吳文青,唐應輝,張元元

(1.西南科技大學理學院,四川綿陽 621010；2.四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院,四川成都 610066)

1 引 言

k/n(G)表決系統(tǒng)由n個部件組成,當n個部件中至少有k個部件同時正常工作時,系統(tǒng)才正常運轉(zhuǎn)(1≤k≤n),即當故障的部件數(shù)等于n-k+1時系統(tǒng)就故障.關(guān)于k/n(G)表決系統(tǒng)的基本理論及相關(guān)研究成果可見文獻[1,2].在k/n(G)表決系統(tǒng)中,若k=1,則系統(tǒng)退化成n部件并聯(lián)系統(tǒng),此時系統(tǒng)故障當且僅當n個部件全部處于故障狀態(tài).若k=n,則系統(tǒng)退化成n部件串聯(lián)系統(tǒng),此時系統(tǒng)故障當且僅當n個工作部件中有一個部件發(fā)生故障.關(guān)于其特例的研究可見文獻[3—5].k/n(G)表決系統(tǒng)作為可靠性數(shù)學理論中的一類非常重要的基本模型,被廣泛應用于金融系統(tǒng)、航空航天系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、核安全系統(tǒng)等.比如,在核電站系統(tǒng)中,反應堆保護系統(tǒng)由n個保護裝置組成,只要有任意的k個及以上的保護裝置符合保護觸發(fā)條件,系統(tǒng)便發(fā)出保護動作以保護三大核安全屏障(燃料包殼、一回路壓力邊界和安全殼)的完整性.這里的反應堆保護系統(tǒng)可看作是一個k/n(G)表決系統(tǒng).

一些對經(jīng)典的k/n(G)表決可修系統(tǒng)的研究可見文獻[6—9].這些文獻使用隨機過程理論與方法討論了系統(tǒng)的可用度、系統(tǒng)的故障頻度、系統(tǒng)首次故障前的平均時間等可靠性指標.Zhang等[10]研究了馬爾可夫型k/n(F)表決可修系統(tǒng),即(n-k+1)/n(G)表決可修系統(tǒng),其中部件修復如新,修理設備修復不如新.作者利用幾何過程理論、排隊論方法和向量馬爾可夫過程理論給出了系統(tǒng)的可用度、故障部件的平均等待修理時間、修理設備空閑的概率等相關(guān)指標以及數(shù)值結(jié)果.另外,Krishnamoorthy等[11-13]又將各種維修策略,如D—策略,T—策略或者N—策略引入到k/n(G)表決系統(tǒng)的研究中,并給出了相關(guān)可靠性指標的表達式和數(shù)值結(jié)果.在文獻[13]中,作者考慮的N—策略維修規(guī)則是這樣的:當系統(tǒng)中故障部件數(shù)累積到預先設定的N值時,修理工才開始修理故障的部件,一直持續(xù)到系統(tǒng)中沒有故障部件為止.然后,修理工轉(zhuǎn)入空閑狀態(tài)直到下一次系統(tǒng)中累積故障部件數(shù)達到N值時才又開始轉(zhuǎn)入修理狀態(tài).隨后,Wu等[14]研究了N策略,修理工多重休假和修理設備可更換的k/n(G)表決可修系統(tǒng).利用馬爾可夫過程理論和矩陣分析方法,作者得到了一系列系統(tǒng)可靠性指標的表達式.在此基礎(chǔ)上建立了系統(tǒng)長時間運行下的利潤函數(shù),并數(shù)值給出了最優(yōu)解.更多關(guān)于k/n(G)表決系統(tǒng)的工作可見文獻[15—19].最近,付永紅等人[20]研究了一個具有兩水平修理策略的機器維修模型,即1/n(G)表決系統(tǒng).使用補充變量法,作者獲得了穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中故障機器數(shù)的概率分布,以及相關(guān)指標的表達式和數(shù)值結(jié)果.

受文獻[13,20]的啟發(fā),本文考慮具有兩水平(r,s)修理策略的k/n(G)表決可修系統(tǒng).這種修理策略的本質(zhì)在于通過對閾值的事先設定來合理有效地指派普通修理工或者熟練修理工對故障部件進行修理.與之前的k/n(G)表決可修系統(tǒng)模型相比較,這種修理策略的特點是:工作部件故障后并不立即對其進行任何修理,而是等到故障部件累積到事先設定的低閾值r時,才指派普通修理工進行修理.如果普通修理工在修理過程中進展不順利,故障部件數(shù)持續(xù)增加到高閾值s時,系統(tǒng)性能受到嚴重影響時,將立即指派熟練修理工去接替普通修理工對故障部件進行修理,以盡快恢復系統(tǒng)的性能.利用馬爾可夫過程理論和分析方法,討論了系統(tǒng)可用度、故障頻度以及系統(tǒng)首次故障前的平均時間等可靠性指標,并給出了相關(guān)指標的表達式和數(shù)值結(jié)果.

2 兩水平修理策略的k/n(G)表決可修系統(tǒng)

本文研究的兩水平修理策略的k/n(G)表決可修系統(tǒng)的模型描述如下:

1)系統(tǒng)由n個同型部件組成,當至少有k(1≤k≤n)個部件同時工作時,系統(tǒng)才正常工作.當故障部件數(shù)等于n-k+1時系統(tǒng)就故障,在系統(tǒng)故障期間,剩余的k-1個正常部件不再發(fā)生故障.

2)系統(tǒng)中每個部件的工作壽命X服從負指數(shù)分布F(t)=1-e-λt,0＜λ＜∞,t≥0.當工作部件發(fā)生故障時,系統(tǒng)將根據(jù)兩水平(r,s),0≤r≤s≤n-k+1,修理策略指派相應的修理工對其進行修理.如果系統(tǒng)中故障的部件數(shù)小于r值時,系統(tǒng)暫不指派修理工修理故障部件.如果系統(tǒng)中故障的部件數(shù)達到r值時,立即指派普通修理工對故障部件進行修理.若普通修理工的修理工作順利,r個故障部件及其后的故障部件修理完畢,則普通修理工撤出系統(tǒng).若普通修理工的修理工作不順利,系統(tǒng)中故障部件數(shù)持續(xù)增加到s值時,系統(tǒng)則立即指派熟練修理工對故障部件進行修理.當系統(tǒng)性能好轉(zhuǎn),故障部件數(shù)小于s時,熟練修理工撤出系統(tǒng),原先的普通修理工進入系統(tǒng)繼續(xù)修理,直到所有的故障部件修理完畢.如果在此期間,系統(tǒng)累積的故障部件數(shù)又一次達到閾值s時,則熟練修理工再次接替普通修理工進入系統(tǒng)開展修理工作.

3)普通修理工的修理時間Y1服從負指數(shù)分布G1(t)=1-e-μ1t,0≤μ1＜∞,t≥0.熟練修理工的修理時間Y服從負指數(shù)分布G(t)=1-e-μt,0≤μ＜∞,t≥0.

4)系統(tǒng)涉及到的隨機變量彼此獨立.

下面建立系統(tǒng)狀態(tài)概率滿足的穩(wěn)態(tài)方程組.令L(t)=i,i=0,1,...,n-k+1,表示時刻t系統(tǒng)中有i個部件處于故障狀態(tài)(包括正在修理的部件).設

由模型描述和負指數(shù)分布的“無記憶性”可知,隨機過程{L(t),J(t)|t≥0}是連續(xù)時間擬生滅過程,其狀態(tài)空間為

為了后面討論的方便,記λi=(n-i)λ,i=0,1,...,n-k.進一步,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.1 State transition diagram of the system

下面給出圖1中有序數(shù)對的簡單說明,其中(i,0)表示系統(tǒng)中有i個故障部件,i=0,1,...,r-1,系統(tǒng)未指派修理工修理故障部件.(i,1)表示系統(tǒng)中有i個故障部件,i=1,2,...,s-1,普通修理工正在修理故障部件.(i,2)表示系統(tǒng)中有i個故障部件,i=s,s+1,...,n-k+1,熟練修理工正在修理故障部件.

定義系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率

根據(jù)馬爾可夫過程理論和系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率滿足如下方程組

下面推導穩(wěn)態(tài)概率pi,0,i=0,1,...,r-1,pi,1,i=1,2,...,s-1,pi,2,i=s,s+1,...,n-k+1的表達式.首先,由式(1)得

根據(jù)方程(2),有

由方程(3),得λ1p1,1-μ1p2,1=-μ1p1,1=-λ0p0,0.將其代入方程(4),整理后有如下遞推表達式

進一步,從式(13)可得

由方程(5)得

類似方程(5)的推導,由方程(6)得

將ps-1,1和ps-2,1代入式(7),得

同樣地,將ps,2和ps-1,1代入式(8),得

類似于方程(4)和方程(6)的處理,由式(9)得

由正則性條件,所有的概率加起來為1,即

將上述各表達式代入式(20),解得p0,0=Δ,其中

至此,得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分別為

下面給出穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)相關(guān)性能績效指標的表達式.

3 系統(tǒng)首次故障前的平均時間

定義1[21]概率分布H(x)稱為(0,+∞)上具有不可約表示(α,T)的m階位相型分布(簡稱PH分布),當且僅當它是一個狀態(tài)空間為{1,2,...,m+1}的馬氏過程的吸收時間分布,其中狀態(tài)1,2,...,m都是非常返的,狀態(tài)m+1為過程的吸收狀態(tài).記該過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率矩陣為

過程的初始狀態(tài)概率向量為(α1×m,01×1),其中0表示初始時刻過程處于吸收態(tài)的概率為0.這里,分布函數(shù)為H(x)=1-αexp(Tx)e,x≥0,數(shù)學期望E[χ]=-αT-1e.

利用馬氏鏈吸收時間理論來討論k/n(G)表決系統(tǒng)首次故障前的平均時間.首先,對系統(tǒng)的n-k+r+1個狀態(tài)按照如下的方式進行排列,即

狀態(tài)(0,0),(1,0),(1,1),...,(r-1,0),(r-1,1),(r,1)...,(s-1,1),(s,2),...,(n-k,2)都是非常返的,狀態(tài)(n-k+1,2)為過程的吸收狀態(tài).根據(jù)PH分布的定義可得此過程的轉(zhuǎn)移速率矩陣為

因此,本文討論的k/n(G)表決可修系統(tǒng)首次故障前的平均時間

4 數(shù)值例子

算例1本算例以某地區(qū)的手機通信網(wǎng)絡為例來分析系統(tǒng)相關(guān)可靠性指標隨系統(tǒng)參數(shù)變化的情況.假設有5個傳輸塔就能基本滿足這一地區(qū)的手機通信,但管理者為了提高通信的質(zhì)量和滿足不同顧客的需求,往往會多安裝幾個傳輸塔,比如18個.于是,這一地區(qū)的通信傳輸系統(tǒng)就是5/18(G)表決系統(tǒng).在運行過程中,若故障的傳輸塔數(shù)量小于 4個時,由于對通信并不會造成實質(zhì)性的影響,故暫不指派技術(shù)人員(即修理工)去修理故障傳輸塔.若故障的傳輸塔數(shù)量達到4個時,此時可能會引起通信不暢,這時管理者立即指派普通修理工對故障傳輸塔進行修理.在此期間,若故障的傳輸塔數(shù)量持續(xù)增加到12個時,通信將受到嚴重干擾,則立即指派熟練修理工對其進行修理.傳輸塔的工作壽命服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布,普通修理工和熟練修理工對故障傳輸塔的修理時間分布服從參數(shù)為μ1和μ的負指數(shù)分布.選取參數(shù)λ=0.4,μ1=2.5,μ=3.5.利用MATLAB編寫相應的數(shù)值計算程序,所得結(jié)果分別見表1,表2和圖2,相關(guān)數(shù)值結(jié)果保留到小數(shù)點后8位.

表1 5/18(G)表決系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布及相關(guān)指標的數(shù)值結(jié)果Table 1 Steady-state probabilities and performance measures of5/18(G)system

表2 不同初始條件下5/18(G)表決系統(tǒng)首次故障前的平均時間Table 2 MTTFF of 5/18(G)system under different initial conditions

表1給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布及相關(guān)可靠性指標的數(shù)值結(jié)果.表2給出了在不同初始條件下系統(tǒng)首次故障前的平均時間的數(shù)值結(jié)果.從表中可看出開始時刻系統(tǒng)中故障部件數(shù)越多,其MTTFF的值就越小,這與實際情形相吻合.

圖2描繪了在不同的部件故障率λ和維修閾值s下,A,mf,E[L]和Pe的數(shù)值結(jié)果.從中可看出,隨著λ的增大,即工作部件越容易發(fā)生故障,系統(tǒng)可用度逐步減小,而故障頻度、平均故障部件數(shù)和熟練修理工繁忙概率逐漸增大.另一方面,當λ取值給定時,s值越小,熟練修理工越早進入系統(tǒng)修理故障部件,則系統(tǒng)可用度明顯增大,而故障頻度、平均故障部件數(shù)變小.正由于較早進入系統(tǒng),故熟練修理工繁忙的概率相應地增大了.

圖2 不同參數(shù)λ和s下5/18(G)表決系統(tǒng)可靠性指標變化曲線Fig.2 System performance measures of 5/18(G)system versus(λ,s)

算例2令k=1,則k/n(G)表決系統(tǒng)退化為經(jīng)典的機器維修模型.付永紅等[20]獲得了機器模型穩(wěn)態(tài)下故障機器數(shù)的概率分布及相關(guān)指標的遞推表達式.為了驗證本文表達式的正確性,取文獻[20]的相關(guān)參數(shù)值:n=12,λ=0.1,μ1=0.5,μ=0.7,r=4,s=8.利用MATLAB編寫相應的數(shù)值計算程序,得到的具體結(jié)果見表3.從表中可看出,本文表達式的數(shù)值結(jié)果與文獻[20]的表達式的數(shù)值結(jié)果吻合.

表3 1/12(G)表決系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布及相關(guān)指標的數(shù)值結(jié)果Table 3 Steady-state probabilities and performance measures of 1/12(G)system

算例3令r=1,μ1=μ,則模型退化為經(jīng)典的k/n(G)表決可修系統(tǒng).曹晉華等[2]利用馬爾可夫分析方法得到了此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的可靠性指標的表達式

為了說明本文所得表達式的正確性,選取k=3,λ=0.55,μ1=μ=2.5.通過MATLAB編寫數(shù)值計算程序,得到具體的的數(shù)值結(jié)果見表4.從表中可以看出,本文表達式的數(shù)值結(jié)果與文獻[2]給出的表達式的數(shù)值結(jié)果吻合.

表4 不同n值下k/n(G)表決系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可靠性指標的數(shù)值結(jié)果Table 4 System reliability measures for different values ofn

算例4本算例通過Monte Carlo仿真對本文解析結(jié)果的正確性進行驗證.取k=2,n=3,μ1=2.0,μ=3.5,r=1,和s=2；λ的取值從0.5到1.0,利用MATLAB編寫相應的程序,運行500 000次后所得結(jié)果見圖3和表5.這里,相對誤差=|理論結(jié)果-仿真結(jié)果|/理論結(jié)果.從表5和圖3可知本文表達式是可信的.

圖3 不同參數(shù)λ下系統(tǒng)可靠性指標變化曲線Fig.3 System reliability measures for different values ofλ

5 結(jié)束語

本文研究了兩水平修理策略的表決可修系統(tǒng),利用馬爾可夫過程理論,建立了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率滿足的方程組,并采用求解經(jīng)典生滅過程的思路獲得了一系列刻畫系統(tǒng)性能績效指標的表達式.在此基礎(chǔ)上,通過MATLAB軟件編程給出了在不同條件下系統(tǒng)相關(guān)可靠性指標的數(shù)值結(jié)果.最后,通過Monte Carlo數(shù)值仿真和對特殊情形的討論數(shù)值驗證了所得表達式的有效性.在今后的研究中,引入修理工休假策略(多重休假,單重休假)是一個值得考慮的問題.

表5 不同λ值下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可靠性指標的數(shù)值結(jié)果Table 5 System reliability measures for different values ofλ