陸昌波

【摘 要】通過(guò)對(duì)學(xué)生“旋轉(zhuǎn)”思維水平的測(cè)查、分析及思考，整體審視教材，提出幫助學(xué)生通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)變換學(xué)習(xí)，更好地提升幾何素養(yǎng)的三條建議：1.整合教材，分解難度；2.豐富素材，理解要素；3.語(yǔ)言表征，精準(zhǔn)科學(xué)。

【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)；思維水平；測(cè)查；分析；啟示

人教版教材五（下）第5單元“圖形的運(yùn)動(dòng)（三）”是小學(xué)階段最后一次以新課形式學(xué)習(xí)此領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)，具體內(nèi)容包括4個(gè)例題（圖形旋轉(zhuǎn)的含義、特點(diǎn)、把一個(gè)簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90°和解決問(wèn)題）。學(xué)生在二（下）初步感知生活中的對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，四（下）學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形，本單元內(nèi)容承上啟下：既要關(guān)注新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，用原有知識(shí)推動(dòng)“旋轉(zhuǎn)”的學(xué)習(xí)，又要為中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”的基本性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。筆者試圖通過(guò)兩次測(cè)查，收集與整理相關(guān)數(shù)據(jù)，分析與思考學(xué)生學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”的困難點(diǎn)，以便一線教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)有的放矢，有效提高學(xué)生幾何思維水平。

一、測(cè)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)與分析

（一）學(xué)生真的能結(jié)合生活實(shí)例正確判斷旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象嗎？

從上表不難看出，無(wú)論哪個(gè)年級(jí)，8個(gè)圖全部判斷正確的學(xué)生占比不高，車道出入桿誤判率最高，秋千圖誤判率第二。筆者特意請(qǐng)各個(gè)年級(jí)學(xué)生訪談（現(xiàn)以5名五年級(jí)學(xué)生回答為例）。筆者問(wèn)蕩秋千圖是不是旋轉(zhuǎn)，其中2名學(xué)生說(shuō)不是，3名學(xué)生說(shuō)是。判斷不是旋轉(zhuǎn)的學(xué)生說(shuō)：“因?yàn)槭幥锴](méi)有蕩一圈，所以不是。”判斷是的學(xué)生反駁：“這秋千可以蕩一圈的，只是圖上的人不敢蕩一圈！蕩得太高會(huì)摔下來(lái)的。”筆者指著車道出入桿圖問(wèn)：“這條桿總不能轉(zhuǎn)一圈了吧？怎么你也說(shuō)是旋轉(zhuǎn)呢？”判斷此圖不是旋轉(zhuǎn)的學(xué)生趕緊附和逼問(wèn)：“對(duì)呀對(duì)呀！你們說(shuō)理由啊！”幾位判斷是旋轉(zhuǎn)的學(xué)生說(shuō)不出理由，只是說(shuō)：“反正這就是旋轉(zhuǎn)?！卑捶断柕挠^點(diǎn)，直觀水平的學(xué)生能按照外觀從整體上識(shí)別圖形，這種識(shí)別常常依賴于具體的范例。正因?yàn)閷W(xué)生只能通過(guò)整體輪廓辨認(rèn)旋轉(zhuǎn)，而無(wú)法使用旋轉(zhuǎn)的三要素來(lái)分析蕩秋千和車道出入桿這兩幅圖，所以導(dǎo)致誤判。

（二）旋轉(zhuǎn)三要素錯(cuò)況分析：學(xué)生對(duì)哪個(gè)要素的理解感到最困難？

1.關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的調(diào)查與分析

從上表看出，除了六年級(jí)學(xué)生剛在暑假前的五（下）學(xué)過(guò)旋轉(zhuǎn)正確率最高外，其他年級(jí)能正確填0點(diǎn)的不多。筆者選幾種出錯(cuò)率高的學(xué)生個(gè)別訪談后還發(fā)現(xiàn)：填什么與學(xué)生最近學(xué)過(guò)什么有關(guān)。例如三年級(jí)填“繞15點(diǎn)”的學(xué)生說(shuō)：老師你看從秒針12到3走過(guò)15小格15秒呀（學(xué)生剛在本學(xué)期第一單元學(xué)過(guò)“秒的認(rèn)識(shí)”）。四、五年級(jí)填“繞3點(diǎn)或12點(diǎn)”的學(xué)生說(shuō)：從12走到3，我想就填12（或3）點(diǎn)鐘好了。

2.關(guān)于旋轉(zhuǎn)方向的調(diào)查與分析

旋轉(zhuǎn)方向是把握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的三要素之一，用下面的題目測(cè)試，得到了表格中的結(jié)果。

從此表可看出，學(xué)生“順時(shí)針”方向不是不知道，筆者訪談每個(gè)年級(jí)填“右”或“3”的學(xué)生，他們都能用手勢(shì)在鐘面上比畫順時(shí)針?lè)较?，只是不?huì)用“順時(shí)針”這個(gè)詞而已。語(yǔ)言是思維的外殼，由此可驗(yàn)證范希爾的觀點(diǎn)：每一個(gè)層次都有其專屬的階段性語(yǔ)言符號(hào)，在某一層次使用的語(yǔ)言符號(hào)，可能到了另一層次就必須調(diào)整為另一種語(yǔ)言符號(hào)。

3.旋轉(zhuǎn)角度的測(cè)試與分析

旋轉(zhuǎn)角度是描述旋轉(zhuǎn)重要維度，用下面的問(wèn)題測(cè)試學(xué)生，得到表格中的結(jié)果。

學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)角度的理解，除三年級(jí)空白沒(méi)填占比比填90°高外，其他年級(jí)正確率比各種錯(cuò)誤填法占比高。

從上述分析可知，旋轉(zhuǎn)三要素中旋轉(zhuǎn)角度表述學(xué)生元認(rèn)知基礎(chǔ)較好，隨年級(jí)升高穩(wěn)步增長(zhǎng)。而旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向則是從低水平開(kāi)始，經(jīng)過(guò)五（下）的教學(xué)活動(dòng)分別跳到93.71%和89.51%，似乎有點(diǎn)跳躍式發(fā)展，恰恰驗(yàn)證范希爾理論的又一個(gè)特點(diǎn)：從一個(gè)水平過(guò)渡到另一個(gè)水平不是平緩的，而是一個(gè)“跳躍”的過(guò)程，在到達(dá)新水平前，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷一個(gè)“思維的危機(jī)”。

（三）畫圖操作過(guò)程中哪里最難？

從上表可看出，學(xué)生到六年級(jí)剛開(kāi)始的時(shí)候，能正確畫圖的學(xué)生占77.62%，方向畫反的學(xué)生最多。為進(jìn)一步尋找學(xué)生畫圖操作的困難點(diǎn)，筆者在本學(xué)期對(duì)五年級(jí)兩個(gè)班的66位學(xué)生做了小范圍的調(diào)查，結(jié)果如下：

上圖顯示有20位學(xué)生（占30.3%）能把線段旋轉(zhuǎn)90°后的圖形正確畫出，而會(huì)畫三角形、長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)90°后的圖形僅占15%左右。在各種錯(cuò)誤畫法里，移動(dòng)旋轉(zhuǎn)中心而其他要素都對(duì)的有12人，占18.18%；旋轉(zhuǎn)方向畫錯(cuò)的有8人，占12.12%；還有少部分學(xué)生與軸對(duì)稱和平移畫法混淆。旋轉(zhuǎn)中心在圖形外（第三學(xué)段的要求）的正確率只有3%，每班僅1位學(xué)生。

（四）學(xué)生會(huì)表述什么是旋轉(zhuǎn)嗎？

能用三要素準(zhǔn)確描述旋轉(zhuǎn)圖形的只有六年級(jí)的15位學(xué)生，僅占10.49%。要求學(xué)生用自己的話說(shuō)說(shuō)什么是旋轉(zhuǎn)時(shí)，部分學(xué)生說(shuō)“像鐘面（門、風(fēng)車、飛機(jī)的機(jī)翼）一樣的就是旋轉(zhuǎn)”。用范希爾理論來(lái)解釋，“能畫圖，使用標(biāo)準(zhǔn)或不標(biāo)準(zhǔn)名稱描述圖形”，這依然是直觀視覺(jué)思維水平。這個(gè)問(wèn)題蘇聯(lián)學(xué)者皮什卡羅曾花4年時(shí)間調(diào)查研究過(guò)，其中有2個(gè)結(jié)論是：（1）在前五個(gè)年級(jí)中，大多數(shù)兒童都從“整體”上知覺(jué)圖形。（2）在幾何發(fā)展的第一水平，學(xué)生要停留很長(zhǎng)時(shí)間，到五年級(jí)末，只有10%到15%的學(xué)生能達(dá)到水平2，這是進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)。

二、基于測(cè)查數(shù)據(jù)的教學(xué)建議

（一）整合教材，分解難度

既然線段的旋轉(zhuǎn)承載了對(duì)旋轉(zhuǎn)要素的深化理解的作用，是后面平面圖形旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)，那么在實(shí)際教學(xué)中，像北師大版這樣設(shè)計(jì)線段旋轉(zhuǎn)的環(huán)節(jié)，是不是對(duì)突破畫圖這一難點(diǎn)更加有效呢？從測(cè)查數(shù)據(jù)中也能證明學(xué)生對(duì)畫線段繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°的圖形最容易上手。專門從旋轉(zhuǎn)圖形畫法指導(dǎo)這一課時(shí)內(nèi)容來(lái)看，讓學(xué)生從點(diǎn)、線、面的逐步旋轉(zhuǎn)，從用三角尺或三角形學(xué)具的實(shí)物旋轉(zhuǎn)再到在方格紙上畫出幾何圖形的旋轉(zhuǎn)，這樣設(shè)計(jì)拾級(jí)而上，更加有利于全體學(xué)生（特別是學(xué)困生）有效操作。

（二）豐富素材，理解要素

圖1是人教版二（下）的學(xué)習(xí)內(nèi)容，圖2是人教版五（下）的學(xué)習(xí)內(nèi)容，一對(duì)比就明白在測(cè)查中學(xué)生為什么對(duì)車道桿和秋千圖的判斷錯(cuò)誤率最高。（1）是否能轉(zhuǎn)滿360°成為學(xué)生判斷的標(biāo)準(zhǔn)。（2）學(xué)生的判斷基本來(lái)自生活經(jīng)驗(yàn)：運(yùn)動(dòng)的整體感知大于部分的感知。（3）位置的描述偏向結(jié)果的描述。二年級(jí)旋轉(zhuǎn)中所有的素材都是完整旋轉(zhuǎn)，教學(xué)重點(diǎn)在于辨別平移和旋轉(zhuǎn)，學(xué)生自然形成第一印象——旋轉(zhuǎn)必須繞一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。建議教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)多用局部旋轉(zhuǎn)圖形（如蕩秋千等），幫助學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)三要素，并領(lǐng)悟用幾何要素來(lái)分析圖形的方法。

（三）語(yǔ)言表征，精準(zhǔn)科學(xué)

尊重學(xué)生思維的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，教師的學(xué)習(xí)素材、教具選擇和課堂用語(yǔ)都要與學(xué)生的思維水平匹配，否則學(xué)生將無(wú)法理解、思考“旋轉(zhuǎn)”過(guò)程及結(jié)果。從測(cè)查中的學(xué)生三要素錯(cuò)況分析和學(xué)生自主表述什么是旋轉(zhuǎn)的思考中，再一次驗(yàn)證范希爾理論：教師應(yīng)該幫助學(xué)生把元認(rèn)知不規(guī)范語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，以促進(jìn)學(xué)生早日提升幾何思維水平。

一線數(shù)學(xué)教師最值得研究的是學(xué)生的思維水平，而有效的測(cè)查是深度琢磨學(xué)生思維水平的重要路徑。對(duì)學(xué)情的把握，不能僅憑教參的要求，也不能過(guò)分依賴教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而應(yīng)通過(guò)科學(xué)的方法，收集、分析數(shù)據(jù)并深入思考，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)學(xué)案，實(shí)施課堂教學(xué)，方能提高教學(xué)實(shí)效，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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（浙江省瑞安市塘下鎮(zhèn)鮑二村塘下實(shí)驗(yàn)小學(xué) 325204）endprint