■李 娜

和諧教學(xué)不僅注重學(xué)生的親身體驗(yàn)和實(shí)踐活動(dòng)，更注重學(xué)生抽象思維能力的訓(xùn)練與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。而這兩點(diǎn)，恰恰對(duì)應(yīng)了幾何教學(xué)的兩種基本方法——直觀實(shí)驗(yàn)與邏輯推理。數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系與空間形式(“數(shù)”與“形”)為主要研究對(duì)象的科學(xué)，幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。形者，幾何圖形也。初中階段主要研究三角形、四邊形、圓等平面圖形。

幾何圖形最初來自客觀世界中物體的形狀，但它們比客觀原型更典型、更純粹、更一般。因此，一般地，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時(shí)，不能僅僅依靠直觀實(shí)驗(yàn)的方法，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。下面，我結(jié)合《等腰三角形的判定（第1課時(shí)）》的教學(xué)為例談一談自己對(duì)幾何教學(xué)中的直觀實(shí)驗(yàn)與邏輯推理的理解。

一、教材分析

學(xué)科知識(shí)本身具有系統(tǒng)性，和諧教學(xué)要求要立體式宏觀把握教材，將本課知識(shí)納入更大的知識(shí)體系之中。七年級(jí)上、下兩冊(cè)包括“圖形認(rèn)識(shí)初步”“相交線與平行線”“平面直角坐標(biāo)系”“三角形”。學(xué)生要先后經(jīng)歷“說點(diǎn)兒理”“說理”“簡(jiǎn)單推理”幾個(gè)層次，教科書有意識(shí)地逐步強(qiáng)化關(guān)于推理的初步訓(xùn)練，主要做法是在問題的分析中強(qiáng)調(diào)求解過程所依據(jù)的道理，體現(xiàn)事出有因、言之有據(jù)的思維習(xí)慣。八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形”一章，開始正式出現(xiàn)證明，進(jìn)入較完整的“符號(hào)表示推理”層次。從知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生年齡兩方面看，這時(shí)比較適宜學(xué)習(xí)以正規(guī)書寫格式表示推理證明，為作好由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡，教材注意逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)邏輯推理的必要性。從教材中正式出現(xiàn)推理證明后，后續(xù)內(nèi)容注意“一以貫之”，即在“軸對(duì)稱”“四邊形”“相似”“旋轉(zhuǎn)”等內(nèi)容中，都注意適當(dāng)體現(xiàn)推理證明的作用，安排一定數(shù)量的例題和習(xí)題，使對(duì)推理論證的要求保持到必要的高度。而本課屬于《軸對(duì)稱》一章，恰逢實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡的初始階段，因此，教學(xué)應(yīng)特別注重實(shí)驗(yàn)幾何和論證幾何的微妙關(guān)系。

二、多元導(dǎo)入——從發(fā)散思維到聚合思維

“導(dǎo)”的形式可以是“激趣”，可以是“設(shè)疑”，可以是“復(fù)習(xí)”。但是，無論哪種形式，“導(dǎo)”的目的只有一個(gè)，就是“入”，而“入”得深與淺、恰當(dāng)與否，則是我們需要深入研究的問題。所謂“多元導(dǎo)入”，并不是一節(jié)課用多種方式導(dǎo)入，而是用一種方式導(dǎo)入，同時(shí)實(shí)現(xiàn)多種功能。

【我的設(shè)計(jì)】

老師一不留神打翻了墨汁，把等腰△ABC的一部分掩蓋了，只留下了一條底邊BC和一個(gè)底角∠C，你能還原等腰△ABC嗎？

學(xué)生一般能想到兩種方法:

方法1：作線段BC的垂直平分線;方法2：作∠ B=∠C。

教師追問：若∠B=∠C，能判斷△ ABC是等腰三角形嗎？學(xué)生往往會(huì)想到上節(jié)課學(xué)習(xí)的“等邊對(duì)等角”。這里，讓學(xué)生對(duì)比“平行線的性質(zhì)與判定”的關(guān)系、“角平分線的性質(zhì)與判定”的關(guān)系等等，引導(dǎo)學(xué)生從逆命題的角度開啟“等角對(duì)等邊”的學(xué)習(xí)。

這樣的設(shè)計(jì)，在設(shè)疑導(dǎo)入的同時(shí)，復(fù)習(xí)了等腰三角形的軸對(duì)稱性，還引發(fā)了學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定和性質(zhì)的互逆關(guān)系的思考。

三、新知形成——重視實(shí)驗(yàn)幾何

體驗(yàn)式學(xué)習(xí)是現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式的重要特征之一，是指由身體性活動(dòng)與直接經(jīng)驗(yàn)而產(chǎn)生的感情和意識(shí)。“看一看”“量一量”“做一做”等直觀實(shí)驗(yàn)活動(dòng)在幾何學(xué)習(xí)的初始階段尤為重要，即使在推理幾何階段的學(xué)習(xí)中，直觀實(shí)驗(yàn)也具有重要的輔助作用。我們常借助某些直觀特例來發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，探尋證明思路,理解抽象內(nèi)容。

【我的設(shè)計(jì)】

給每位學(xué)生發(fā)一張三角形紙質(zhì)學(xué)具，先請(qǐng)他們不借助其他工具，證明這個(gè)三角形的三個(gè)角都不相等；再將這個(gè)三個(gè)角都不相等的三角形剪成一個(gè)新三角形，使得這個(gè)新三角形中有兩個(gè)角是相等的，只能剪一次。

“比較三個(gè)角”的操作為剪三角形提供了方向。通過“剪三角形”的操作，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)“在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”。剪三角形時(shí)在紙上留下的折痕，也為后面證明等腰三角形的判定定理中如何添加輔助線埋下了伏筆。

實(shí)驗(yàn)幾何，可以理解為“通過對(duì)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移、拼接或拆分等各種操作來發(fā)現(xiàn)一些幾何事實(shí)或幾何關(guān)系”。雖然我們強(qiáng)調(diào)，要注重從“實(shí)驗(yàn)幾何”向“論證幾何”的過渡，但是“實(shí)驗(yàn)幾何”仍具有“論證幾何”無法取代的作用。翻看教材，不難發(fā)現(xiàn)，教材中大部分定理的給出，都是讓學(xué)生先通過畫圖、折紙、剪紙等活動(dòng)，探索、發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，然后再對(duì)結(jié)論進(jìn)行推理論證。

四、邏輯推理——“一題多解”探方法，“多題歸一”悟本質(zhì)

幾何的精妙在于圖形的千變?nèi)f化，但其“變”皆有邏輯可循。隨著教學(xué)研究的不斷深入，直觀實(shí)驗(yàn)會(huì)在啟發(fā)誘導(dǎo)、化難為易、檢驗(yàn)猜想等方面進(jìn)一步大顯身手。但是，直觀實(shí)驗(yàn)終歸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助手段，數(shù)學(xué)不是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，它不能像物理、化學(xué)、生物等學(xué)科那樣，最后通過實(shí)驗(yàn)來確定結(jié)論。實(shí)驗(yàn)幾何只是學(xué)習(xí)幾何學(xué)的前奏，后面的樂曲建立在理性思維的基礎(chǔ)上，邏輯推理是把演奏推向高潮的主要手段。

【我的設(shè)計(jì)】

本課，我設(shè)計(jì)了如下三道練習(xí)：1．已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC。求證：AB=AC。2．把一張長(zhǎng)方形的紙沿對(duì)角線折疊，重合部分是一個(gè)什么圖形？即在長(zhǎng)方形ABCD中，把矩形沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在C′處。重疊部分△BED是等腰三角形嗎？說明你的理由。

學(xué)生在做第2題的時(shí)候往往會(huì)出現(xiàn)兩種不同的解法，我根據(jù)學(xué)生的解法及時(shí)總結(jié)：在證明兩條線段相等時(shí)，如果這兩條線段在一個(gè)△中，首選“等角對(duì)等邊”；如果這兩條線段在兩個(gè)△中，首選“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”。完成兩道練習(xí)后，引導(dǎo)學(xué)生回味這兩道題。通過觀察兩道題的題干、問題以及圖形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)角平分線與平行線組合時(shí)，往往能得到等腰三角形。

通過對(duì)第2題不同解法的梳理，歸納出證明兩條線段相等的方法，幫助學(xué)生形成解題策略，同時(shí)深化了對(duì)“等角對(duì)等邊”應(yīng)用條件的認(rèn)識(shí)。另外，通過對(duì)1、2兩題的對(duì)比，建立起了“角平分線+平行線”的數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生今后解決類似問題提供了方便。

在此基礎(chǔ)上，我設(shè)計(jì)了一個(gè)新的問題：3．在△ABC中，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作直線EF//BC交AB于E，交AC于F。根據(jù)已知條件，自行推測(cè)可能的結(jié)論，并證明。

通過讓學(xué)生自行推測(cè)可能的結(jié)論，考查了學(xué)生對(duì)“角平分線+平行線”模型的掌握情況，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化。

練習(xí)的目的是什么？是“做一題、會(huì)一類、通一片”！一題多解，從不同的角度解決同一個(gè)問題，雖采用的方法迥異，但都能達(dá)到同一個(gè)目的。在這個(gè)過程中，學(xué)生感受到了殊途同歸的奇妙。多題歸一，不同的題目采用的做法類似，可以找出此類問題的解題通法。

從以上分析，我們看出，在初中幾何教學(xué)中直觀實(shí)驗(yàn)與邏輯推理二者不可偏廢，必須達(dá)到和諧的統(tǒng)一。學(xué)生通過直觀體驗(yàn)和邏輯推理，學(xué)習(xí)幾何可以認(rèn)識(shí)豐富多彩的幾何圖形，建立與發(fā)展空間觀念，掌握必要的幾何知識(shí)，培養(yǎng)運(yùn)用這些知識(shí)認(rèn)識(shí)世界與改造世界的能力。但是，這些并不是幾何的全部教育功能．從更深層次看，學(xué)習(xí)幾何的一個(gè)更重要的作用是：以幾何圖形為載體，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高理性思維水平。這正是自古希臘開始幾何教學(xué)一直倍受重視的主要原因。因此，從“實(shí)驗(yàn)幾何”向“推理幾何”的過渡成為初中幾何教學(xué)必須面對(duì)的問題。“體驗(yàn)活動(dòng)是學(xué)生發(fā)展的根基，學(xué)生生命的本性便是活動(dòng)?！蓖ㄟ^體驗(yàn)活動(dòng)培養(yǎng)邏輯推理能力成為初中幾何教學(xué)必須實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)。

（作者單位：天津市北辰區(qū)宜興埠鎮(zhèn)普育學(xué)校，天津 300402）

（編輯：左秀娟 校對(duì)：高 原）