曹培英

【編者按】人們都說數(shù)學(xué)是抽象的，抽象思維是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。教師在實(shí)際教學(xué)中，面對著以形象思維為主的學(xué)生，如何培養(yǎng)其抽象思維，謀求數(shù)學(xué)的抽象性與兒童思維形象性的和諧統(tǒng)一，對于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)都是十分重要的。本期話題，圍繞“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生抽象思維養(yǎng)成”展開探討。

一、相關(guān)概念的辨析

1. 抽象思維與邏輯思維。

心理學(xué)認(rèn)為，思維是一種基于感知覺、超越感知覺的認(rèn)知活動(dòng)；它是人腦借助語言、表象或動(dòng)作實(shí)現(xiàn)的，對客觀現(xiàn)實(shí)概括、間接地反映，它反映的是事物的本質(zhì)屬性與事物之間的聯(lián)系。按照發(fā)展水平的不同，思維可分為直觀動(dòng)作思維、具體形象思維、抽象邏輯思維（又叫作抽象思維或邏輯思維）。

也就是說，在心理學(xué)中，抽象思維就是邏輯思維。抽象思維既不同于以動(dòng)作為支柱的動(dòng)作思維，又有別于以事物表象為支撐的形象思維，它是以概念、判斷、推理的形式反映客觀事物本質(zhì)特征與內(nèi)在聯(lián)系的思維。

例如：計(jì)算7-3。兒童依靠扳手指的動(dòng)作獲得答案，屬于動(dòng)作思維；憑借頭腦中的直觀形象得出結(jié)果，則是形象思維；而依據(jù)數(shù)的組成想出得數(shù)，就是初步的抽象思維了。

2. 抽象、概括與抽象思維。

按照心理學(xué)的解釋，所謂抽象是指在分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上抽取同類事物具有的共同的、本質(zhì)的特征，舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)特性的思維過程。

這種抽取事物本質(zhì)特性的思維過程也有程度（水平）的區(qū)別。例如，從具體的一個(gè)個(gè)物體抽象出它們的數(shù)“1”，無疑是一種抽象，由具體的數(shù)1、2、3……抽象出自然數(shù)的概念，則是更高水平即抽象程度更高的抽象。

所謂的概括也是思維過程的一種，它是在抽象的基礎(chǔ)上，把抽象出來的事物共同的本質(zhì)特征綜合起來，并推廣到同類事物上去的過程?？梢姡橄舐?lián)系著概括，概括必須借助于抽象。

例如：教學(xué)三角形的認(rèn)識。從現(xiàn)實(shí)原型抽象出三角形的圖形，再到概括三角形的圖形特征，再描述概念。這是小學(xué)數(shù)學(xué)概念形成的典型過程，抽象與概括的相互聯(lián)系可見一斑。

我們通常在兩種意義下使用“抽象思維”這一名詞：一是指相對于形象思維而言的邏輯思維，二是指與具體化相對的一種思維過程。不難理解，抽象與抽象思維都是思維的過程，它們的區(qū)別在于前者是“舍去→抽取”的思維過程，后者是“概念→判斷→推理”的思維過程。它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，最明顯的是：抽象思維得以實(shí)現(xiàn)的前提就是從實(shí)體中抽象出概念，進(jìn)而才有依據(jù)概念的判斷與推理。實(shí)際上，抽象與抽象思維的緊密聯(lián)系具有更廣泛的表現(xiàn)。例如：由長5厘米、寬3厘米的長方形根據(jù)乘法的含義推出它的面積是“5×3”平方厘米，這是相對具體的推理，然后抽象出長方形一行a個(gè)面積單位，有這樣的b行面積單位，進(jìn)而推導(dǎo)出長方形的面積等于“長×寬”，顯然是更為抽象的推理。

有別于心理學(xué)的視角，在數(shù)學(xué)及其教學(xué)研究中，習(xí)慣上也常常將“抽象”說成“抽象方法”與“抽象思想”。前者是因?yàn)樗季S過程蘊(yùn)含方法；后者是鑒于數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的最重要的基本思想就是抽象。

二、抽象思維與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系

抽象思維的兩種含義都與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)密切相關(guān)。

首先，抽象是數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，數(shù)學(xué)的研究對象，無論是數(shù)與形，還是數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系，都是抽象的結(jié)果?？梢哉f，沒有抽象就沒有數(shù)學(xué)，也就沒有數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

國外對數(shù)學(xué)能力的研究，影響較大的如蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷茨基關(guān)于數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的研究，通過實(shí)證得到：迅速、廣泛地概括數(shù)學(xué)材料的能力，在各數(shù)學(xué)能力成分中位于首位。我國的心理學(xué)研究者如朱智賢、林崇德則更一般地認(rèn)為：發(fā)展學(xué)生的概括能力是發(fā)展思維、培養(yǎng)智力的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。畢竟思維發(fā)展的重要指標(biāo)就是學(xué)生能從具體事物中概括出抽象的東西。

這些研究之所以特別關(guān)注概括，可能主要是由于抽象與概括的思維過程，最終是通過概括顯性表現(xiàn)。實(shí)踐同樣表明，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象與概括的思維過程，是把數(shù)學(xué)對象從具體情境中剝離出來并提升意義理解的重要手段。

其次，概念、判斷與推理等思維形式不同程度地貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，因此真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開邏輯思維，反過來，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)又是發(fā)展學(xué)生邏輯思維的主要途徑。這是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，也是它的育人優(yōu)勢。

三、培養(yǎng)小學(xué)生抽象思維能力的主要策略

這里僅就小學(xué)數(shù)學(xué)中的抽象過程，例談若干比較直接、主要的教學(xué)策略。

1. 從具體到抽象。

這一基于抽象本意（相對于具體化的思維過程）的教學(xué)策略，無疑是讓學(xué)生經(jīng)歷抽象、概括思維過程的基本策略。

例如，加法交換律的教學(xué)（人教版四下）。從具體的實(shí)際問題（李叔叔騎車旅行）抽象出具體的算式（40+56，56+40），并且補(bǔ)充具體的算式例證，再到用語言、用符號概括例證中加法運(yùn)算共同的特性，最后用字母表達(dá)。這一“去情境化→數(shù)學(xué)化”的整個(gè)教學(xué)活動(dòng)反映了相當(dāng)完整的抽象、概括的思維過程，有效引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的數(shù)學(xué)認(rèn)知。

有必要指出，上述過程中“補(bǔ)充具體算式例證”，旨在豐富、增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識，但與其追求例證數(shù)量，不如追問：“還需要更多的例子嗎？為什么？”從而啟發(fā)學(xué)生用自己的語言，對規(guī)律作出解釋。就如：從數(shù)數(shù)的順序與結(jié)果無關(guān)、從加法的意義“合并”等視角，說明規(guī)律的必然性。因?yàn)槔C舉得再多，既無法窮盡，也無法確保不出現(xiàn)例外，而說明算理，則相當(dāng)于揭示了其中的因果關(guān)系。這也有助于提升學(xué)生的抽象、概括的理解水平。

2. 從直觀到抽象。

小學(xué)生的思維特點(diǎn)是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。在這過渡中，仍然需要直觀形象的支撐。因此，加強(qiáng)直觀教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要對策。

以分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識為例，各地教師都非常重視實(shí)物直觀、圖形直觀的應(yīng)用。

提問：“為什么不同的折法，每一份都是四分之一？”讓學(xué)生通過自己的語言表達(dá)促進(jìn)抽象。

（2）用分?jǐn)?shù)表示每個(gè)圖中的一份（圖2）。

提問：“為什么不同的圖形，每一份還是四分之一？”幫助學(xué)生進(jìn)一步抽象，感悟分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)。

3. 從經(jīng)驗(yàn)到抽象。

小學(xué)數(shù)學(xué)化解抽象的常用手段及其策略，除了用好幾何直觀，還有調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

例如：學(xué)習(xí)異分母加法。教師通過以下幾題的比較異同，啟發(fā)學(xué)生抽象出加法的原理：（1）3元7角+2元=？（2）37+20=？（3）3.7+2=？

這里既有生活經(jīng)驗(yàn)（人民幣的計(jì)算），也有先前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（整數(shù)、小數(shù)的加法），通過計(jì)算（都是3+2）、說理，不難抽象概括出“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加”的共同本質(zhì)。

4. 重視思維互逆過程的體驗(yàn)。

從具體、直觀到抽象的過程與從抽象到具體、直觀的過程，構(gòu)成了雙向的聯(lián)想（聯(lián)結(jié)）與可逆的心理過程，它們常常相輔相成，能夠有效地促進(jìn)學(xué)生的抽象思維，提升理解水平。

例如：乘法分配律的教學(xué)（滬教版四上），先由具體實(shí)例、數(shù)形結(jié)合，引出兩種算法，并加以比較。在此基礎(chǔ)上教學(xué)超越問題的現(xiàn)實(shí)情境，過渡到抽象的數(shù)學(xué)模式（用字母表示）。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生將分配律應(yīng)用于具體的實(shí)例。

顯然，通過數(shù)學(xué)結(jié)論返回具體的應(yīng)用與解釋，上述教學(xué)在鞏固學(xué)生抽象認(rèn)知的同時(shí)，還培育了他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

此外，把握抽象概括的時(shí)機(jī)、及時(shí)抽象與逐步抽象，以及多種手段、方式的協(xié)同等策略，就不再一一展開了。endprint