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(蘭州交通大學(xué)a經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院; b交通運(yùn)輸學(xué)院，蘭州 730070)

0 引言

近年來，隨著全球經(jīng)濟(jì)一體化發(fā)展和貿(mào)易改革的不斷深化，市場的需求呈現(xiàn)多元化發(fā)展趨勢，企業(yè)所面臨的內(nèi)外部環(huán)境也日趨復(fù)雜，以利益最大化為目標(biāo)的成員企業(yè)之間的競爭愈演愈烈，供應(yīng)鏈管理問題日益嚴(yán)峻。并且，隨著科學(xué)技術(shù)與人們對產(chǎn)品質(zhì)量要求的提升，企業(yè)間的競爭合作關(guān)系已經(jīng)提升到供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)階層，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)逐漸呈現(xiàn)出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特征。

在上述情況下，一切有合作關(guān)系的企業(yè)之間便可能會結(jié)成聯(lián)盟，從而加強(qiáng)企業(yè)之間的聯(lián)系，改變供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和特性。因此，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的發(fā)展既有規(guī)律性，又摻雜著隨機(jī)性，無法用標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)或是隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)來解釋供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論卻能恰當(dāng)?shù)胤从彻?yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)動態(tài)演化特征[1]。并且，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和復(fù)雜系統(tǒng)研究的深入，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展。

本文在分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)供應(yīng)鏈合作演化的國內(nèi)外研究基礎(chǔ)上，基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，分析了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)BA模型，并結(jié)合供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的特性對BA模型進(jìn)行了改進(jìn)，得到了基于供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)度值分布的網(wǎng)絡(luò)演化模型，即雙段冪律分布模型，進(jìn)而分析供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)上企業(yè)的合作演化關(guān)系，為供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)上企業(yè)的管控與優(yōu)化提供了參考資料。

1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

近年來，隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的發(fā)展和供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜化，許多國內(nèi)外研究學(xué)者從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度來剖析供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)上企業(yè)間的競爭合作關(guān)系與其發(fā)展演化規(guī)律，但該類研究仍處于起步階段。

早在1999年，Barabási等人[2]就提出了增長和擇優(yōu)連接是形成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的機(jī)制，并將連續(xù)化方法引入到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中，從而得出了著名的適用于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的BA模型。此后，基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究進(jìn)入發(fā)展高潮。在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性研究方面，2017年，范碧霞等人[3]首先對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性進(jìn)行了描述，然后剖析了復(fù)雜性產(chǎn)生的內(nèi)在機(jī)制，并認(rèn)為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論可以有效地幫助評價和管理供應(yīng)鏈。2018年，丁飛等人[4]在BA網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上引入反擇優(yōu)概率，構(gòu)建了包含節(jié)點(diǎn)進(jìn)入、退出和合作的網(wǎng)絡(luò)模型，并利用仿真驗(yàn)證了模型有效性。2005年，Venkata等人[5]利用基于演化的自組織理論方法闡述了供應(yīng)鏈的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征、節(jié)點(diǎn)成員企業(yè)與系統(tǒng)目標(biāo)之間的聯(lián)系，并通過仿真分析了供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)特性。

而在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度值分布和動態(tài)演化研究方面，Pathak[6]指出供應(yīng)鏈?zhǔn)且粋€典型的復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)，研究了供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的生長、涌現(xiàn)機(jī)制和其影響因素，從而分析供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)演化過程。2012年，葛偉等人[7]在局域世界演化模型的基礎(chǔ)上，引入節(jié)點(diǎn)相關(guān)度來作為衡量一個節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)間相近程度的指標(biāo)，定義局域世界的整體規(guī)模是動態(tài)變化的，進(jìn)而建立了供應(yīng)鏈系統(tǒng)的局域演化模型。2013年，傅培華等人[8]經(jīng)過具體分析供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)演化特性，提出了一種基于度值與連邊優(yōu)先連接的集聚性供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型。2014年，吳義生[9]基于系統(tǒng)動力學(xué)理論，構(gòu)建了低碳供應(yīng)鏈協(xié)同運(yùn)作的演化模型，并根據(jù)自組織原理分析了序參量對于低碳供應(yīng)鏈協(xié)同運(yùn)作的影響。2016年，曹文彬等人[10]將供應(yīng)鏈企業(yè)合作所帶來的邊際效益與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，然后利用節(jié)點(diǎn)度和邊際效益因素構(gòu)建了復(fù)雜供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)局部演化模型，并利用仿真進(jìn)行了模型驗(yàn)證分析。2016年，孫軍艷等人[11]從復(fù)雜自適應(yīng)系統(tǒng)角度利用Agent仿真分析了轎車供應(yīng)鏈的網(wǎng)絡(luò)特征，并對轎車供應(yīng)鏈系統(tǒng)的非線性特性、各Agent和網(wǎng)絡(luò)整體的演化規(guī)律進(jìn)行了仿真分析。2017年，于淼和馬軍海[12]從制造商與零售商層面建立了一個回收廢舊電子產(chǎn)品的閉環(huán)供應(yīng)鏈模型，運(yùn)用博弈論、混沌動力學(xué)和復(fù)雜動力學(xué)理論并結(jié)合數(shù)值實(shí)驗(yàn)得出調(diào)整參數(shù)可以對混沌進(jìn)行了有效的控制。2017年，張學(xué)龍等人[13]利用鏈路預(yù)測方法，并結(jié)合5種指標(biāo)對能源供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的連邊演化預(yù)測進(jìn)行了分析，并通過實(shí)驗(yàn)得出鏈路預(yù)測在分析供應(yīng)鏈網(wǎng)演化時比直接建立模型分析更有效。2018年，丁飛[14]基于BA網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建了一種包括節(jié)點(diǎn)進(jìn)入、退出和補(bǔ)償機(jī)制的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型，得出節(jié)點(diǎn)的度分布服從冪律分布。2018年，李柏洲等人[15]在引入基于時間度和前景理論的直覺模糊妥協(xié)評價模型基礎(chǔ)上，考慮了合作創(chuàng)新資源互補(bǔ)性，運(yùn)用場理論構(gòu)建了伙伴動態(tài)選擇的合作創(chuàng)新能力場模型。

綜上所述，目前大多數(shù)有關(guān)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的研究主要是基于控制理論、系統(tǒng)仿真和供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)機(jī)制等方面展開的，而面向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對供應(yīng)鏈管理進(jìn)行的研究還處于起步階段。因此，本文先是分析了國內(nèi)外供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化的相關(guān)研究，并基于BA模型和泊松更新過程理論建立了改進(jìn)的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型，從而以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度探究了供應(yīng)鏈企業(yè)間的合作演化關(guān)系。

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下基于雙段冪律分布的合作演化模型

以往復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)BA模型的增長機(jī)制都是假設(shè)節(jié)點(diǎn)是等時間間隔離散地進(jìn)入系統(tǒng)，但是在現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜供應(yīng)鏈網(wǎng)路中節(jié)點(diǎn)是隨機(jī)到達(dá)的。為了彌補(bǔ)上述模型存在的不足，更深入地在微觀層面中探索影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜脱莼母鞣N因素，本文引入雙段冪律分布，可以更為準(zhǔn)確描述供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)性，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)從一個不完備的狀態(tài)向一個相對理想的狀態(tài)演化過程中所呈現(xiàn)的特征，以及如何對參量進(jìn)行控制，使得供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)從無序向有序進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

2.1 雙段冪律分布

冪律分布特性在無標(biāo)度復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的各項(xiàng)研究中非常普遍，是自組織臨界系統(tǒng)在混沌邊緣，即從穩(wěn)態(tài)過渡到混沌態(tài)的一個標(biāo)志。然而在某些情況下，這樣單一的屬性不能充分地描述現(xiàn)實(shí)世界系統(tǒng)的分布規(guī)律，此尺度理論在有些領(lǐng)域是不充分的。

而在冪律分布中，把包含兩段不同冪律區(qū)域的分布稱為雙段冪律分布，其累計(jì)分布由變量K來表示，K值大于一個特定值k，如下：

(1)

其中，γ1與γ2為兩段冪律分布指數(shù)，kc為雙段冪律分布中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。這一分布特性廣泛存在于社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，如中國航空網(wǎng)的度分布、語言網(wǎng)絡(luò)、科學(xué)家合作網(wǎng)及人們的收入分布網(wǎng)絡(luò)等。非廣延統(tǒng)計(jì)理論和不同冪律函數(shù)的組合被用來解決這個問題。為了了解其內(nèi)在的機(jī)制，Reed基于幾何布朗運(yùn)動提出了一個模型，證明了這一過程耦合了指數(shù)分布的演化時間。雙帕累托(Pareto)對數(shù)正態(tài)分布盡管是對數(shù)正態(tài)的主體，但是在兩尾上均具有冪律行為。這一分布非常符合收入分布的實(shí)際數(shù)據(jù)。Dorogovtsev與Mendes提出了另一種模式旨在解釋語言網(wǎng)絡(luò)中度分布的雙段冪律特征[16]。這一模型中包含兩種機(jī)制，一種是偏好依附機(jī)制，另一種是隨著時間演化，基于已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)建立新連接。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)度分布具有兩個不同的冪指數(shù)，高尾是-1.5，低尾是-3。盡管上述兩個模型分別描述了收入分布網(wǎng)絡(luò)與語言網(wǎng)絡(luò)的兩種情況，但是都存在局限性。在語言網(wǎng)絡(luò)中，冪指數(shù)是固定不變的，因此無法解釋為何存在不同的冪指數(shù)。而Reed模型假設(shè)收入的相對增長率對于全部的人群是一樣的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不符合人們賺錢能力不同的實(shí)際情況，因此，為得到普適的模型，必須考慮適應(yīng)度的因素。

此外，有些與雙段冪律相關(guān)的工作更注重通過用一個統(tǒng)一的函數(shù)來表述這一分布，而非將兩段冪律獨(dú)立地看待。本文用一種通用的隨機(jī)模型來解釋雙段冪律分布的現(xiàn)象。該模型同時考慮了適應(yīng)度與噪聲漲落兩個方面，可以通用地描述許多現(xiàn)實(shí)世界系統(tǒng)的演化，相對經(jīng)典的冪律而言，雙段冪律分布更符合企業(yè)供應(yīng)鏈發(fā)展演化的特點(diǎn)，因此，本文基于雙段冪律分布建立了供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型。

2.2 供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型分析

在實(shí)際情況下，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的初始規(guī)模很小，各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度值較低，但供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)會隨著時間的推移在自組織規(guī)則下演化成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)供應(yīng)鏈會表現(xiàn)出顯著的復(fù)雜性和動態(tài)性。下文將進(jìn)行具體分析。

2.2.1 供應(yīng)鏈初始網(wǎng)絡(luò)模型條件及演化特征

為了更有效地表征實(shí)際供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，客觀上對初始網(wǎng)絡(luò)模型提出3個條件：

1)具有較好的增長機(jī)制；

2)原有企業(yè)節(jié)點(diǎn)退出后，與之相關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)會進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)；

3)在企業(yè)節(jié)點(diǎn)相連接時，更偏向于業(yè)務(wù)范圍廣和規(guī)模大的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)企業(yè)，即符合富者越富的正反饋現(xiàn)象，度量標(biāo)準(zhǔn)為節(jié)點(diǎn)的度重要性，如式(2)：

(2)

在初始供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)從無序向有序轉(zhuǎn)變的演化過程中，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)也由混沌狀態(tài)逐漸向協(xié)同穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變，并且考慮了成員企業(yè)間業(yè)務(wù)關(guān)系隨外部運(yùn)作環(huán)境及時間的變化。在外部環(huán)境和內(nèi)部關(guān)系相互作用下，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)會逐漸凝聚成員企業(yè)及它們之間相互作用的變化，從而涌現(xiàn)到新的演化階段。在整個網(wǎng)絡(luò)演化過程中體現(xiàn)出以下3點(diǎn)特征：一是擇優(yōu)連接機(jī)制，加入供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的新企業(yè)在選擇建立業(yè)務(wù)的網(wǎng)絡(luò)既有企業(yè)時，會優(yōu)先挑選網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)企業(yè)中規(guī)模大、度值高的節(jié)點(diǎn)。二是局域選擇機(jī)制，新加入的企業(yè)節(jié)點(diǎn)只能選擇與其鄰接的上游供應(yīng)商企業(yè)和下游制造商企業(yè)相連接，故在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化期間，需要先確定企業(yè)類型，再在鄰接范圍內(nèi)擇選合適的企業(yè)進(jìn)行連接。三是偏增長性機(jī)制，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)在演化過程中，既有新企業(yè)建立的新關(guān)系，又產(chǎn)生舊企業(yè)退出截?cái)嗟呐f聯(lián)系，演化過程為偏增長性。

2.2.2 供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化理論及演化步驟

在初始供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)隨時間動態(tài)演變的過程中，遵循自組織理論和人類動力學(xué)理論。自組織是一個系統(tǒng)通過與外界交換物質(zhì)、能力和信息來降低自身的熵值，受內(nèi)在機(jī)制影響，自行地從簡單向復(fù)雜、從粗糙向細(xì)致方向發(fā)展演化，不斷提高自己結(jié)構(gòu)的有序度和自適應(yīng)、自發(fā)展功能的過程[17]。而人類動力學(xué)理論認(rèn)為人們在處理各類事物時，通常對各類事物的優(yōu)先級進(jìn)行劃分，首先處理高優(yōu)先級的事物，這種行為模式是導(dǎo)致冪律分布的重要原因[18]。

供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化的具體步驟如下：

1)根據(jù)實(shí)際情況，分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點(diǎn)以及連邊數(shù)的增長規(guī)律，求解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中度分布的相關(guān)參數(shù)，冪指數(shù)γ1、γ2、轉(zhuǎn)折點(diǎn)kc；

2)新的變量以初始值1按照指數(shù)分布加入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，賦予的適應(yīng)度則以正態(tài)分布取值，然后每一個變量按照Nt∝ecnt進(jìn)行增加，從而得到網(wǎng)絡(luò)演化過程中的適應(yīng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；

3)求解漲落的標(biāo)準(zhǔn)差以及噪聲與適應(yīng)度相對作用的參數(shù)ρ，并得到不同參數(shù)ρ下的累計(jì)分布；

4)由步驟2)、步驟3)得出的服從正態(tài)分布的適應(yīng)度和漲落標(biāo)準(zhǔn)差，與演化時間有關(guān)的斜率eat，求解微分，得到雙段冪律分布模型的準(zhǔn)確形式；

5)用步驟4)中的模型準(zhǔn)確形式模擬仿真度分布，得出兩段的冪指數(shù)γ1、γ2，與步驟1)中的參數(shù)進(jìn)行對比。

2.2.3 供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型參數(shù)解析

本文擬建立供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型來對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的演化過程進(jìn)行描述，并通過控制一些相關(guān)的關(guān)鍵指標(biāo)參數(shù)，如冪指數(shù)γ、適應(yīng)度η和影響程度參數(shù)ρ等，來更加準(zhǔn)確地對演化過程進(jìn)行控制，對演化結(jié)果進(jìn)行解釋。

由前文可知，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型服從冪律分布，但其冪指數(shù)γ在不同演化時期會有所不同。當(dāng)γ增大時，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)規(guī)模分布概率減小，說明網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度值較大的企業(yè)數(shù)量在減小，同時企業(yè)規(guī)模的差異縮小。而當(dāng)γ減小時，說明網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度值較大的企業(yè)數(shù)量增多，網(wǎng)絡(luò)企業(yè)節(jié)點(diǎn)度值分布更加離散。但冪指數(shù)γ的值不會無限減小，受適應(yīng)度η和外部因素的制約，企業(yè)節(jié)點(diǎn)度值也不會無限擴(kuò)大，冪指數(shù)γ最終會收斂于某一個大于0的常數(shù)，達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布。其中，適應(yīng)度η代表自身一些屬性，在供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中適應(yīng)度可以理解為節(jié)點(diǎn)企業(yè)的資本、機(jī)構(gòu)等級、規(guī)模和所屬行業(yè)等。而參數(shù)ρ代表了主導(dǎo)因素對演化影響的程度大小，若演化過程完全被主導(dǎo)因素所控制，則ρ→1，網(wǎng)絡(luò)演化的過程是一個確定的模式；若沒有明顯的主導(dǎo)因素，則ρ→0，演化過程則呈現(xiàn)一個隨機(jī)的狀態(tài)。

下面將主要從適應(yīng)度耦合與噪聲漲落動力學(xué)兩個方面詳細(xì)闡述供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化模型。

3 模型描述

3.1 適應(yīng)度耦合分析

3.1.1 模型條件設(shè)定

為了更為清楚地描述供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)性和靈活性，本文假設(shè)kit,t1為第i個變量在t時刻的值，并在t1時刻進(jìn)入系統(tǒng)，定義N(t)為在t時刻系統(tǒng)中變量的總數(shù)。在自組織復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，由于偏好依附機(jī)制的影響，ki的增長率與其自身的值成一定的比例關(guān)系，且與自身的一些屬性有關(guān)，本文將這些屬性統(tǒng)稱為適應(yīng)度ηi，除此之外，度值還可能被其他一些隨時間變化的因素所影響，但首先考慮簡單的情況，即這些因素以常數(shù)來表示。kit,t1的演化方程為：

(3)

假設(shè)kit1,t1=1，則kit,t1=eηi(t-t1)，表明復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度值呈指數(shù)增長，這直接約束了系統(tǒng)中變量總數(shù)N(t)的形式，如系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)度的演化。因此，指數(shù)增長的度值要求N(t)也是指數(shù)增長的(甚至增長更快)，即假設(shè)變量總數(shù)按指數(shù)增長：

Nt∝ecnt

(4)

正態(tài)分布的適應(yīng)度對于該網(wǎng)絡(luò)演化模型來說至關(guān)重要，它是出現(xiàn)雙段冪律現(xiàn)象的必要條件。當(dāng)在一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，為適應(yīng)度選擇一個特定的參數(shù)時，系統(tǒng)中變量總數(shù)N(t)也會出現(xiàn)相同的問題。由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度值不能大于n(t)-1，在網(wǎng)絡(luò)不斷演化過程中適應(yīng)度應(yīng)當(dāng)限制其均值μα不能遠(yuǎn)大于Cn，而標(biāo)準(zhǔn)差ση應(yīng)當(dāng)在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)。

3.1.2 供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)雙段冪律分布模型及分析

基于以上模型條件設(shè)定，下面對復(fù)雜供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的雙段冪律分布模型進(jìn)行詳細(xì)剖析。由方程Pkit,t1dkit,t1=fηidηi可知kit,t1的分布符合對數(shù)正態(tài)分布。由于變量以指數(shù)增長的速度加入進(jìn)來，變量的生命時間定義為T=t-t1，符合指數(shù)分布。因此認(rèn)為ki是一個結(jié)合于指數(shù)分布T的對數(shù)正態(tài)分布ki(T)。這樣該分布可以由式(5)來表示：

(5)

圖1 ki的累計(jì)度分布Fig.1 The accumulative degree distribution of ki

圖2 在tc不同的情況下ki的累計(jì)度分布Fig.2 The accumulative degree distribution of ki under different circumstances of tc

其中，tc是考慮p(k)的時刻。如果標(biāo)準(zhǔn)差趨于0，則式(5)可以改寫成：

(6)

其中，當(dāng)k≤0時，ξk=1；當(dāng)k>0時，ξk=0。

下面需要利用數(shù)值試驗(yàn)，來討論標(biāo)準(zhǔn)差在有限的范圍內(nèi)該模型的分布特征。對于有限的標(biāo)準(zhǔn)差大于0，實(shí)驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)步驟如下：在每一步中，新的變量以初始值1按指數(shù)分布加入系統(tǒng)，賦予的適應(yīng)度則以正態(tài)分布取值；然后，每一個變量按照式(4)中的關(guān)系增加。對于不同的標(biāo)準(zhǔn)差仿真累積分布，如圖1所示，其中，μη=0.15，Nt=50e0.088t，tc=30。

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差等于0時，如上文所述，分布服從冪律分布，且極值為最大值。隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增加，分布的第二段衰減的越來越慢，函數(shù)曲線的形狀與冪律分布相似。需要指出的是，轉(zhuǎn)折點(diǎn)發(fā)生在大約最大值時，此時正是標(biāo)準(zhǔn)差等于0時界限出現(xiàn)的點(diǎn)。因此，轉(zhuǎn)折點(diǎn)會隨著演化時間tc而提高，如圖2所示，進(jìn)而得到式(7)：

kc～eμηtc

(7)

首先，對雙段冪律分布的第一段進(jìn)行分析。隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增長，分布的第一段并沒有發(fā)生顯著的變化，從圖1中可以看到曲線的第一段與標(biāo)準(zhǔn)差等于0的分布發(fā)生了重疊。因此，p(k)的第一段服從同樣的冪律分布，該分布的標(biāo)準(zhǔn)差等于0，冪指數(shù)如式(8)所示：

(8)

(9)

由于ση通常比較小，不等式(9)的成立條件簡化為lnk>μη。對于任何的k>eμηtc，式(9)左邊部分從0到tc一定大于右邊部分；左邊部分正是度分布p(k)，右邊部分則大致服從一個指數(shù)與μη、ση和cn相關(guān)的冪律分布函數(shù)。因此對上述指數(shù)的一個特定組群，p(k)擁有較低的范圍。

(10)

令β趨于0，則有

(11)

當(dāng)0<μ≤1時，式(11)也成立。當(dāng)p(k)滿足漸進(jìn)尺度不變這個條件時，可推知l(k)的上述特性。因此，l(k)僅僅控制供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)模型分布中低尾的有限范圍，并不能顯著地影響其尺度指數(shù)。當(dāng)然p(k)的第二段也服從冪律分布。更進(jìn)一步的研究表明，數(shù)值的仿真可以確定p(k)第二段的冪指數(shù)，設(shè)為γ2，而

圖3 γ2的數(shù)據(jù)仿真Fig.3 Numerical simulation of γ2

(12)

式(12)仿真結(jié)果如圖3所示。需要指出的是，當(dāng)ση→0時，λ2→∞。p(k)的第二部分自然褪變成為界限，γ2的方程同樣與cn或μη有關(guān)系。大量的仿真結(jié)果表明，γ2對參數(shù)ση的變化較之cn或μη的變化更加敏感。據(jù)此，本文提供了一個可能的模型來實(shí)現(xiàn)雙段冪律分布。

3.2 噪聲漲落的演化動力學(xué)分析

在現(xiàn)實(shí)生活中，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)隨時間進(jìn)化的過程通常包含有漲落特性，這對于其演化的動力學(xué)的描述至關(guān)重要。因此，一個通用的模型，必須能夠描述這一特性。這一通用模型可以從式(3)變化得來：

dki=ρηikidt+1-ρμηdt+σdωki

(13)

圖4 ρ不同時累計(jì)分布的仿真分析Fig.4 Simulation Analysis of cumulative distribution of ρ

經(jīng)過上述對基于雙段冪律分布的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)合作演化模型的構(gòu)建與分析，可以得出在現(xiàn)實(shí)生活中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)供應(yīng)鏈的演化主要由兩個部分構(gòu)成：一是主導(dǎo)因素，即適應(yīng)度；二是噪聲漲落。因?yàn)楣?yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的演化通常與多個因素有關(guān)，但是在模型構(gòu)建與分析中并不能將所有因素都考慮進(jìn)來，一個可行的方法是將大多數(shù)的重要因素作為適應(yīng)度來考慮，其他稍弱的因素作為噪聲漲落來考慮。而參數(shù)ρ若趨于1，則復(fù)雜系統(tǒng)是確定的模式；若趨于0，則為一個隨機(jī)的狀態(tài)。故本文所描述的模型可以較好地用來描述演化處于有序與無序狀態(tài)之間的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)供應(yīng)鏈系統(tǒng)，分析其節(jié)點(diǎn)企業(yè)之間的合作演化關(guān)系，從而更好地為宏觀供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的管理與控制提供決策支撐和材料支持。

4 供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化的實(shí)證研究

在一些中國航空網(wǎng)、科學(xué)家合作網(wǎng)、語言網(wǎng)絡(luò)等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的實(shí)證研究中，其度分布均出現(xiàn)了雙段冪律行為。在以上模型分析的前提下，本文選用中國汽車制造行業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)為研究對象，分析其復(fù)雜的動態(tài)演化過程。

汽車制造行業(yè)是重要的中游制造行業(yè)[20]，是一個資本密集型和技術(shù)密集型行業(yè)，其上游對接零部件、鋼鐵、橡膠原料企業(yè)及生產(chǎn)設(shè)備制造業(yè)等，中游為汽車整車制造企業(yè)，下游則主要對接礦山開采、公路交通運(yùn)輸、特種用途車輛等需求的企事業(yè)及用車個人等。汽車制造行業(yè)的上、中、下游企業(yè)構(gòu)成一個相互聯(lián)系的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，并且由于國家市場經(jīng)濟(jì)的浮動性，導(dǎo)致汽車制造行業(yè)供應(yīng)鏈上的企業(yè)間合作關(guān)系總是處于動態(tài)變化的狀態(tài)，符合基于雙段冪律分布的合作演化模型所用來描述處于有序與無序狀態(tài)之間的現(xiàn)實(shí)復(fù)雜系統(tǒng)的應(yīng)用條件。

4.1 模型參數(shù)設(shè)定

在中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中，以成員企業(yè)作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，成員企業(yè)間的業(yè)務(wù)來往作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的連邊，節(jié)點(diǎn)的度可以定義為連接到該點(diǎn)的所有連邊數(shù)。

首先，本文在t年分析中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)上N(t)個節(jié)點(diǎn)企業(yè)。中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)按Nt∝ecnt增長，且Cn≈0.079，這與前文供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)模型中提及的節(jié)點(diǎn)個數(shù)以指數(shù)規(guī)律增長是相符合的。連邊數(shù)M(t)同樣是以指數(shù)規(guī)律不斷增長的，且Mt∝ecmt,而Cm≈0.116。由于現(xiàn)實(shí)中完整汽車供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)信息的難以獲得性，本文選取具有代表性的部分企業(yè)進(jìn)行探討，得到中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)共包含296個節(jié)點(diǎn)企業(yè)和2 377條連邊數(shù)。

另外，基于2012年至2017年中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際情況，本文還分析了汽車行業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的度分布的相關(guān)參數(shù)，結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，該供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)分布的第一段冪指數(shù)γ1數(shù)值穩(wěn)定在大約0.47，而分布的第二段的冪指數(shù)γ2則在[1.8,2.5]范圍內(nèi)波動，這與前文所述相符。而參數(shù)γ1的穩(wěn)定則說明了模型中提到的γ1與噪聲漲落無關(guān)。轉(zhuǎn)折點(diǎn)Kc展示了一個遞增的趨勢，從15增長到26，這也與模型中提及的轉(zhuǎn)折點(diǎn)隨著演化時間增加是一致的。

表1 累積度分布中冪指數(shù)γ1與γ2和轉(zhuǎn)折點(diǎn)KcTab.1 Power exponent γ1 and γ2 and turning point Kc in cumulation degree distribution

4.2 模型運(yùn)行過程和結(jié)果的分析說明

在本文中，中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化的研究還涉及企業(yè)凈利潤、凈資產(chǎn)收益率與度值之間的相互關(guān)系，根據(jù)前文模型的描述，將企業(yè)凈利潤和凈資產(chǎn)收益率作為對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的適應(yīng)度來進(jìn)行考慮。度的演化可以通過連續(xù)幾年的度比值的對數(shù)直接進(jìn)行考量，但是這種方法既不能體現(xiàn)出適應(yīng)度的作用，也不能給出相應(yīng)參數(shù)的有用信息。因此本文收集到汽車制造行業(yè)大約296家公司近五年的凈利潤以及凈資產(chǎn)收益率，并得到中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)2014年和2017年度分布與企業(yè)凈利潤的關(guān)系圖以及2014年和2017年度分布與企業(yè)凈資產(chǎn)收益率的關(guān)系圖，如圖5所示。

圖5 2014年與2017年度分布與凈利潤、凈資產(chǎn)收益率的關(guān)系Fig.5 The relationship between distribution and net profit and return on net assets in 2014 and 2017

其中，Ri(t)表示所有具有相同度值k的節(jié)點(diǎn)企業(yè)的凈利潤平均值，Pj(t)表示所有具有相同度值k的節(jié)點(diǎn)企業(yè)的凈資產(chǎn)收益率平均值。為了方便觀察，圖中刻意拉大了2014年和2017年數(shù)據(jù)的距離(其中Ri(2017)數(shù)值在原始數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上增加了1個單位；Pi(2017)數(shù)值在原始數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上增加了10個單位)。從圖5可以看到，噪聲漲落明顯存在，但是度分布在對應(yīng)企業(yè)凈利潤和凈資產(chǎn)收益率的情況下均形成了一個線性函數(shù)。自2014年以來，中國汽車制造業(yè)企業(yè)凈利潤和凈資產(chǎn)收益率與度演化的相互關(guān)系持續(xù)了至少4年(2014—2017年)，隨著汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中企業(yè)凈利潤和凈資產(chǎn)收益率的增加，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中度值越小的汽車制造企業(yè)存在的概率變得越小。

考慮到汽車制造供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)隨著時間不斷演化，企業(yè)成員的凈利潤和度值之間的相互關(guān)系用式(14)進(jìn)行描述：

(14)

在式(14)中，Rit為成員企業(yè)i在年份t的企業(yè)凈利潤值，且Rit呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律增長，Rit∝eλit，λi服從正態(tài)分布，均值為0.18，標(biāo)準(zhǔn)差為0.02。Rit為成員企業(yè)i在時間t的企業(yè)凈資產(chǎn)收益率，且Pit呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律增長，Pit∝eλit，λi服從正態(tài)分布，均值為0.16，標(biāo)準(zhǔn)差為0.01。上述公式證實(shí)了企業(yè)凈利潤以及凈資產(chǎn)收益率對于汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化的主導(dǎo)作用。

除了上述主導(dǎo)因素(企業(yè)凈利潤和凈資產(chǎn)收益率)，其它的作為噪聲漲落的弱影響因素同時存在，如市場規(guī)模、稅收政策、運(yùn)輸條件、勞動力成本、科技創(chuàng)新水平等。所以，以上兩方面因素都會對D(t)造成影響，其表達(dá)式為

Dt=eateεt

(15)

其中，eat是與時間有關(guān)的斜率，而eεt則代表了弱因素(噪聲漲落)。a(t)的具體形狀可以估計(jì)出來，根據(jù)式(11)計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)的凈利潤，可以得到式(16)：

(16)

將所有企業(yè)總利潤以及企業(yè)間連接數(shù)量代入式(16)可得到a(t)=-0.028t。根據(jù)式(13)可得式(17)，將εt的增量定義為dεt=εt-εt-1。

圖6 全部4年增量的分布Fig.6 Distribution of full 4 years increments

(17)

表2 自相關(guān)函數(shù)Tab.2 Autocorrelation function

由于相關(guān)性較弱，dεt可以看成是白噪聲，表達(dá)式為dεt=0.05dω，并可以寫為

dki=λi-0.028kidt+0.05kidω

(18)

式(18)表示了我們的模型生成的雙段冪律分布的準(zhǔn)確形式。為進(jìn)一步說明模型與中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)演化的契合程度，根據(jù)式(18)模擬仿真了度分布。從而得到：

以上計(jì)算結(jié)果與模型中第一段冪指數(shù)0.47相當(dāng)，而且得到的γ2的數(shù)值3.4與模型中的第二段冪指數(shù)也非常接近，從而證實(shí)了本文提出的演化算法模型的有效性。

4.3 結(jié)論

為了探尋復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)供應(yīng)鏈在演化中的特性和規(guī)律，本文先是對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)供應(yīng)鏈呈現(xiàn)的雙段冪律性和供應(yīng)鏈演化算法的步驟進(jìn)行了分析，然后結(jié)合適應(yīng)度和噪聲漲落因素對網(wǎng)絡(luò)演化算法進(jìn)行了完善，并利用仿真對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化進(jìn)行了剖析，最后以汽車制造行業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)為研究對象，驗(yàn)證了提出的網(wǎng)絡(luò)演化模型的有效性。

通過仿真研究可以得出，服從正態(tài)分布的適應(yīng)度耦合了以指數(shù)規(guī)律增長的變量，這也是雙段冪律分布產(chǎn)生的原因；而噪聲漲落并不能從根本上改變結(jié)果，但是可以影響冪指數(shù)。而在實(shí)例研究中得出，中國汽車制造業(yè)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)符合模型中的演化模式，汽車制造業(yè)的凈利潤和凈資產(chǎn)收益率是影響網(wǎng)絡(luò)自組織演化過程的主導(dǎo)因素，噪聲漲落同樣存在，但是影響力很??；汽車制造業(yè)雙段冪律分布的冪指數(shù)γ1和γ2分別為0.59、3.4，將這個參數(shù)控制在一個合理的范圍內(nèi)，供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)可以在有序的狀態(tài)進(jìn)行演化。