的參數(shù)F=1,K=1.2,σ1=0.2,σ2=0.4,r=0.03,α=0.01.選取K=1.2,即信用等級遷移邊界在公司資產(chǎn)價(jià)值為1.2的地方,這條邊界劃分了公司資產(chǎn)在邊界兩端所滿足的不同波動(dòng)率的方程.下圖顯示的結(jié)果表示不同時(shí)刻下債券價(jià)值關(guān)于公司資產(chǎn)的變換情況.

圖1 債券價(jià)值在不同發(fā)行時(shí)間下關(guān)于公司資產(chǎn)的曲線圖Fig.1 The change curve of bond price in relation to corporate value at different issued time

對圖1比較分析可得出如下結(jié)論:

1)三條曲線單調(diào)上升,反映公司資產(chǎn)越高,公司信譽(yù)越好,債券的價(jià)值也就越高.

2)公司資產(chǎn)越是靠近信用等級遷移邊界,債券價(jià)值就波動(dòng)越大；越是靠近違約邊界或贖回邊界,債券價(jià)值就波動(dòng)越小.且越是靠近債券到期日,效果越是明顯.

圖2顯示的結(jié)果表示高,低信用等級下公司資產(chǎn)不變的債券價(jià)值關(guān)于債券已發(fā)行時(shí)間的變換情況.

圖2 高,低信用等級下債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間的曲線圖Fig.2 The change curve of bond price in relation to issued time with high and low credit rating

對圖2比較分析可得出如下結(jié)論:

1)隨著債券到期日的臨近,債券價(jià)值會(huì)逐漸增加.

2)公司資產(chǎn)不變的情況下債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間的變化為凸函數(shù),說明債券發(fā)行初期,債券價(jià)值的變化平穩(wěn),越是在債券到期日臨近的時(shí)候,債券價(jià)值變化越劇烈.

3)低信用等級的債券價(jià)值總比高信用等級的債券價(jià)值小,且變化幅度也比高信用等級狀態(tài)下的大.

3.2 模型II的求解

對偏微分方程組(17),可利用分離變量法求得如下解析解.

當(dāng)公司在t時(shí)刻處于高信用等級狀態(tài)下,即當(dāng)S≥K時(shí),

當(dāng)公司在t時(shí)刻處于低信用等級狀態(tài)下,即當(dāng)S＜K時(shí),

為了對比分析兩種模型,選取與模型I相同的模型參數(shù),代入到解析解中進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,獲得模型II的數(shù)值圖形.圖3和圖4顯示的結(jié)果表示兩種模型債券價(jià)值在不同時(shí)刻下關(guān)于公司資產(chǎn)變換的對比情況.圖5和圖6顯示的結(jié)果表示兩種模型債券價(jià)值在不同信用等級下關(guān)于發(fā)行時(shí)間變換的對比情況.

對上述四幅圖比較分析可知,兩種模型得出的結(jié)果較為接近,誤差較小,說明這兩個(gè)模型都可以用來解決問題.模型I更接近實(shí)際,而模型II有解析解,所以可以用解析解去近似實(shí)際解.

4 結(jié)束語

用結(jié)構(gòu)化法研究了含信用等級遷移風(fēng)險(xiǎn)的可違約且可贖回的公司債券定價(jià)問題.用結(jié)構(gòu)化框架刻畫信用等級遷移過程,同時(shí)考慮了可違約和可提前贖回條款,以更符合實(shí)際的公司債券情形.通過引入信用等級邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件和線性組合條件,建立了兩個(gè)模型,分別給出了其數(shù)值解和解析解.兩個(gè)模型各有優(yōu)點(diǎn),模型I更符合實(shí)際,而模型II有解析解.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,兩種模型的結(jié)果數(shù)值接近,趨勢一致,且與問題本身的金融意義相吻合.

圖3 兩種模型債券價(jià)值在0.25T時(shí)刻下關(guān)于公司資產(chǎn)的曲線圖Fig.3 The change curves of bond price of two models in relation to corporate bond at 0.25T

圖4 兩種模型債券價(jià)值在0.75T時(shí)刻下關(guān)于公司資產(chǎn)的曲線圖Fig.4 The change curves of bond price of two models in relation to corporate bond at 0.75T

圖5 兩種模型債券價(jià)值在高信用等級下關(guān)于發(fā)行時(shí)間的曲線圖Fig.5 The change curves of bond price of two models in relation to issued time at a high credit rating

圖6 兩種模型債券價(jià)值在低信用等級下關(guān)于發(fā)行時(shí)間的曲線圖Fig.6 The change curves of bond price of two models in relation to corporate issued time at a low credit rating