張艷

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象與數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).問(wèn)題情境指的是教師有目的、有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)各種情境，促使學(xué)生去質(zhì)疑問(wèn)題，并使之引起最強(qiáng)烈的思考動(dòng)機(jī)和最佳的思維定向的這樣一種情境.本文以一節(jié)高三復(fù)習(xí)課為例談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的指引下創(chuàng)設(shè)有效的問(wèn)題情境.

一、課堂實(shí)錄

設(shè)橢圓C： x2 a2 +y2=1（a>1）.（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a，k表示）;（略）（Ⅱ）若任意以點(diǎn) A（0 ，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍.

問(wèn)題情境一：

教師：先請(qǐng)大家思考第二問(wèn)中的關(guān)鍵詞是什么？

學(xué)生：三個(gè)公共點(diǎn).

教師：那么你覺(jué)得什么情況下會(huì)出現(xiàn)三個(gè)公共點(diǎn)呢？

學(xué)生：其中有一個(gè)公共點(diǎn)是切點(diǎn)的時(shí)候.

教師：你能畫出這種特殊情形嗎？

投影儀上用幾何畫板展示這種臨界情況.

教師：當(dāng)出現(xiàn)這種情形時(shí)，如何求a呢？

學(xué)生：這個(gè)時(shí)候圓的半徑為2，聯(lián)立圓方程與橢圓方程? x2 a2 +y2=1，x2+（y-1）2=4， ?消x得，（a2-1）y2+2y-a2+3=0，Δ=0，得a= 2 .

教師：我們已經(jīng)解決了有三個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題.那么除了“三個(gè)”，你還關(guān)注到了哪個(gè)關(guān)鍵詞呢？

學(xué)生：至多.

教師：至多三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)橢圓應(yīng)該越圓還是越扁？

學(xué)生：越圓.

教師：那么a的取值范圍能求了嗎？離心率能求了嗎？

學(xué)生：1<a≤ 2 .e=? a2-1? a = 1- 1 a2? ∈ 0，? 2? 2? .

問(wèn)題情境二：

教師：讓我們重新審視這道題.我們知道圓與橢圓都具有優(yōu)美的對(duì)稱性，所以當(dāng)有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，其中一個(gè)公共點(diǎn)肯定是什么？

學(xué)生：（0，-1）.

教師：另兩個(gè)公共點(diǎn)之間有什么聯(lián)系嗎？

學(xué)生：關(guān)于y軸對(duì)稱.

教師：也就是這兩個(gè)公共點(diǎn)到點(diǎn)A的距離相等.

學(xué)生：任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)是不是說(shuō)至多出現(xiàn)三個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A的距離相等？

教師：是的，也就是我們可以考慮橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)A的距離的平方：

d2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1- a2）y2- 2y+a2+1，y∈[-1，1].

問(wèn)題情境三：

問(wèn)題1：求橢圓C上的點(diǎn)與點(diǎn)A（0，1）的距離的取值范圍（用a表示）.

問(wèn)題2：以點(diǎn)A（0，1）為圓心，r為半徑的圓與橢圓C無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，求r的取值范圍.

問(wèn)題3：直線f（y）=4與f（y）=（1-a2）y2-2y+a2+1，y∈[-1，1]的圖像有幾個(gè)公共點(diǎn)？

問(wèn)題4：以A為圓心，2為半徑的圓與橢圓有幾個(gè)公共點(diǎn)？

問(wèn)題情境四：

教師：以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓，當(dāng)半徑不斷增大時(shí)，圓與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)會(huì)有哪些情形呢？

學(xué)生：當(dāng)1<a≤ 2 時(shí)，以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓，當(dāng)半徑不斷增大時(shí)，圓與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)依次為2個(gè)，1個(gè)，0個(gè).當(dāng)a> 2 時(shí)，圓與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)依次為2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，2個(gè)，0個(gè).

教師：至多三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍應(yīng)該是什么呢？

學(xué)生：1<a≤ 2 ，e=? a2-1? a = 1- 1 a2? ∈ 0，? 2? 2? .

問(wèn)題情境五：

學(xué)生：當(dāng)1<a≤ 2 時(shí)，圓與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)依次為2個(gè)，1個(gè)，0個(gè)，當(dāng)a> 2 時(shí)，圓與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)依次為2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，2個(gè)，0個(gè).當(dāng)有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則一定會(huì)有4個(gè)公共點(diǎn)，題中問(wèn)“至多3個(gè)”和問(wèn)“至多2個(gè)”是不是相同的？

教師：是的.

學(xué)生：那為什么要問(wèn)“至多3個(gè)”呢？

另一學(xué)生：可能是在提示我們臨界情況.

問(wèn)題情境六：

教師：第二問(wèn)會(huì)不會(huì)與第一問(wèn)有聯(lián)系呢？我們能不能嘗試從第一問(wèn)出發(fā)來(lái)解決第二問(wèn)呢？

學(xué)生：我們想想.

教師：通過(guò)前面的分析，我們知道3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)應(yīng)該有一個(gè)公共點(diǎn)是（0，-1），同時(shí)橢圓的左右兩側(cè)各存在一個(gè)點(diǎn)P，Q，使得|AP|=|AQ|=2.

學(xué)生：|AP|，|AQ|是第一問(wèn)中的線段長(zhǎng)，真的有聯(lián)系.

二、課后反思

教育家陶行知先生曾說(shuō)： “發(fā)明千千萬(wàn)，起點(diǎn)是一問(wèn)，智者問(wèn)得巧，愚者問(wèn)得笨.”說(shuō)明有效的問(wèn)題情境對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)熱情，活躍課堂氛圍，提高數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，進(jìn)而形成完善的人格具有積極的推動(dòng)作用.核心素養(yǎng)指引下的問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)可以從以下幾點(diǎn)進(jìn)行：

1.注重問(wèn)題情境的自然性：關(guān)注知識(shí)、思維的發(fā)生和形成過(guò)程，建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)認(rèn)為知識(shí)是不能傳遞，傳遞的只是信息，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)采集信息、處理信息、建構(gòu)自己知識(shí)體系的過(guò)程.先在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問(wèn)題情境：公共點(diǎn)和三個(gè).讓每一名學(xué)生在課堂上都有思考的空間和任務(wù)，感受到“我”的想法是可以繼續(xù)深入下去的，通過(guò)直觀想象，問(wèn)題的初步解決，學(xué)生真正展示了課堂主人的角色：敢思考、會(huì)思考、能解決問(wèn)題.從思維的原始過(guò)程出發(fā)，設(shè)置尊重思維發(fā)展特征的問(wèn)題情境，注重問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)的自然性.

2.注重問(wèn)題情境的過(guò)渡性：從圓錐曲線的對(duì)稱性出發(fā)，將公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)角度求距離問(wèn)題，學(xué)生感受到圓錐曲線的對(duì)稱性不僅具有美觀性還具有實(shí)用性，合理地轉(zhuǎn)換問(wèn)題，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，感受到合理的轉(zhuǎn)換有助于我們思維的延伸和開(kāi)闊，為后續(xù)解決問(wèn)題起到過(guò)渡的作用，體現(xiàn)問(wèn)題情境的過(guò)渡性.

3.注重問(wèn)題情境的流暢性：有了問(wèn)題情境二的過(guò)渡，問(wèn)題情境三沿著思維的發(fā)展過(guò)程，設(shè)計(jì)問(wèn)題串的形式，環(huán)環(huán)相扣，自然流暢，問(wèn)題1函數(shù)角度借助圖像解決范圍問(wèn)題，問(wèn)題2特殊情形，明確圓與橢圓有可能出現(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，問(wèn)題3從函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的角度出發(fā)可以幫助我們解決問(wèn)題，同時(shí)出現(xiàn)了3個(gè)公共點(diǎn)和1個(gè)公共點(diǎn)的特殊情形，為問(wèn)題的解決指明了方向，問(wèn)題4中，函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題回歸我們所要解決的圓與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，在這一串問(wèn)題的解決過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生形成條理清晰、合乎邏輯，層次分明的思維品質(zhì)，體現(xiàn)設(shè)置問(wèn)題情境的流暢性.

4.注重問(wèn)題情境的拓展性：通過(guò)問(wèn)題情境四，學(xué)生能夠從函數(shù)圖像的角度解決公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，因此，順著思維的發(fā)展方向，在學(xué)生跳一跳能夠得著的地方設(shè)置問(wèn)題情境四，既能感受到思維的碰撞，又能感受到學(xué)生問(wèn)題解決后的自信和滿足.既解決了這一問(wèn)題，同時(shí)又對(duì)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題了然于胸，體現(xiàn)了設(shè)置問(wèn)題情境的前瞻性和拓展性.

5.注重問(wèn)題情境的深刻性：愛(ài)因斯坦曾說(shuō)“提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要.”有了問(wèn)題四的鋪墊，學(xué)生很自然會(huì)有問(wèn)題五的疑惑，問(wèn)題情境五，學(xué)生自己提問(wèn)，在相互討論中理解了出題者的意圖，也學(xué)會(huì)了多方面看待問(wèn)題，體現(xiàn)了設(shè)置問(wèn)題情境的深刻性.

6.注重問(wèn)題情境的關(guān)聯(lián)性：數(shù)學(xué)知識(shí)間的相關(guān)性，前后問(wèn)題的相關(guān)性，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的相關(guān)性，問(wèn)題情境六讓學(xué)生學(xué)會(huì)從聯(lián)系和發(fā)展的角度看待問(wèn)題、解決問(wèn)題、拓展思路.

三、結(jié)束語(yǔ)

本文以一堂高三復(fù)習(xí)課為例，簡(jiǎn)要闡述在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的指引下創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的六個(gè)關(guān)注點(diǎn)：自然性、過(guò)渡性、流暢性、拓展性、深刻性、關(guān)聯(lián).真正把“從數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授走向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成”作為一個(gè)新思路，把培育數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)作為新目標(biāo)，學(xué)生必將能從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，以數(shù)學(xué)的態(tài)度思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，進(jìn)而能在真實(shí)情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與技能理性地處理問(wèn)題，并終身受益.