王奉濤， 王 貝， 敦泊森， 李宏坤， 韓清凱， 朱 泓

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 大連，116024)

引 言

滾動(dòng)軸承在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中廣泛應(yīng)用，是易發(fā)生故障的零部件，它的運(yùn)行狀態(tài)對(duì)于保障設(shè)備安全可靠運(yùn)行意義重大[1]。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的各種故障中，約有30%是由滾動(dòng)軸承的故障引起的[2]。如果能準(zhǔn)確地對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行可靠性評(píng)估，則能夠有效減少停機(jī)時(shí)間和維修費(fèi)用、延長(zhǎng)設(shè)備壽命、提高設(shè)備的完好率和可用度，滿足設(shè)備的任務(wù)可靠性要求[3]。

傳統(tǒng)意義上的可靠性主要將統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論作為工具，通過(guò)大量的失效實(shí)例來(lái)建立相同工況下一批設(shè)備的平均可靠度[4]。但是，獲取大量失效樣本比較困難，實(shí)際軸承的工況、轉(zhuǎn)速和故障類型不同，導(dǎo)致可靠度也不同。因此，軸承的可靠性是個(gè)性問(wèn)題，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論得出的平均可靠度難以滿足單個(gè)軸承可靠性評(píng)估的要求。由于軸承的狀態(tài)振動(dòng)特征量能夠提供可靠性評(píng)估的重要信息，因此基于狀態(tài)的可靠性評(píng)估越來(lái)越被重視[5]。Jardine等[6]提出可靠性主要有3類：統(tǒng)計(jì)學(xué)方法、人工智能方法和基于模型的方法。目前，人工智能方法在可靠性評(píng)估方面運(yùn)用仍然比較廣泛。孟光等[7]對(duì)近年來(lái)一些主要的壽命預(yù)測(cè)方法和預(yù)防維護(hù)規(guī)劃模型進(jìn)行了總結(jié)、分類和比較，并討論了一些潛在的研究方向。丁峰等[3]研究了基于設(shè)備振動(dòng)信號(hào)的峭度值和方均根值等特征，利用比例故障模型實(shí)現(xiàn)對(duì)鐵路機(jī)車輪子的滾動(dòng)軸承的可靠性評(píng)估。Ali等[8]采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法研究了基于威布爾和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軸承壽命預(yù)測(cè)。Zhang等[9]研究了基于混合威布爾比例故障模型實(shí)現(xiàn)對(duì)高壓水泵軸承的壽命預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)[10]研究了基于相關(guān)向量機(jī)和Logistic回歸模型的機(jī)械性能退化評(píng)估。Tran等[11]研究了基于設(shè)備比例故障模型和支持向量機(jī)的機(jī)械性能退化評(píng)估。以上方法均存在建模復(fù)雜、參數(shù)假設(shè)會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生主觀影響的缺陷。

Logistic回歸模型主要研究的是客觀事物變量之間的聯(lián)系，它是用來(lái)尋找隱藏在那些看上去不確定現(xiàn)象中規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法[12]。Logistic回歸和線性回歸最大的區(qū)別是因變量為類型變量，例如在機(jī)械設(shè)備健康狀態(tài)研究中，可分為正常、早期故障、中期故障和嚴(yán)重?fù)p壞[13]幾種類型變量。模型中參數(shù)較少且易于估計(jì)，可以采用似然估計(jì)的方法將其參數(shù)估計(jì)出來(lái)，因此相對(duì)威布爾比例故障模型具有參數(shù)易于估計(jì)、不需要假設(shè)的優(yōu)點(diǎn)[14]。其自變量可以是離散的、連續(xù)的或者啞變量，表征一個(gè)設(shè)備性能從正常到失效需要多個(gè)特征量。Logistic通過(guò)分析描述設(shè)備在多特征條件下的失效概率，這對(duì)設(shè)備工程師制定維修計(jì)劃非常有利[15]。文獻(xiàn)[16]提出把在線數(shù)據(jù)的特征量輸入Logistic中來(lái)評(píng)估電梯門實(shí)時(shí)性能。但是，Logistic回歸模型具有自身的局限性，在可靠度函數(shù)計(jì)算過(guò)程中僅考慮到當(dāng)前的特征量，不能反映軸承振動(dòng)信號(hào)特征量的劣化趨勢(shì)。

為了建立軸承運(yùn)行狀態(tài)與可靠性的關(guān)系模型，筆者對(duì)Logistic回歸模型進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于改進(jìn)Logistic回歸模型的滾動(dòng)軸承可靠性評(píng)估方法。該方法在可靠性評(píng)估時(shí)充分考慮軸承的退化趨勢(shì)，能夠消除隨機(jī)波動(dòng)信號(hào)對(duì)可靠性評(píng)估結(jié)果的影響。試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不但提高了可靠性評(píng)估精度，而且對(duì)于同類軸承有很好的適用性。

1 改進(jìn)Logistic回歸模型

滾動(dòng)軸承狀態(tài)可由一系列的特征參數(shù)表示，當(dāng)數(shù)據(jù)樣本由特征參數(shù)和滾動(dòng)軸承狀態(tài)組成時(shí)，Logistic回歸模型能建立評(píng)估滾動(dòng)軸承狀態(tài)的模型[17]。將影響滾動(dòng)軸承狀態(tài)參數(shù)的協(xié)變量用向量X(t)={x1(t),x2(t),…,xm(t)}表示，其中，m為協(xié)變量的個(gè)數(shù),即為特征指標(biāo)數(shù)。事件不發(fā)生(yt=1)的條件概率表示為

P(yt=1|X(t))=

(1)

其中：β0,β1,…,βm為協(xié)變量對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)，并且β0>0。

軸承在t時(shí)刻的狀態(tài)可分為正常和失效，分別對(duì)應(yīng)yt=1和yt=0兩種狀態(tài)。協(xié)變量X(t)={x1(t),x2(t),…,xm(t)}表示當(dāng)前時(shí)刻設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)信號(hào)的特征參數(shù)。根據(jù)滾動(dòng)軸承的特性，該時(shí)刻的滾動(dòng)軸承狀態(tài)信息yt和協(xié)變量X(t)應(yīng)該是非線性關(guān)系。

假定滾動(dòng)軸承當(dāng)前的特征量為X(t)，則滾動(dòng)軸承的可靠度函數(shù)R(t|X(t))與累積失效分布函數(shù)F(t|X(t))=1-R(t|X(t))之比滿足

(2)

其中：β0為截距，是常數(shù)項(xiàng)；β0,β1,…,βm反映協(xié)變量的權(quán)值大小；βi>0表示事件發(fā)生比率隨特征量xi的增大而增大，反之，減?。沪耰=0說(shuō)明該自變量對(duì)此模型沒(méi)有影響。

對(duì)其參數(shù)用極大似然估計(jì)方法求解，似然函數(shù)對(duì)數(shù)形式為

(3)

因?yàn)長(zhǎng)ogistic模型為非線性的，因此可以由最大似然估計(jì)出。 求出β0,β1,…,βm之后，滾動(dòng)軸承的可靠度函數(shù)可表示為

P(t|X(t))=

(4)

Logistic回歸模型在可靠性評(píng)估時(shí)僅考慮當(dāng)前時(shí)刻t的特征量，導(dǎo)致模型的可靠性評(píng)估精度低。由式(4)可知，Logistic回歸模型在可靠度計(jì)算時(shí)僅考慮軸承當(dāng)前時(shí)刻的特征量，會(huì)因不同軸承個(gè)體之間的差異和采集的數(shù)據(jù)隨機(jī)波動(dòng)性給可靠性評(píng)估結(jié)果帶來(lái)干擾，而且不能消除恢復(fù)期[18]帶來(lái)的干擾。因此筆者將滾動(dòng)軸承退化過(guò)程考慮到可靠性評(píng)估中，提出ILRM。對(duì)于滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的某個(gè)特征向量的時(shí)間序列{xi(1),xi(2),…，xi(N)},根據(jù)嵌入理論[19]，認(rèn)為數(shù)據(jù)的未來(lái)值與其前面的m數(shù)值之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，即

xi(j+m+1)=F(xi(j),xi(j+1),…,xi(m+1))

按照式(5)～(7)對(duì)Logistic回歸模型改進(jìn)

ui(j+m+1)=αjxi(j)+αj+1xi(j+1)+…+

αj+mxi(j+m)+xi(j+m+1)

(5)

(6)

其中：αk(k=j,j+1,…,m+j+1)為模型的修正系數(shù)。

αi(k)=

(7)

改進(jìn)Logistics回歸的可靠度函數(shù)為

P(t|H(t))=

(8)

由式(5)～(8)可知，改進(jìn)Logistic回歸模型具有自適應(yīng)性，一方面可以消除數(shù)據(jù)波動(dòng)的影響，另一方面可以把軸承的劣化趨勢(shì)兼顧到軸承可靠性評(píng)估過(guò)程中，有利于提高精度。wi(t)為ui(t)在特征值正常時(shí)期的一段趨勢(shì)平穩(wěn)數(shù)據(jù)的均值。H(t)={h1(t),h2(t),…h(huán)m(t)}為時(shí)變模型的特征量。

其似然函數(shù)對(duì)數(shù)形式為

(9)

Logistics回歸模型僅考慮當(dāng)前軸承的特征，沒(méi)有考慮之前的退化趨勢(shì)，易受到特殊點(diǎn)干擾，使可靠度評(píng)估結(jié)果因數(shù)據(jù)波動(dòng)而產(chǎn)生較大誤差。ILRM兼顧之前的軸承狀態(tài)，擺脫了多種不利影響，得到更加精確的評(píng)估結(jié)果。

2 方法步驟

基于改進(jìn)Logistic回歸模型的滾動(dòng)軸承可靠性評(píng)估方法流程如圖1所示。

圖1 筆者提出的算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart

1) 特征參數(shù)選擇：從滾動(dòng)軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)中提取全壽命周期的時(shí)域特征、頻域特征和時(shí)頻域特征參數(shù)，篩選出有效特征參數(shù)，組成特征向量集。

2) 相對(duì)高維特征集的構(gòu)建：選取滾動(dòng)軸承特征量正常期的一段求取均值，該特征的全壽命數(shù)據(jù)除以該均值得出相對(duì)特征，分別求取有效特征參數(shù)的相對(duì)特征，構(gòu)建混合域的相對(duì)高維特征集。

3) 主元分析：對(duì)混合域的相對(duì)高維特征集進(jìn)行主元分析，選取累計(jì)貢獻(xiàn)率大于95%的主元。

4) 建立模型：根據(jù)選取的主元對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，建立ILRM。

5) 可靠性評(píng)估：利用測(cè)試組的軸承數(shù)據(jù)按照訓(xùn)練組的方法步驟選取出模型的協(xié)變量，利用已建立的改進(jìn)的Logistic回歸模型對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行可靠性評(píng)估。

3 試驗(yàn)分析

3.1 滾動(dòng)軸承試驗(yàn)臺(tái)介紹

筆者采用的數(shù)據(jù)是由美國(guó)辛辛那提大學(xué)智能維護(hù)中心提供的滾動(dòng)軸承全壽命周期加速軸承性能退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)[18]。試驗(yàn)臺(tái)軸承位置和傳感器布置如圖2所示。一根轉(zhuǎn)軸上裝有4個(gè)軸承，型號(hào)為Rexford ZA-2115, 由直流電機(jī)通過(guò)皮帶聯(lián)接驅(qū)動(dòng)，軸承轉(zhuǎn)速為恒定值2 kr/min，由彈性加載器施加22.24 kN的徑向載荷。油反饋管道安裝磁性螺塞，收集潤(rùn)滑油的碎屑用以驗(yàn)證軸承的性能退化。系統(tǒng)電器開關(guān)的關(guān)閉由磁性螺塞吸附的金屬碎屑量決定。隨著軸承性能不斷退化，當(dāng)吸附的碎屑量達(dá)到預(yù)先設(shè)定的閾值，數(shù)據(jù)采集工作便會(huì)停止。傳感器為8個(gè)高靈敏度石英加速度傳感器PCB353B33，分別采集每個(gè)軸承x和y方向的加速度信號(hào)，振動(dòng)信號(hào)用NI公司的DAQCardTM-6062E數(shù)據(jù)采集卡進(jìn)行采集，采集時(shí)間間隔為20 min，采樣頻率為20 kHz，采樣長(zhǎng)度為20 480點(diǎn)。

圖2 試驗(yàn)臺(tái)裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of test bench

試驗(yàn)共進(jìn)行3組，每組包含4個(gè)軸承。第1組軸承編號(hào)為1～4，第2組軸承編號(hào)為5～8，第3組軸承編號(hào)為9～12。表1為各組軸承的試驗(yàn)結(jié)果。失效軸承表示在試驗(yàn)結(jié)束時(shí)軸承已經(jīng)損壞。失效模式表示軸承的失效類型，包括內(nèi)圈故障、外圈故障及滾動(dòng)體故障。刪失軸承表示在試驗(yàn)結(jié)束時(shí)軸承沒(méi)有損壞。筆者采用3號(hào)軸承數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型，其他11組軸承數(shù)據(jù)被用來(lái)訓(xùn)練模型。

表1 試驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Experimental result

a為內(nèi)環(huán)故障；b為滾動(dòng)體故障；c為外環(huán)故障

3.2 協(xié)變量選取

根據(jù)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)特征，提取時(shí)域、頻域和時(shí)頻域的52個(gè)特征[20]。根據(jù)各參數(shù)的全周期變化過(guò)程，篩選出有效的特征參數(shù)如下。

時(shí)域特征：峭度值、峰峰值、IMF1能量、方差、平均功率、IMF2能量、絕對(duì)均值、標(biāo)準(zhǔn)差、脈沖因子、裕度因子和峭度因子。

頻域特征：峰值頻率和均方根頻率。

時(shí)頻域特征：3層小波包分解的第3頻帶歸一化小波包能量譜(E3)和第7頻帶歸一化小波包能量譜(E7)。

由于各個(gè)軸承制造、安裝和實(shí)際工況的差異，同一工作環(huán)境下同型號(hào)軸承間的特征參數(shù)存在一定的差異。1～8號(hào)軸承的峭度值特征、峰-峰值特征、均方根頻率特征和E3(3層小波包分解的第3頻帶歸一化小波包能量譜)的參數(shù)對(duì)比如如圖3所示?？梢钥闯?，1～8號(hào)滾動(dòng)軸承特征量的均值存在很大的差異。這種現(xiàn)象導(dǎo)致一些軸承在故障期時(shí)的特征參數(shù)會(huì)小于其他沒(méi)有發(fā)生故障的軸承。因此，利用原始特征值不但無(wú)法對(duì)軸承全壽命進(jìn)行分段，而且會(huì)因不同軸承之間的差異給建模帶來(lái)干擾。

圖3 1～8號(hào)軸承特征參數(shù)平均值對(duì)比Fig.3 The comparison of bearings feature parameters

為降低上述影響，筆者使用相對(duì)特征值，具體做法如下：選擇每個(gè)特征值正常期內(nèi)一段趨勢(shì)平穩(wěn)的特征值，將該段特征值的平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)值，計(jì)算原始數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)值的比值，得到相對(duì)特征值，結(jié)果如圖4所示。其中：(a)(b)為時(shí)頻域特征小波包第3，7能量譜；(c)(d)為頻域特征；(e)(f)(g)(h)(i)(j)(k)(l)(m)(n)(o)為時(shí)域特征；(p) 表示全壽命周期軸承數(shù)據(jù)采集是否間斷，間斷點(diǎn)為空數(shù)據(jù)，在此時(shí)間內(nèi)未進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。

滾動(dòng)軸承特征參數(shù)所反應(yīng)的特征狀態(tài)各不相同，很難看出哪些特征參數(shù)能較好且全面地反映軸承的狀態(tài)。因此，在上述特征分析的基礎(chǔ)上提取有用且全面的軸承特征尤為重要，但是選取過(guò)多的特征量作為協(xié)變量會(huì)給建模帶來(lái)困難。筆者利用主元分析達(dá)到選取有效特征量的目的。用PCA分別對(duì)相對(duì)特征參數(shù)和原始特征參數(shù)進(jìn)行降維，結(jié)果如表2所示。由于滾動(dòng)軸承制造、安裝和工況差異引起數(shù)據(jù)離散，故直接對(duì)原特征集降維的效果遠(yuǎn)低于對(duì)相對(duì)特征集的分析效果。相對(duì)高維特征集PCA降維之后，到第2主元時(shí)貢獻(xiàn)率已達(dá)到96.57%，因此筆者選擇前二主元作為ILRM的協(xié)變量。

表2主元分析結(jié)果

Tab.2TheresultofPCA

貢獻(xiàn)率/%第1主元第2主元第3主元特征值86．6789．5393．69相對(duì)特征值91．1796．5797．81

為觀察主元分析的效果，把相對(duì)高維訓(xùn)練集投影到二維空間上，結(jié)果如圖5所示。從第1主元可以看出,正常期、 早期故障、 中期故障、嚴(yán)重故障[13]從小到大依次排列，明顯反映軸承的退化趨勢(shì)。其中，恢復(fù)期在第1主元上處于正常期和中期故障之間，原因是故障裂紋被磨平，一些故障特征的特征值相對(duì)早期故障減小的緣故，但恢復(fù)期的故障相對(duì)早期故障較為嚴(yán)重，因此軸承可靠性評(píng)估應(yīng)該注意該時(shí)期，防止出現(xiàn)誤判從而干擾制定維修計(jì)劃。從第2主元可以看出，早期故障相對(duì)其他故障較高，主要是以峭度值為主要特征的特征量在故障初期升高的原因。

圖4 滾動(dòng)軸承全壽命相對(duì)特征值Fig.4 Relative characteristics of whole lifetime

圖5 第1,2主元滾動(dòng)軸承狀態(tài)圖Fig.5 The rolling bearing state of 1,2 principal components

綜上所述，主元特征量能準(zhǔn)確包含滾動(dòng)軸承劣化趨勢(shì)的有效信息，不但能夠反映軸承的退化趨勢(shì)，而且把維數(shù)從15維降到2維，解決了模型有效協(xié)變量選取和模型參數(shù)估計(jì)困難的問(wèn)題。

3.3 可靠性評(píng)估

為了驗(yàn)證算法的有效性，用Logistic回歸模型可靠性評(píng)估結(jié)果和本研究算法可靠性評(píng)估結(jié)果進(jìn)行比較。用極大似然估計(jì)方法根據(jù)式(3)和式(9)估計(jì)Logistic回歸模型和ILRM的參數(shù)，如表3所示。

將第1和第2主元帶入ILRM和Logistic回歸模型，分別求出全壽命可靠度如圖6，7所示。

表3 模型參數(shù)估計(jì)Tab.3 Model parameters

圖6 ILRM可靠度曲線Fig.6 Reliability curve of improved Logistic regression model

圖7 Logistic回歸模型可靠度曲線Fig.7 Reliability curve of Logistic regression model

由圖6，7可知，筆者提出算法的可靠度曲線能夠反映軸承的退化趨勢(shì)。在正常時(shí)期，ILRM的可靠度曲線開始下降，這和隨著工作時(shí)間的增加軸承可靠度降低的現(xiàn)場(chǎng)情況相一致；Logistics回歸模型的可靠度曲線沒(méi)有下降趨勢(shì)并且有較大的波動(dòng)，這違背了實(shí)際工況。在恢復(fù)期，由于早期故障的裂紋被磨平峭度值、峰值等特征的幅值降低，造成Logistic回歸模型的可靠度曲線出現(xiàn)上升的趨勢(shì)[18]，可靠度超過(guò)了早期故障，這不符合滾動(dòng)軸承的實(shí)際工況，給制定預(yù)防性維修計(jì)劃造成干擾。ILRM改善了以上不足，可靠度曲線在恢復(fù)期繼續(xù)下降，這與滾動(dòng)軸承的實(shí)際工況相吻合。在故障的中期和后期，ILRM可靠度曲線波動(dòng)較小，可靠度按照故障階段順序依次下降，而Logistic回歸模型可靠度曲線波動(dòng)較大，且嚴(yán)重故障時(shí)期一些點(diǎn)的可靠度高于中期故障。由于波動(dòng)的存在圖7中早期故障的一些時(shí)間點(diǎn)的可靠度比恢復(fù)期和中期故障的可靠度還要小，這不符合滾動(dòng)軸承的實(shí)際工況，會(huì)給預(yù)測(cè)性維修帶來(lái)干擾。這是由于ILRM通過(guò)PCA選取了更為全面的反映滾動(dòng)軸承劣化趨勢(shì)的特征量、有效的對(duì)原模型進(jìn)行優(yōu)化以及消除了軸承個(gè)體差異的影響，從而使可靠度曲線與實(shí)際工況更為吻合。ILRM通過(guò)式(5)～(7)降低了滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的隨機(jī)波動(dòng)，把軸承的退化趨勢(shì)引入到模型中，提高了模型可靠性評(píng)估的精度。

4 結(jié) 論

1) 相對(duì)多特征的主元分析方法降低了軸承制造、安裝和實(shí)際工況差異產(chǎn)生的不同軸承個(gè)體之間的差異的影響，可以選出有效的協(xié)變量，避免傳統(tǒng)協(xié)變量選取方法帶來(lái)的局限性，優(yōu)化了Logistic回歸模型協(xié)變量選擇方法。

2) ILRM解決了Logistic回歸模型僅考慮當(dāng)前時(shí)刻特征量不能兼顧軸承的劣化趨勢(shì)的問(wèn)題，可以很好地適應(yīng)振動(dòng)信號(hào)的隨機(jī)波動(dòng)，降低因振動(dòng)信號(hào)波動(dòng)對(duì)可靠性評(píng)估結(jié)果產(chǎn)生的影響。

3) 該方法適用性強(qiáng)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)備振動(dòng)數(shù)據(jù)樣本建立ILRM進(jìn)行可靠度評(píng)估，為制定維修計(jì)劃提供有力支持。

[1] 梅宏斌. 滾動(dòng)軸承振動(dòng)監(jiān)測(cè)與診斷-理論·方法·系統(tǒng)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1996:1-6.

[2] 盛兆順，尹琦嶺. 設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷技術(shù)及應(yīng)用[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003:224-226.

[3] 丁鋒，何正嘉，訾艷陽(yáng)，等. 基于設(shè)備狀態(tài)振動(dòng)特征的比例故障率模型可靠性評(píng)估[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45(12)：89-94.

Ding Feng, He Zhengjia, Zi Yanyang, et al. Reliability evaluation of proportional failure rate model based on equipment state vibration characteristics[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009,45(12):89-94. (in chinese)

[4] O′Connor P D T. Commentary: reliability-past, present, and future[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2005,54 (1):3-10.

[5] Saranga H, Knezevic J. Reliability prediction for condition-based maintained systems[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2001,71(2):127-130.

[6] Jardine A K S, Line D, Banjevic D. A review on machinery diagnostics and implementing condition-based maintenance[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2006,20(7):1483-1510.

[7] 孟光，尤明懿. 基于狀態(tài)監(jiān)測(cè)的設(shè)備壽命預(yù)測(cè)與預(yù)防維護(hù)規(guī)劃研究進(jìn)展[J]. 振動(dòng)與沖擊，2011,30(8):1-11.

Meng Guang, You Mingyi. Research progress of equipment life prediction and preventive maintenance planning based on state monitoring[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(8): 1-11. (in Chinese)

[8] Ali J B, Chebel-Morello B, Saidi L, et al. Accurate bearing remaining useful life prediction based on Weibull distribution and artificial neural network[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2015,56-57:150-172.

[9] Zhang Qing, Hua Cheng, Xu Guanghua. A mixture Weibull proportional hazard model for mechanical system failure prediction utilizing lifetime and monitoring data[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2014,43(1-2):103-112.

[10] Caesarendra W, Widodo A, Yang B S. Application of relevance vector machine and logistic regression for machine degradation assessment[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2010,24(4):1161-1171.

[11] Tran V T, Hong T P, Yang B S, et al. Machine performance degradation assessment and remaining useful life prediction using proportional hazard model and support vector machine[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2012, 32(4):320-330.

[12] 何曉群. 實(shí)用回歸分析[M].北京：高等教育出版社，2008:219-230.

[13] 汪寅虎. 基于狀態(tài)監(jiān)測(cè)的旋轉(zhuǎn)部件可靠性評(píng)估方法研究[D]. 大連: 大連理工大學(xué)，2014.

[14] Liao Haitao, Zhao Wenbiao, Guo Huairui. Predicting remaining useful life of an individual unit using proportional hazards model and logistic regression model[J]. Reliability and Maintainability Symposium, IEEE Transactions on, 2006, 127: 132.

[15] Chen Baojia, Chen Xuefeng, Li Bing, et al. Reliability estimation for cutting tools based on logistic regression model using vibration signals[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011, 25(25): 2526-2537.

[16] Yan J, Lee J. Degradation assessment and fault modes classification using logistic regression, Transactions of the ASME[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2005, 127 (4): 912-914.

[17] Cao Xiangang, Jiang Pingyu, Zhou Guanghui. Facility health maintenance through SVR-driven degradation prediction[J]. International Journal of Materials and Product Technology, 2008, 33 (1): 185-193.

[18] Qiu Hai, Lee J, Lin Jing, et al. Wavelet filter-based weak signature detection method and its application on rolling element bearing prognostics[J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 289(4-5):1066-1090.

[19] Takens F. Detecting strange attractors in turbulence dynamical systems and turbulence[J]. Dynamical Systems and Turbulence, 1981, 898: 365-381.

[20] 孫建. 滾動(dòng)軸承振動(dòng)故障特征提取與壽命預(yù)測(cè)研究[D]. 大連: 大連理工大學(xué)，2015.