☉重慶市忠縣中學(xué)校 成 波

數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理以及習(xí)題與應(yīng)用中都包含著無(wú)所不在的問(wèn)題，所有的數(shù)學(xué)教學(xué)都可以看成是問(wèn)題的解決，教學(xué)工作在某個(gè)問(wèn)題解決之后又應(yīng)該繼續(xù)哪些行為呢？

一、“問(wèn)題創(chuàng)造”的價(jià)值

（一）促進(jìn)學(xué)生深層理解

例1 筆者在“直線與平面垂直的判定定理”的教學(xué)之后引導(dǎo)學(xué)生圍繞該定理進(jìn)行了問(wèn)題的再創(chuàng)造.

學(xué)生在筆者的適當(dāng)點(diǎn)撥與自己的嘗試下創(chuàng)造出了以下判斷題并交由同桌進(jìn)行了判斷練習(xí)：

（1）假如某一直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說(shuō)明：將母題中的“兩條相交直線都垂直”這一條件減弱成“一條直線垂直”，不改變其他條件和結(jié)論.

（2）假如某一直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說(shuō)明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“相交”兩字除去，不改變其他條件和結(jié)論.

（3）假如某一直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（×）

說(shuō)明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“兩條相交直線”改變成“無(wú)數(shù)條直線”，而對(duì)其他條件和結(jié)論則不進(jìn)行任何改變.

（4）假如某一直線與平行于該平面的兩條異面直線垂直，則該直線必然與該平面垂直.（）

說(shuō)明：將母題中“兩條相交直線都垂直”這一條件中的“兩條相交直線”改成“兩條異面直線”，不改變其他條件和結(jié)論.

學(xué)生在自己創(chuàng)造問(wèn)題并相互交換的解答中對(duì)該定理內(nèi)容自然而然產(chǎn)生了更加深刻的理解.

（二）促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)

例2 筆者在“直線與平面”這一內(nèi)容的復(fù)習(xí)教學(xué)中首先設(shè)置了以下填空題：

母題（填空題）：平行于同一條直線的兩條直線之間的位置關(guān)系應(yīng)該為_(kāi)_____.

然后將學(xué)生分成四人小組并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比仿造的方法進(jìn)行填空題組的創(chuàng)造，請(qǐng)學(xué)生再將題組提供給其他小組進(jìn)行思考、討論與交流，學(xué)生創(chuàng)造的填空題組及答案如下：

（1）若某直線與某平面同時(shí)平行于一條直線，則兩者之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行/直線在平面內(nèi)）

說(shuō)明：母題中的“兩條直線”這一條件改變成了“某直線與某平面”，沒(méi)有改變其他的條件和結(jié)論.

（2）若有兩個(gè)平面同時(shí)平行于一條直線，則兩者之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行/相交）

說(shuō)明：母題中的“兩條直線”這一條件改變成了“兩個(gè)平面”，沒(méi)有改變其他的條件和結(jié)論.

（3）若有兩個(gè)平面同時(shí)平行于某一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行/相交/異面）

說(shuō)明：將母題中的“同一條直線”這一條件改變成了“某一個(gè)平面”，而對(duì)其他條件與結(jié)論則不作改變.

（4）若一條直線與一個(gè)平面同時(shí)平行于同一個(gè)平面，則這條直線與這個(gè)平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行/直線在平面內(nèi)）

說(shuō)明：母題中的“同一條直線”“兩條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“同一個(gè)平面”“一條直線與一個(gè)平面”，沒(méi)有改變其他的條件和結(jié)論.

（5）若有兩個(gè)平面都平行于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行）

說(shuō)明：將母題中的“同一條直線”“兩條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“同一個(gè)平面”以及“兩個(gè)平面”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

（6）若有兩條直線都垂直于同一條直線，則這兩條直線之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行/相交/異面）

說(shuō)明：將母題中的“平行”這一條件改變成了“垂直”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

（7）若有一條直線與一個(gè)平面都垂直于同一條直線，則該直線與該平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行/直線在平面內(nèi)）

說(shuō)明：將母題中的“平行”“兩條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“垂直”與“一條直線與一個(gè)平面”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

（8）若有兩個(gè)平面都垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行）

說(shuō)明：將母題中的“平行”“兩條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“垂直”與“兩個(gè)平面”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

（9）若有兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線之間的位置關(guān)系應(yīng)為_(kāi)_____.（平行）

說(shuō)明：將母題中的“平行”“同一條直線”這兩個(gè)條件分別改變成了“垂直”與“同一個(gè)平面”，而對(duì)其他的條件和結(jié)論則不作改變.

學(xué)生自己也不禁驚訝于這些定理、習(xí)題串聯(lián)上的再創(chuàng)造，在相互之間的交流與探討中也更加系統(tǒng)地構(gòu)建了所學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

（三）培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造能力的培養(yǎng)需要?jiǎng)?chuàng)新性思維的不斷發(fā)展這一核心作為有力的支撐，因此，教師應(yīng)著眼于學(xué)生創(chuàng)造性思維的激發(fā)與鍛煉進(jìn)行具體的教學(xué)，問(wèn)題解決之后的再創(chuàng)造對(duì)于學(xué)生好奇心與探索欲的激發(fā)是極其有效的途徑，更為重要的是能夠使學(xué)生在不斷的思考與探索中充分發(fā)揮出其聰明才智并促成創(chuàng)造性思維最大限度的發(fā)展.

例3 筆者在“三角函數(shù)”這一內(nèi)容的教學(xué)之后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以下題目進(jìn)行了證明.

母題：在△ABC中，求證：sinA+sinB+sinC=

然后將學(xué)生分成四人小組并引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造出更多的三角恒等式，引導(dǎo)學(xué)生相互之間進(jìn)行創(chuàng)造問(wèn)題的探索.

學(xué)生在自己的努力與合作交流之下創(chuàng)造出了十多種的三角恒等式，部分創(chuàng)造思路如下：

（1）把已知條件“在△ABC中”這一條件削弱成“A+B+C=π”，則有如下命題：

命題1：若A+B+C=π，則sinA+sinB+sinC=

（2）有學(xué)生又分別應(yīng)用倍角公式將上述恒等式的左邊三項(xiàng)進(jìn)行變式且兩邊同時(shí)除以最后再應(yīng)用商數(shù)關(guān)系得出以下這一命題：

命題3：若A+B+C=π，則cosA-cosB+sinC=

學(xué)生在不斷的認(rèn)識(shí)與推理中前進(jìn)并獲得了很多意想不到的成功.

二、“問(wèn)題創(chuàng)造”的教學(xué)之道

（1）在“問(wèn)題創(chuàng)造”的起始階段進(jìn)行示范并告知學(xué)生方法，使學(xué)生能夠進(jìn)行初步的模仿.

（2）幫助學(xué)生明確創(chuàng)造的目的，使學(xué)生能夠圍繞一定的核心思想進(jìn)行嘗試.

（3）引導(dǎo)學(xué)生在解答題、選擇題、填空題等不同題型中進(jìn)行換位思考并嘗試新問(wèn)題的創(chuàng)造.

（4）引導(dǎo)學(xué)生著眼于課本內(nèi)容與題目進(jìn)行新問(wèn)題的創(chuàng)造并因此促進(jìn)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的多方面思考與深刻理解.

教師在學(xué)生進(jìn)行嘗試與創(chuàng)造時(shí)應(yīng)經(jīng)常巡視學(xué)生的活動(dòng)開(kāi)展情況，對(duì)無(wú)從下手的學(xué)生進(jìn)行及時(shí)的啟發(fā)以及適當(dāng)?shù)奶崾静⒔o予肯定和鼓勵(lì)，使學(xué)生能夠保持一定的創(chuàng)造興趣并進(jìn)行相互交流、討論，使學(xué)生能夠在集思廣益、取長(zhǎng)補(bǔ)短的互幫互學(xué)中得到更多的體驗(yàn)與深刻理解.

三、“問(wèn)題創(chuàng)造”的方法

（一）在削弱條件的基礎(chǔ)上創(chuàng)造

選擇原問(wèn)題中的某一條件或多個(gè)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p弱或改變并獲得新問(wèn)題是“問(wèn)題創(chuàng)造”的一種常見(jiàn)方法，一般來(lái)說(shuō)，這可以理解成解題者在解決原問(wèn)題之后所作出的進(jìn)一步研究.

例4假設(shè)A，B分別為直角三角形的兩個(gè)銳角，求證：sin2A+sin2B=1.

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此題證明之后進(jìn)行進(jìn)一步的研究可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)原命題中的條件減弱成“A+B=”時(shí)，原命題中的結(jié)論仍舊成立.

（二）類(lèi)比模仿中創(chuàng)造

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比的方法對(duì)原問(wèn)題中條件或結(jié)論中的某些概念進(jìn)行模仿改造也是常用的方法.比如，將平面幾何問(wèn)題類(lèi)比成立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中采取的就是這一方法與思想.

（三）著眼于結(jié)果進(jìn)行創(chuàng)造

著眼于原問(wèn)題的結(jié)果進(jìn)行變形并因此得出新命題的方法在“問(wèn)題創(chuàng)造”中也比較常見(jiàn).

（四）在一般推廣中進(jìn)行創(chuàng)造

將原命題視作一般命題的特殊情況并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行新的更為一般的命題的創(chuàng)造.

（五）結(jié)果與條件互換中進(jìn)行創(chuàng)造

將原問(wèn)題中的結(jié)果與某個(gè)條件進(jìn)行互換也是問(wèn)題創(chuàng)造的一個(gè)重要方法.

回顧自己二十多年的教學(xué)生涯，按照以上做法進(jìn)行“問(wèn)題創(chuàng)造”也確實(shí)取得了很好的教學(xué)效果，今將筆者的一點(diǎn)思考與體會(huì)結(jié)合教學(xué)實(shí)際撰寫(xiě)成文，敬請(qǐng)同仁指正.