張玢

摘要：文章重點描述了相同步在研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)集體動力學(xué)行為中的重要性，概述了基于模塊化復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相同步的判定方法，選取Logistic映像為動力學(xué)方程，詳細說明了兩種應(yīng)用廣泛的相同步判定方法，其一為方向相，其二為最小值匹配。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);模塊網(wǎng)絡(luò);同步;相同步;Logistic映像

中圖分類號：TN711.6? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1009-3044（2018）36-0183-02

Abstract： This paper investigated the development of phase synchronization in the complex networks with community structure， and emphasized the important of phase synchronization in the study of the dynamic behaviors. The local dynamics is the well-known logistic map. Phase synchronization of coupled dynamical systems defined in two ways， i.e.， the direction-phase and the minima match.

Key words： complex network; modular network;synchronization; phase synchronization; logistic map

1 概述

自然界和人類社會中的許多系統(tǒng)，都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來描述。因為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抓住了這些系統(tǒng)最基本的特征：基本單元，相互作用。其中用節(jié)點來描述基本單元，用邊來表述基本單元之間的相互作用。目前為止，研究最為廣泛的三類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型為：隨機網(wǎng)絡(luò)（ER network）[1]，小世界網(wǎng)絡(luò)（small-world network）[2]，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（scale-free network）[3]。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究過程中，首先需要明確以下定義。度：每個節(jié)點的直接鄰居總數(shù);平均路徑長度：路徑長度為路徑開始節(jié)點與終止節(jié)點之間的鏈路數(shù)，一般采用最短的路徑長度作為兩個節(jié)點間的有向路徑，平均路徑長度為所有有向路徑的平均值;聚類系數(shù)：表示一個圖形中節(jié)點聚集程度的系數(shù)，該系數(shù)可以用來衡量網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)性如何，值越大代表交互關(guān)系越大;熵：熵是從信息論中借用的一個術(shù)語，是對信息傳遞不確定的度量，因此熵是網(wǎng)絡(luò)中隨機性的比特數(shù)，熵越高，網(wǎng)絡(luò)的隨機性就越高。

對隨機網(wǎng)絡(luò)的研究由來已久，最早可追溯到20世紀50年代。隨機網(wǎng)絡(luò)有兩種典型的構(gòu)造方法，其一，在隨機選擇的節(jié)點對之間添加連邊，直到所需的鏈路數(shù)量為止（ER）;其二，從完全網(wǎng)絡(luò)出發(fā)，刪除隨機選擇的連邊，直到所需的鏈路密度為止（Gilbert）。隨機網(wǎng)絡(luò)度的概率密度分布服從泊松分布，并具有較大的平均路徑長度，較大的熵，以及較小的聚類系數(shù)，意味著較少的結(jié)構(gòu)。隨著研究的深入，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)大多數(shù)物理、化學(xué)和生物系統(tǒng)不是隨機分布的，而是具有特定的結(jié)構(gòu)。因此，對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的研究，激發(fā)了廣大研究者的興趣。20世紀末，小世界網(wǎng)絡(luò)的研究由Watts和Strogatz提出，可以通過隨機化一個規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的連邊來創(chuàng)建。小世界網(wǎng)絡(luò)處于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機網(wǎng)絡(luò)之間，促使其較隨機網(wǎng)絡(luò)或規(guī)則網(wǎng)絡(luò)更傾向于同步。小世界網(wǎng)絡(luò)度的概率密度分布服從類似泊松分布，具有高聚類系數(shù)、較短平均路徑長度和可以擴展的熵。小世界網(wǎng)絡(luò)的熵，可以低至規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的熵值，亦可高至隨機網(wǎng)絡(luò)的熵值。小世界網(wǎng)絡(luò)的突出特點是具有較高聚類系數(shù)。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是Albert和Barabasi的先驅(qū)工作，其特點是度的概率密度分布為冪律分布。冪律分布與指數(shù)分布類似，但尾部消失較慢，因此也被稱為“厚尾分布”。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是具有少量高度節(jié)點和大量低度節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，可以通過偏好連接構(gòu)造一個規(guī)范的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。例如，從3個節(jié)點開始，余下節(jié)點中每個節(jié)點通過添加確定的連邊數(shù)，附加到已經(jīng)存在的節(jié)點上而被連接到網(wǎng)絡(luò)上。后續(xù)的研究證明，許多基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)，如互聯(lián)網(wǎng)、天然氣和石油系統(tǒng)，均是無標(biāo)度的。

因此，對無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)屬性的研究，雖然對單一復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究非常深入，但是反觀實際系統(tǒng)，存在局部區(qū)域內(nèi)部相互作用密切，但是不同區(qū)域之間相互作用稀疏的情況，更為重要的是各個區(qū)域之間的相互作用模式又各不相同。例如，運輸網(wǎng)絡(luò)：飛機、鐵路、公路網(wǎng)絡(luò)[4];社會網(wǎng)絡(luò)：社交、合作、金融網(wǎng)絡(luò)[5];生物網(wǎng)絡(luò)：食物鏈、新陳代謝、蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)[6]等等。我們以社交網(wǎng)絡(luò)為例，人類的社交途徑繁多，人們在現(xiàn)實世界中的相互交往可以構(gòu)成復(fù)雜的社交網(wǎng)絡(luò)，人們通過聊天軟件的相互關(guān)注亦可構(gòu)成社交網(wǎng)絡(luò)。在社會交往活動中，可能會因興趣愛好、教育背景、生活區(qū)域的不同，形成不同的交往密切的團體。但是不同團體之間的交互，或許只需要幾個重要的中間人即可。因此，傳統(tǒng)單一的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，已經(jīng)無法滿足對實際系統(tǒng)較為真實的描述。故此，引入了具有模塊化結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，該模型的特點為屬于模塊內(nèi)部的各節(jié)點之間連接緊密，而各模塊之間的連接較為稀疏。依據(jù)各模塊之間連接方式的不同，該模型又有不同的名稱：多層網(wǎng)絡(luò)（multilayered networks），多重網(wǎng)絡(luò)（multiplex networks），模塊網(wǎng)絡(luò)（modular networks），相互依存網(wǎng)絡(luò)（interdependent networks）[7-9]等等。

對具有模塊化結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究主要分為兩個方面，其一，對模塊網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的研究。依據(jù)模塊之間的連接方式，具有模塊化結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)各不相同。比如社交網(wǎng)絡(luò)，能夠連接在同一個社交網(wǎng)絡(luò)的人群，沒有明確的等級劃分，因此，使用單層的模塊網(wǎng)絡(luò)模型就可以準確的描述人群之間的社交關(guān)系。還有很多實際系統(tǒng)所表現(xiàn)出的屬性，使用單層模塊網(wǎng)絡(luò)無法準確描述。例如，企業(yè)的人事管理網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)有明確的等級劃分，上級與下級之間有稀疏的連接關(guān)系，但同級之間又聯(lián)系緊密，而且同級之間的聯(lián)系也有親疏之分，這樣就促使多層網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的研究。其二，基于模塊網(wǎng)絡(luò)集體動力學(xué)行為的研究。模塊網(wǎng)絡(luò)僅僅是靜態(tài)的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)，但實際系統(tǒng)中不僅有靜態(tài)的拓撲結(jié)構(gòu)，還有動態(tài)的行為傳播。在社會網(wǎng)絡(luò)中的行為傳播最為熟悉，比如病毒傳播，一個攜帶傳染源的病人，會將病毒傳染給與他接觸過的人，該病毒就會通過社交網(wǎng)絡(luò)進行傳播。當(dāng)然，有時病毒只會在較小的范圍內(nèi)傳播，有時就會大規(guī)模爆發(fā)。因此，研究基于靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)行為傳播研究具有很重要的現(xiàn)實意義。

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的集體動力學(xué)行為研究的一個主要方面為同步，例如，完全同步（complete synchronization），相同步（phase synchronization）， 滯后同步（lag synchronization）， 廣義同步（generalized synchronization）[10]等。其中完全同步研究較為全面，指的是各節(jié)點的動力學(xué)行為完全一致。但是滿足完全同步的條件非常嚴格，在實際中很難滿足，而且有的完全同步對實際系統(tǒng)有負面的影響，比如社交網(wǎng)絡(luò)中集體疾病爆發(fā)，電網(wǎng)中所有電站均達到負載上限等，故我們可以研究較弱程度的同步，即為相同步。相同步的特點是節(jié)點之間相位的調(diào)整，意味著不同節(jié)點的相位之間滿足一定的關(guān)系[11]，并且節(jié)點的振幅依然保持混沌，而且不相關(guān)。通常而言，在系統(tǒng)達到完全同步之前，節(jié)點的相序會表現(xiàn)出一定的規(guī)律行為，甚至出現(xiàn)相同步。由此可見，研究相同步對系統(tǒng)完全同步之前的集體動力學(xué)行為有預(yù)判作用。此外，基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相同步的研究依然不夠成熟，尤其是基于模塊化結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究。

2 相同步的判別方法

本文研究具有N個節(jié)點的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其動力學(xué)演化方程為：

其中，xt（i）為節(jié)點i在t時刻的動力學(xué)變量，ε為耦合強度（取值范圍[0，1]），ki代表了節(jié)點i的度，Aij為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣（如果Aij=1，表明節(jié)點i與j相連，否則不相連），f（x）為動力學(xué)方程，本文的研究對象選取的是Logistic映像。

2.1 方向相判別法

參考文獻[12]中引入了方向相的判別方法。對于節(jié)點i，如果t+1時刻x的值大于t時刻x的值，表明它處于向上相位，并標(biāo)記為“+1”;反過來則表明處于向下相位，標(biāo)記為“-1”。用St（i）表示方向相，其定義如下：

基于方向相的定義，引入了[Θ]的定義，

當(dāng)[Θ=1]時，所有的節(jié)點擁有一致的方向相，即為相同步狀態(tài);當(dāng)[Θ=0]時，表明有一半的節(jié)點擁有相同的方向相。因此，我們可以使用[Θ]參量來判別相同步。

2.2 局部最小判別法

參考文獻[13]中引入ni和nj兩個參量，統(tǒng)計在時間間隔內(nèi)，時間變量xt（i）和xt（j）局部最小的次數(shù)，其中對于節(jié)點i和節(jié)點j，t=1，2，…，T。nij用來表示節(jié)點與節(jié)點在觀測時間內(nèi)同時局部最小的次數(shù)。

dij用來表示節(jié)點i和節(jié)點j之間的相距。因此，當(dāng)dij=0時，表明變量x（i）和x（j）的所有最小值都是相匹配的;當(dāng)dij=1時，表明所有的最小值都不匹配。所以，如果dij=0，表明節(jié)點i和節(jié)點j是相同步的。

3 總結(jié)

概之，具有模塊化結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型是對實際系統(tǒng)較為真實的模擬，基于該模型的相同步的研究，有助于判斷完全同步之前的集體動力學(xué)行為。其研究結(jié)果不僅能夠豐富我們對復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)的認識，同時也可以為我們改造和利用實際復(fù)雜系統(tǒng)提供有意義的理論指導(dǎo)和方法上的借鑒。

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[通聯(lián)編輯：梁書]