王玉磊 李彩娟 付宗魁 李金偉

【摘要】 函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的概念.本文借助幾何直觀，通過類比教學(xué)，研究了函數(shù)一致連續(xù)性的教學(xué)方法，使學(xué)生更易理解這部分內(nèi)容，為以后的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】 連續(xù);一致連續(xù)性;不一致連續(xù)

函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一.很多學(xué)生在初學(xué)此概念時(shí)，不易區(qū)分函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)性.在教學(xué)中，如果處理不好這一環(huán)節(jié)，會使學(xué)生對這部分內(nèi)容理解困難，難以接受.本文結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對如何引導(dǎo)學(xué)生較好的理解這一概念，提供了一個(gè)教學(xué)思路以供參考.

一、問題導(dǎo)入

首先復(fù)習(xí)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念，通過例子引入問題.

定義1 ?[1] ?設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義.任取x 0∈I，若對任給的ε>0，總存在δ=δ（ε，x 0）>0，使得當(dāng)|x-x 0|<δ時(shí)，有|f（x）-f（x 0）|<ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù).

例1 ??證明函數(shù)f（x）= 1 x 在區(qū)間（0，1）上連續(xù).

證明 ?根據(jù)定義1，任取x 0∈（0，1），對任意的ε>0，由于x→x 0，不妨限制|x-x 0|< x 0 2 ，則x> x 0 2 .要使|f（x）- f（x 0）|= ??1 x - 1 x 0? = |x-x 0| xx 0 < 2 x2 0 |x-x 0|<ε，只需取δ=min? x 0 2 ， x2 0 2 ε ，則當(dāng)|x-x 0|<δ時(shí)，總有|f（x）-f（x 0）|<ε.故f（x）在x 0連續(xù).由x 0的任意性可知f（x）= 1 x 在區(qū)間（0，1）上連續(xù).

從證明中可以發(fā)現(xiàn)，不管x 0在（0，1）中的什么位置，一旦取出，總可以找到與ε和x 0有關(guān)的δ（ε，x 0），使得當(dāng)|x-x 0|<δ時(shí)，有|f（x）-f（x 0）|<ε.在它的函數(shù)圖像（圖1）中可以看出，若固定ε，會發(fā)現(xiàn)δ的取值與x 0的位置有關(guān).

問題提出：會不會存在這樣的連續(xù)函數(shù)，使δ的取值只與ε有關(guān)而不受x 0的位置限制？也就是說，不管x 0處于定義域的什么位置，總存在公共的δ=δ（ε），使得當(dāng)|x-x 0|<δ時(shí)，有|f（x）-f（x 0）|<ε.

下面引出一致連續(xù)的相關(guān)定義.

二、引出定義

定義2 ?[1] ?設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù).若對任給的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得對任何x′，x″∈I，只要|x′-x″|<δ，就有|f（x′）-f（x″）|<ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù).

對定義2的進(jìn)一步闡述：（1）若定義2中任意固定x′或x″，容易證明函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù).也就是說，若f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)，則f（x）在區(qū)間I上必連續(xù).

（2）直觀地說，一致連續(xù)就意味著無論兩點(diǎn)處于區(qū)間I的什么位置，只要它們的距離小于δ=δ（ε），就可使 |f（x′）- f（x″）|<ε.

定義3 ?設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù).若存在ε 0>0，對任意的δ>0，總存在x′，x″∈I，雖然|x′-x″|<δ，但是 |f（x′）- f（x″）|≥ε 0，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上不一致連續(xù).

三、通過舉例，借助幾何直觀，鞏固概念理解

例2 ??證明函數(shù)f（x）=sinx在（-∞，+∞）上一致連續(xù).

證明 ?對任意的x′，x″∈（-∞，+∞），有

|f（x′）-f（x″）|=|sinx′-sinx″|= 2cos x′+x″ 2 sin x′-x″ 2? ≤2 sin x′-x″ 2? ≤2·? x′-x″ 2? = |x′- x″|.

因此，對任給的ε>0，取δ=ε，則對一切x′，x″∈（-∞，+∞），當(dāng)|x′-x″|<δ，有|f（x′）-f（x″）|<ε.

故函數(shù)f（x）=sinx在（-∞，+∞）上一致連續(xù).

幾何解釋：（1）從圖2中可以看出，函數(shù)f（x）=sinx的圖像總可以被一系列長為ε，寬為δ的小矩形覆蓋.

（2）從圖3中可以看出，若取x′或x″為x 0，不妨取x″=x 0，則不管x 0在何位置，當(dāng) |x′- x 0|<δ時(shí)，函數(shù) f（x）= sinx的圖像亦可被一系列長為2ε，寬為2δ的小矩形覆蓋.

綜合（1），（2）可以看出一致連續(xù)的函數(shù)必連續(xù).

四、小 結(jié)

連續(xù)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，而一致連續(xù)性則是一種更強(qiáng)的連續(xù)性，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì).在教學(xué)過程中，通過幾何直觀和對比法，注重發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，既讓學(xué)生懂得了它們的關(guān)系，又使學(xué)生理解了它們的區(qū)別，這對于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有著重要的意義.

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