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(1.成都理工大學商學院，成都 610059；2.廣州大學經濟與統(tǒng)計學院，廣州 510006)

0 引言

現(xiàn)代投資組合理論(Modern Portfolio Theory, MTP)自創(chuàng)立至今已有60余年[1]。MTP研究的核心問題是投資者如何通過構建投資組合將資金分散地投資于不同資產實現(xiàn)分散風險和確保收益。MTP既是現(xiàn)代金融學的開端，也是現(xiàn)代金融理論研究的動力，在金融理論研究和金融實務操作中均占據著重要的地位。目前，已有大量學者對MTP進行了研究，并取得了一些成果[2-5]。雖然這些成果豐富了MTP，但是現(xiàn)有成果在構建投資組合時主要使用均值、方差、下偏方差、模糊數學、條件在險價值、集成預測熵等方法來測量證券的收益和風險[4-6]。在證券價格沒有分形特征時，使用均值、方差、下偏方差、模糊數學等方法也許能夠準確地測量出證券的收益和風險。然而，大量研究表明證券價格普遍具有明顯的分形特征[7-11]，如：有學者實證發(fā)現(xiàn)衍生品和現(xiàn)貨市場都具有分形特征[7]，有學者實證發(fā)現(xiàn)上海和深圳股票市場均有多重分形特征[9-10]，還有學者實證發(fā)現(xiàn)32個國家的股票指數均具有分形特征[11]。此時，使用這些方法測量證券的收益和風險便存在難以準確測量甚至無法測量的缺陷[12-14]。

具體而言，當證券價格具有分形特征時，證券價格波動服從分形布朗運動，證券收益率服從分形分布，表現(xiàn)出自相似性、標度不變性、長記性等特征，呈現(xiàn)出無窮精細的復雜結構[11-15]。已有學者明確指出，對于價格具有分形特征的證券，分形方法是刻畫其特征的有力工具[13-14]；隨后，大量學者的研究表明，當正確價格具有分形特征時，只有使用分形方法來測量證券的收益和風險等特征，所得到的結果才可能準確；采用均值、方差、下偏方差、模糊數學等非分形方法難以將證券的收益和風險等特征準確測量[15-18]。同時，根據前文可知，當證券價格具有分形特征時證券收益率服從分形分布。分形分布是較為復雜的冪率分布，其均值和方差可能趨于無限[19-20]；此時，采用均值、方差、下偏方差等非分形方法來測量證券的收益和風險便面臨著無法測量的可能[21]?？梢?，現(xiàn)有研究主要使用非分形方法來測量證券的收益和風險存在測不準或不可測的缺陷，最終導致所構建的投資組合缺乏有效性。

綜上可見，研究MTP具有重要的理論和應用價值，現(xiàn)有相關成果在測量證券收益和風險時使用的方法主要屬于非分形方法，在證券價格普遍存在分形特征的現(xiàn)實背景下，存在測不準或不可測的缺陷，影響投資組合的有效性?；诖?，本文首先構建了分形期望和分形方差兩個分形統(tǒng)計測度來測量證券的收益和風險；其次，以分形統(tǒng)計測度為基礎構建了分形組合模型，給出了分形組合模型的解析解，最后，實證分析了分形組合模型的有效性。

1 分形統(tǒng)計測度構建

針對使用期望和方差等非分形方法來測量證券的收益和風險存在測不準或不可測的缺陷，本文借鑒分形觀點下處理曲線長度的方法來構建分形期望和分形方差兩個分形統(tǒng)計測度，以便在證券價格普遍具有分形特征的現(xiàn)實背景下較為準確地測量證券的收益和風險。

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綜上，本文構建了分形期望和分形方差兩個分形統(tǒng)計測度，并給出了兩個分形統(tǒng)計測度的運算規(guī)則，為進一步闡述基于分形統(tǒng)計測度構建投資組合中奠定了基礎。

2 分形統(tǒng)計測度下的組合模型

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由上可見，前文所構建的兩個分形統(tǒng)計測度，不僅在理論上可以構建投資組合，還可將數組權重轉換為數值權重，應用于投資實踐。從而，完整地解決了分形統(tǒng)計測度下的投資組合問題。為了表述的方便，下文將基于分形期望和分形方差兩個分形統(tǒng)計測度所構建的投資組合模型簡稱為分形組合。

3 分形組合的有效性分析

在理論模型構建的基礎上，便可利用實證分析來驗證分形組合的有效性。在既定收益水平約束下，如果分形組合的風險小于基準組合的風險，則表明分形組合有效。在基準組合的選取上，考慮到分形組合較之Markowitz傳統(tǒng)組合模型主要是在風險和收益測度上進行改進；因此本文以Markowitz傳統(tǒng)組合模型作為基準組合。在樣本選取上，本文以上海證券交易所的所有6種行業(yè)指數為資產樣本，并分別用傳統(tǒng)期望和方差、分形期望與方差計算其風險與收益來構建基準組合與分形組合。在樣本區(qū)間選取上，為了反映分形組合在不同市場行情下的效果，以2012年1月1日至2017年1月1日為整個樣本區(qū)間，并以每一年為子區(qū)間構建組合觀察所構建的組合的風險情況。數據來源于聚源數據庫。

表1 30個密度函數的兩個參數和擬合優(yōu)度Tab.1 Two parameters and fit goodness for 30 density functions

由表1可知，30個資產收益率序列的擬合優(yōu)度最低為0.798，且回歸方程的擬合優(yōu)度大多在0.9以上；從而說明收益率序列的密度函數確實為冪率形式，表1所示的30個密度函數的兩個參數具有較高的可靠性。根據表1的結果，利用(2)和式(6)便可計算出30個收益率序列的分形期望和分形方差，見下表2；限于篇幅，表2僅羅列了數值，未羅列數組符號。

表2 30個收益率序列的分形期望和分形方差Tab.2 Fractal expectation and fractal variance of 30 yield series

表3 既定收益下基準與分形組合的風險之差Tab.3 The difference between benchmark and fractal portfolio under defined returns

注：表中數據的單位為0.001。

在表2的基礎上，利用式(14)便可計算出分形組合中各資產的投資權重，進而獲得分形組合的風險。同理，根據30個收益率序列的傳統(tǒng)期望和傳統(tǒng)方差，利用式(10)便可計算出基準組合中各資產的投資權重，進而獲得基準組合的風險。便于比較，如下表3將6種既定收益水平下基準組合和分形組合的風險之差進行羅列。

由表3可知，在所有30種情形中，基準與分形風險資產組合的風險之差有26種情形為正值，即在既定收益水平下，有26種分形風險資產組合的風險都小于基準風險資產組合的風險，占比86.67%。因此，在既定收益下，分形組合的風險大多小于基準組合的風險，分形組合在確保收益的同時更好地分散了風險。綜上可見，本文構建的兩個分形統(tǒng)計測度可以用于構建投資組合，且基于分形統(tǒng)計測度所構建的分形組合具有有效性。

4 結論與展望

本文基于分形理論構建了分形期望和分形方差兩個分形統(tǒng)計測度，以克服非分形統(tǒng)計測度難以準確測量甚至無法測量證券風險與收益的缺陷。在此基礎上，基于分形統(tǒng)計測度構建了分形組合模型，并給出了模型的解析解。隨后，通過比較分形組合與傳統(tǒng)投資組合的風險情況，從實證分析的視角驗證了分形組合的有效性。盡管本文基于分形理論開創(chuàng)性地構建了分形期望和分形方差兩個分形統(tǒng)計測度，并構建了分形組合，但本文的研究仍屬于探索性研究；因此，無論是在一般形式的分形分布下構建分形期望和分形方差，還是高階矩分形統(tǒng)計測度的構建探究，無論是含有背景風險的分形組合探討，還是多階段動態(tài)分形組合的探索，都有待深化。