宮雞明

（江蘇省常州市金壇第一中學，江蘇 常州）

現(xiàn)實生活中許多事物都具有某些對稱性，對稱給人們以和諧、平衡的美感。數(shù)學來源于生活，許多數(shù)學問題中涉及的對象都具有對稱性，不僅包括數(shù)的對稱、圖形的對稱等。對稱不僅是一個數(shù)學概念，更是一種思想方法。

本文結(jié)合具體實例，和大家一起探討高中數(shù)學排列組合問題中怎樣發(fā)現(xiàn)或挖掘問題中的對稱特征，怎樣利用對稱思想使解題方法簡潔明快，以達到拓展學生的解題思路，培養(yǎng)學生的思維能力。

例1：將4個相同的紅球和4個相同的黑球排成一排，然后從左至右依次給它們賦以編號l，2，…，8.則紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有_______種。

解析：注意到4個相同的紅球沒有區(qū)別，4個相同的黑球也沒有區(qū)別，先求出任意排放的排法=70，而其中會出現(xiàn)紅球的編號之和與黑球編號之和相等的情況。所有編碼之和（1+2+3+4+5+6+7+8）等于36，則紅球的編號之和與黑球編號之和都等于18。

根據(jù)對稱性（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），在 1、2、3、4 中選擇2個數(shù)為紅球編號有=6種，則在5、6、7、8中紅球的編號也就確定。

如：1 2 3 4 5 6 7 8

A B A B B A B A若 A 在 1、2、3、4 中選擇了 1、3，則利用對稱性，在 5、6、7、8中只能選擇8、6與之對應(yīng)；

除了上述情形外，利用對稱性紅球的編號之和等于黑球編號之和還包括（1、4、6、7）與（2、3、5、8）；

因為紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法和大于的排法一樣，則紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有=31種。

【點評】研究本題根據(jù)數(shù)列排序的特征，要保證兩組數(shù)之和始終都等于18，只需左右編號選擇對稱即可，且大于與小于的情況各占一半。解題時我們必須探究問題的深層次結(jié)構(gòu)及其解法的深層次原理，讓方法得到思維策略層面的升華。

變式1：將三個相同的紅球和三個相同的黑球排成一排，然后從左至右依次給它們賦以編號1，2，…，6.則紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有多少種？

例2：回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)。如 22，121，3 443，94 249 等.顯然 2 位回文數(shù)有 9 個：11，22，33，…，99.3位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.（*）則：（1）4位回文數(shù)有___個；（2）2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有___個.（**）

解析：（1）4位回文數(shù)的特點為中間兩位相同，千位和個位數(shù)字相同但不能為零，第一步，選千位和個位數(shù)字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數(shù)字，有10種選法；故4位回文數(shù)有9×10=90個，故答案為90；

（2）第一步，選左邊第一個數(shù)字，有9種選法；

第二步，分別選左邊第 2、3、4、…、n、n+1 個數(shù)字，共有 10×10×10×…×10=10n 種選法，故 2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有 9×10n個，故答案為 9×10n。

【點評】一題兩問，以“回文數(shù)”為新背景，考查計數(shù)原理，觀察它的構(gòu)成特點，左右對稱，利用對稱思想解決，將新信息轉(zhuǎn)化為所學的數(shù)學知識來解決。

例 3：由數(shù)字 0、1、2、3、4、5 組成沒有重復(fù)的六位數(shù)，其中個位數(shù)小于十位數(shù)的有幾個？（用對稱思想怎么解？）

解析:在上述的6位數(shù)的集合A中，把個位和十位交換，就能得到一個6位數(shù)，這個6位數(shù)還是在A中，且任意A中兩個6位數(shù)，進行上面的操作后，得到的6位數(shù)仍然兩兩不同，于是可以知道個位數(shù)小于十位數(shù)的6位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的6位數(shù)個數(shù)是一樣的，都等于=300個。

【點評】把個位和十位交換，得到的6位數(shù)仍然兩兩不同，利用對稱思想確定兩者的個數(shù)一樣。類似A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊有多少種不同的排法。其中B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的對稱的，則其兩種情況A在前與B在前情況數(shù)目也是相等的。

綜上例題解析，當出現(xiàn)了等可能性情況時我們考慮對稱法，不只是兩個元素，當出現(xiàn)多個元素時也適用。我們發(fā)現(xiàn)在排列與組合教學中啟發(fā)學生用對稱思想思考數(shù)學問題，帶領(lǐng)學生探究問題的深層次結(jié)構(gòu)及其解法的深層次原理，讓方法得到思維策略層面的升華，對增強學生解決數(shù)學問題的能力、啟迪心智大有裨益。