朱 銳， 杭曉晨， 姜 東,3， 費(fèi)慶國， 靳文冰

(1.東南大學(xué)空天機(jī)械動(dòng)力學(xué)研究所 南京，211189) (2.東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 南京，210096)(3.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 南京，210037) (4.國家汽車質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心 襄陽，441001)

引 言

結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別是動(dòng)力學(xué)的核心內(nèi)容之一，可以為動(dòng)響應(yīng)預(yù)示、故障診斷、安全性評(píng)估和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等提供參考。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，模態(tài)參數(shù)識(shí)別理論體系已經(jīng)較為成熟，廣泛應(yīng)用于航空、航天、土木和機(jī)械等工程領(lǐng)域。模態(tài)參數(shù)識(shí)別與定階問題在理論分析和工程應(yīng)用方面有重要意義。

特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(eigensystem realization algorithm, 簡(jiǎn)稱ERA)是多輸入多輸出的時(shí)域模態(tài)參數(shù)辨識(shí)方法。該方法最初是由Juang等[1]于1984年提出，核心是利用線性系統(tǒng)中Ho-Kalman的最小實(shí)現(xiàn)理論來識(shí)別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)。該方法便于確定模態(tài)階次，識(shí)別速度較快，同時(shí)對(duì)具有低頻、模態(tài)密集特征的結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的辨識(shí)能力。Bazan等[2]研究了特征系統(tǒng)算法中噪聲因素對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)影響。Zhang等[3]提出了自動(dòng)特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法，并將其應(yīng)用在朝天門大橋模態(tài)試驗(yàn)中。Velazquez等[4]根據(jù)線性參數(shù)時(shí)變技術(shù)改進(jìn)了特性實(shí)現(xiàn)算法，將環(huán)境振動(dòng)信號(hào)作為算法輸入，成功辨識(shí)了旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。同時(shí)，基于奇異值分解[5]的模型定階方法也是近年來國內(nèi)外學(xué)者關(guān)心的問題，一般的定階方法是從通過奇異值曲線突變特點(diǎn)的角度來考慮。易偉健等[6]提出了殘差期望值法和殘差期望比法，假設(shè)噪聲為白噪聲，根據(jù)白噪聲的均值為零的特點(diǎn)確定階次，但是該方法需多次試算來確定Hankel矩陣維數(shù)，計(jì)算量較大。周幫友等[7]提出了奇異值插值法，但未深入探討矩陣維數(shù)的確定，同時(shí)結(jié)果不夠直觀。趙學(xué)智等[8]提出了使用奇異值差分譜的概率來反映信號(hào)奇異值曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)現(xiàn)象。王樹青等[9]提出了利用奇異值的相對(duì)變換率的概念來確定系統(tǒng)的階次，該模態(tài)定階方法易受到噪聲干擾。

筆者研究基于奇異值分解的改進(jìn)的特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(improved eigensystem realization algorithm, 簡(jiǎn)稱IERA)，利用結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)信號(hào)構(gòu)造初始的Hankel矩陣，根據(jù)Cadzow算法[10]重構(gòu)新的Hankel矩陣。同時(shí)針對(duì)奇異值歸一化指標(biāo)難以確定模態(tài)階次的現(xiàn)象，采用奇異值百分比(singular value percentage，簡(jiǎn)稱SVP)反映選定階次增加對(duì)系統(tǒng)貢獻(xiàn)量，并給出了模態(tài)的定價(jià)指標(biāo)(RSVP)。通過仿真算例，研究噪聲因素對(duì)辨識(shí)的模態(tài)參數(shù)及模態(tài)階次確定的影響，最后將所提方法應(yīng)用在某三廂車排氣系統(tǒng)模態(tài)試驗(yàn)中。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 特性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法

對(duì)于有限、離散時(shí)間的線性定常系統(tǒng),其狀態(tài)方程可以表示為

其中:x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp分別為狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量;A，B，C分別為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。

利用脈沖響應(yīng)函數(shù)構(gòu)造Hankel矩陣，即

Hrs(k-1)=

(3)

其中:Y(k) ∈RL×P為脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣。

Y(k)=

(4)

其中：hij(k)為k時(shí)刻在激勵(lì)點(diǎn)j和響應(yīng)點(diǎn)i之間的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

由式(1)和(4)可得Y(k)表達(dá)式為

Y(k)=CAk-1B

(5)

將式(3)可改寫成

Hrs(k)=VrAkWs

(6)

(7)

(8)

其中：Vr∈Rrp×n為可觀測(cè)矩陣；Ws∈Rn×ms為可控矩陣。

對(duì)矩陣Hrs(0)進(jìn)行奇異值分解

Hrs(0)=PDQT

(9)

其中：P∈Rrp×n；D∈Rn×n；Q∈Rms×n。

由奇異值分解確定的階次獲得系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)

對(duì)矩陣A進(jìn)行特征值分解，求得特征值矩陣，然后求出特征向量矩陣

Ψ-1AΨ=Z

(12)

其中：Z為特征值矩陣；Ψ為特征向量矩陣

(13)

根據(jù)矩陣A的特征值與系統(tǒng)特征值ζr之間的關(guān)系確定模態(tài)頻率ωr和模態(tài)阻尼ζr分別為

1.2 改進(jìn)后算法

傳統(tǒng)特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法在模態(tài)分析過程中，基于奇異值分解后奇異值曲線的突變特點(diǎn)來確定階次，但是有時(shí)候突變并不是很明顯，特別在實(shí)際工程應(yīng)用過程中，當(dāng)噪聲污染嚴(yán)重或者模態(tài)階次過高時(shí)，大量的噪聲模態(tài)和計(jì)算模態(tài)會(huì)出現(xiàn)在穩(wěn)定圖[11]上，易出現(xiàn)虛假模態(tài)。為剔除原始數(shù)據(jù)中的噪聲[12]，在特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法的基礎(chǔ)上研究一種根據(jù)基于奇異值原理和Cadzow算法改進(jìn)的特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法。Hankel矩陣H由脈沖響應(yīng)函數(shù)構(gòu)造，包含無噪聲的數(shù)據(jù)信號(hào)和噪聲信號(hào)，用奇異值分解進(jìn)行去噪。

(17)

(18)

(19)

分析流程如圖1所示。通過流程圖可以看出，改進(jìn)后的算法較傳統(tǒng)的ERA多進(jìn)行了一次奇異值分解并進(jìn)行Hankel矩陣重構(gòu)。為了保證第1次奇異值分解模態(tài)的定階包含真實(shí)的階次,l1可適當(dāng)取值稍大同時(shí)滿足l1≥l2。

圖1 改進(jìn)ERA流程圖Fig.1 Flowchart of improved ERA

1.3 模態(tài)定階：奇異值百分比

利用特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，需要確定模態(tài)階次[14]。如果選用的階次低于系統(tǒng)真實(shí)的模態(tài)階次，就有可能遺漏真實(shí)模態(tài)；如果選用的階次高于系統(tǒng)真實(shí)的模態(tài)階次，則識(shí)別結(jié)果中會(huì)呈現(xiàn)較多的虛假模態(tài)，對(duì)真實(shí)模態(tài)造成干擾。針對(duì)傳統(tǒng)奇異值曲線可能出現(xiàn)的突變不明顯的特點(diǎn)，以及隨著階次的增加曲線趨向水平漸近線的現(xiàn)象，筆者提出一種奇異值指標(biāo)——奇異值百分比，能有效地反映所取模態(tài)階次在系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)中的比重，進(jìn)而有效確定模態(tài)的階次

(20)

從奇異值所占百分比的角度考慮，R為計(jì)算矩陣維數(shù)，j為選定的階次，通過百分比反映選定階次增加對(duì)系統(tǒng)貢獻(xiàn)量，該指標(biāo)能有效反應(yīng)選定階次在結(jié)構(gòu)中比重。根據(jù)奇異值百分比曲線的特點(diǎn)，先確定一個(gè)最小預(yù)估值，再利用奇異值百分比相鄰增量的比值變化的特點(diǎn)作為模態(tài)的定階指標(biāo)，公式為

(21)

其中:ΔPj+1,j表示為Pj+1-Pj。

因?yàn)槠娈愔蛋俜直确从乘x階次在模態(tài)參數(shù)中的比重，相鄰增量比值會(huì)在真實(shí)模型階次附近出現(xiàn)巨大波動(dòng)。這是因?yàn)檎鎸?shí)模態(tài)以后階次是噪聲成分，其增量在同一量級(jí)上，模型的定階指標(biāo)(RSVP)將趨于平緩，接近為1，而在真實(shí)模態(tài)處由于增量的量級(jí)不同，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)最小值，在曲線將出現(xiàn)最低處即為模態(tài)階次。其優(yōu)點(diǎn)是針對(duì)受噪聲影響奇異值突變不明顯、不易確定階次的現(xiàn)象，通過定義的RSVP，可以有效反應(yīng)模態(tài)階次值，提高模態(tài)的定階精度。

2 算例研究

仿真模型采用六自由度彈簧-振子系統(tǒng)，驗(yàn)證改進(jìn)方法在不同噪聲工況下的識(shí)別能力，同時(shí)也驗(yàn)證了在不同噪聲工況下采用RSVP指標(biāo)來確定模態(tài)階次的適用性,并將改進(jìn)方法應(yīng)用在某三廂車排氣系統(tǒng)模態(tài)試驗(yàn)中。

2.1 六自由度彈簧-振子模型

為了驗(yàn)證改進(jìn)型的算法識(shí)別效果的優(yōu)勢(shì)及RSVP指標(biāo)的模態(tài)定階適用性，建立如圖2所示的六自由度系統(tǒng)。m1=m6=20 kg,mi=10 kg(i=2,3,4，5)，kj=8×106kN/m,(j=1,2，…，7)。通過模態(tài)疊加法確定六階頻率，ci(i=1,2，…，7)的取值使第1階模態(tài)阻尼比為3.00%，其余模態(tài)阻尼比為1.00%，如表1所示。

圖2 六自由度彈簧-振子系統(tǒng)Fig.2 Six-DOF spring-mass system

表1 系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)Tab.1 System modal parameters

圖3 脈沖響應(yīng)函數(shù)Fig.3 Impulse response function

圖4 5%白噪聲Fig.4 5% white noise simulation

圖5 六自由系統(tǒng)穩(wěn)定圖比較Fig.5 Comparison of two stability diagrams of six-DoF system

在質(zhì)量塊m4上施加單位脈沖激勵(lì)，在mi(i=1,2,…，6)上采集振動(dòng)位移響應(yīng)。模型的分析頻率f=300 Hz，采樣數(shù)N=6 000。以m5點(diǎn)輸出響應(yīng)為例，加入5%高斯白噪聲后信號(hào)曲線與初始曲線不易區(qū)分，圖3,4為無噪聲信號(hào)脈沖響應(yīng)函數(shù)(impulse response function，簡(jiǎn)稱IFR)曲線及5%的高斯白噪聲曲線。采用傳統(tǒng)ERA及改進(jìn)后算法對(duì)含有5%噪聲FRF信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。圖5為兩種辨識(shí)算法的穩(wěn)定圖。曲線為5%噪聲下FRF點(diǎn)表示取不同階次時(shí)識(shí)別的頻率值，點(diǎn)的顏色反映辨識(shí)的阻尼比與理論值的誤差。分析可知，改進(jìn)后算法比傳統(tǒng)ERA的穩(wěn)定圖更加簡(jiǎn)潔，能有效剔除虛假模態(tài)，可直觀看出改進(jìn)后算法的辨識(shí)阻尼精度更高。

實(shí)心點(diǎn)表示歸一化奇異值；空心點(diǎn)表示奇異值百分比圖6 不同噪聲情況下彈簧-振子系統(tǒng)奇異值曲線及百分比Fig.6 Normalized singular values and SVP of spring-mass system under different noise situations

筆者研究5種不同工況下，無噪聲以及不同噪聲情況下(5%，10%，15%，20%)的模態(tài)辨識(shí)結(jié)果。給出了不同工況下Hankel矩陣奇異值歸一化及奇異值百分比，如圖6所示。由理論解可知，六自由度系統(tǒng)奇異值定階指標(biāo)應(yīng)為12，在無噪聲情況下，奇異值指標(biāo)在階次為12發(fā)生明顯突變，此時(shí)奇異值百分比接近為100%，與理論相符。虛線框?yàn)橥蛔儏^(qū)域，隨著噪聲不斷增加，突變不斷減緩，而百分比不斷減低，但在階次12時(shí)，不同工況下百分比仍大于80%。此時(shí)，在噪聲情況下難以根據(jù)奇異值突變的特點(diǎn)確定模態(tài)的階次。給出了模型在4種噪聲工況下RSVP值的變換曲線，如圖7所示。可以看出，4種不同噪聲工況下模態(tài)定階指標(biāo)(RSVP)都在階次12后出現(xiàn)最低，故系統(tǒng)的模態(tài)階次為12，與理論值相符，說明在噪聲工況下，該定階方法可以準(zhǔn)確地判定系統(tǒng)真實(shí)的模態(tài)階次。

表2和表3給出了在4種噪聲工況下(工況1,2,3,4分別為5%,10%,15%,20%噪聲工況)，傳統(tǒng)ERA和改進(jìn)后算法辨識(shí)得到的頻率與阻尼比誤差值。

由表2可以看出，傳統(tǒng)ERA在剔除虛假模態(tài)的情況下，ERA與改進(jìn)后的算法結(jié)果的頻率誤差都較小。表3反映兩種算法在不同工況下阻尼比誤差。分析可知，高頻段的阻尼辨識(shí)誤差相對(duì)較大，阻尼比受噪聲的干擾較大。一般表現(xiàn)隨著噪聲的增加，阻尼辨識(shí)誤差增大。同時(shí)，改進(jìn)后的算法比傳統(tǒng)ERA辨識(shí)阻尼比誤差較小，識(shí)別精度有顯著提高。

采用六自由度系統(tǒng)，通過模態(tài)疊加法，ci(i=1,2,…，7)的取值使第1階模態(tài)阻尼比為0.30%，其余模態(tài)阻尼比均為0.20%。仍以m5點(diǎn)輸出響應(yīng)為例，加入5%噪聲信號(hào)。采用傳統(tǒng)ERA及改進(jìn)后算法對(duì)含有5%噪聲FRF信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，二種辨識(shí)算法的穩(wěn)定圖如圖8所示。曲線為5%噪聲下FRF通過穩(wěn)定圖結(jié)果對(duì)比。分析可知，改進(jìn)后算法比傳統(tǒng)ERA的穩(wěn)定圖更簡(jiǎn)潔，能有效剔除虛假模態(tài)。改進(jìn)后算法的辨識(shí)阻尼比與理論值的誤差較小，說明阻尼比識(shí)別精度更高。

圖7 不同噪聲情況下模態(tài)階次指標(biāo)Fig.7 Mode order indicators under different noise situations

表2 模態(tài)頻率辨識(shí)結(jié)果誤差Tab.2 Error of Identified modal frequencies

表3 模態(tài)阻尼比識(shí)別誤差Tab.3 Error of Identified modal damping ratio

圖8 5%噪聲下穩(wěn)定圖比較Fig.8 Comparison of two stability diagrams with 5% noise

該工況下Hankel矩陣奇異值歸一化及奇異值百分比如圖9所示。RSVP值的變換曲線如圖10所示?？梢钥闯觯摴r下模態(tài)定階指標(biāo)(RSVP)在階次12后出現(xiàn)最低，故系統(tǒng)的模態(tài)階次為12，與理論值相符，說明在結(jié)構(gòu)呈小阻尼特性下，該定階方法仍能準(zhǔn)確的判定系統(tǒng)真實(shí)的模態(tài)階次。傳統(tǒng)ERA已改進(jìn)后算法辨識(shí)結(jié)果，如表4所示。分析可知，傳統(tǒng)ERA在剔除虛假模態(tài)的情況下，針對(duì)小阻尼特性結(jié)構(gòu)的情況，ERA與改進(jìn)后的算法結(jié)果的頻率誤差都較小。同時(shí)，改進(jìn)后的算法比傳統(tǒng)ERA辨識(shí)阻尼比誤差較小，識(shí)別精度更高。

圖9 5%噪聲下奇異值及百分比Fig.9 Normalized singular values and SVP with 5% noise

圖10 5%噪聲下模態(tài)定階指標(biāo)Fig.10 Mode order indicators with 5% noise

2.2 某三廂車排氣系統(tǒng)模態(tài)試驗(yàn)

研究某三廂車排氣系統(tǒng)，主要由前消聲器、后消聲器兩部分組成，如圖11所示。將模型用彈性繩懸掛以模擬自由—自由邊界條件。模態(tài)試驗(yàn)的激勵(lì)控制、響應(yīng)測(cè)量、數(shù)據(jù)處理和模態(tài)分析，都在LMS Test Lab 11B軟件下完成。

圖11 某三廂車排氣系統(tǒng)傳感器分布Fig.11 The sensor placement of a sedan car exhaust system

圖12 某三廂車排氣系統(tǒng)物理模型Fig.12 Physical model of a sedan car exhaust system

根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的方法和經(jīng)驗(yàn)選取傳感器安裝位置，采取單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)測(cè)量移動(dòng)傳感器固定錘擊點(diǎn)的測(cè)量方式，選取了21個(gè)測(cè)點(diǎn)作為三向傳感器的安裝位置，以編號(hào)20點(diǎn)作為激勵(lì)點(diǎn)，z方向進(jìn)行敲擊，如圖12所示。利用LMS系統(tǒng)測(cè)得結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，取14點(diǎn)信號(hào)為例，分別給出兩種辨識(shí)算法的穩(wěn)定圖，如圖13所示。

表4 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.4 Identification results of modal parameters

圖13 排氣系統(tǒng)穩(wěn)定圖比較Fig.13 Comparison of two stability diagrams of a exhaust system

圖14 排氣系統(tǒng)奇異值及百分比Fig.14 Normalized singular values and SVP of a exhaust system

分析可知，改進(jìn)后算法比傳統(tǒng)ERA穩(wěn)定圖更加簡(jiǎn)潔，可以有效剔除虛假模態(tài)，便于確定模態(tài)階次；以LMS系統(tǒng)試驗(yàn)值作為參考值，頻率點(diǎn)顏色表征識(shí)別阻尼比誤差的大小。通過對(duì)比分析，傳統(tǒng)算法識(shí)別阻尼比誤差整體范圍在10%～20%，誤差較大，而改進(jìn)后算法阻尼比誤差整體范圍在0.0%～6.0%，誤差相對(duì)較小，故改進(jìn)后的算法阻尼比誤差更小，精度更高。14點(diǎn)處歸一化奇異值分百分比曲線如圖14所示。根據(jù)奇異值百分比大于80%確定一個(gè)模態(tài)的階次預(yù)設(shè)最小值為18。奇異值模態(tài)階次指標(biāo)如圖15所示。在階次為22時(shí)指標(biāo)將要達(dá)到最小值，故系統(tǒng)的模態(tài)的階次22。同時(shí)給出了傳統(tǒng)ERA與改進(jìn)后算法辨識(shí)結(jié)果，表5為表示LMS系統(tǒng)試驗(yàn)測(cè)量值與兩種算法辨識(shí)結(jié)果。

圖15 排氣系統(tǒng)模態(tài)階次指標(biāo)Fig.15 Mode order indicators of a exhaust system

表5 模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.5 Identification results of modal parameters

3 結(jié) 論

1) 根據(jù)奇異值分解原理對(duì)特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法進(jìn)行改進(jìn)，并提出一種判定奇異值階次的指標(biāo)——奇異值百分比，根據(jù)奇異值百分比曲線的特點(diǎn)，首先確定一個(gè)最小預(yù)估值，再利用其增量比值變化的特點(diǎn)來確定模態(tài)的階次，在曲線將出現(xiàn)最低處對(duì)應(yīng)著模態(tài)真實(shí)的階次。

2) 通過仿真算法辨識(shí)驗(yàn)證了改進(jìn)后ERA的穩(wěn)定圖更加簡(jiǎn)潔，且阻尼比識(shí)別精度更高,研究了噪聲因素對(duì)辨識(shí)參數(shù)及模態(tài)階次的影響。結(jié)果表明，改進(jìn)后算法具有更強(qiáng)的抗噪能力，特別是阻尼識(shí)別精度更高，同時(shí)利用RSVP方法定階效果更好。

3) 將上述方法應(yīng)用在某三廂車排氣系統(tǒng)模態(tài)實(shí)驗(yàn)中，識(shí)別結(jié)果良好，驗(yàn)證了改進(jìn)ERA和RSVP定階方法的有效性。

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