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        動靜變換法在數(shù)學解題中的應(yīng)用

        2018-10-22 01:13:12江蘇省南京市秦淮中學
        中學數(shù)學雜志 2018年19期
        關(guān)鍵詞:解題

        ☉江蘇省南京市秦淮中學 朱 佳

        動與靜是對事物狀態(tài)的一種定性描述,從哲學角度來看,動與靜是一個統(tǒng)一體,可以相互轉(zhuǎn)化.因此數(shù)學上的問題條件也可以進行動靜劃分,基于動靜原則進行變換.對于一些復(fù)雜問題,合理采用動靜變換策略可以有效破除思維屏障,獲得解題的思路,下面將具體闡釋動靜變換策略在解題中的應(yīng)用.

        一、以動求靜,化不等式

        物體的靜止是相對的,同樣地,在數(shù)學中靜態(tài)下的問題也是相對存在的,如代數(shù)等式、不等式、分子式等,有時從靜態(tài)的角度對其直接變形求解較為繁雜,難以獲得較好的解題效果,此時可以嘗試考慮運用一定的策略將其轉(zhuǎn)化為動態(tài)問題,可能會收到意想不到的結(jié)果.一般對于代數(shù)問題可以將其等效轉(zhuǎn)化為幾何上的距離問題,通過距離的取值來構(gòu)建代數(shù)關(guān)系.

        例1已知不等式試求不等式的解.

        分析:上述不等式由于具有根號,直接求解相對較為復(fù)雜,可以采用以動求靜的解題策略,將靜態(tài)的不等式化為動態(tài)的平面幾何區(qū)域問題,通過求區(qū)域的取值范圍來解不等式.

        解:對原不等式進行變形,得6,對應(yīng)的可以構(gòu)建一個平面區(qū)域:6,表示a=3,c=2的橢圓及其內(nèi)部的區(qū)域,即如圖1所示,令y=2,解得即不等式的解就為

        在對直角坐標中的區(qū)域劃分、求解析幾何中的曲線運動軌跡時可以引入不等式,這就為代數(shù)不等式的求解提供了一個思路,即通過對不等式變形,將其等效為一個動態(tài)變化的幾何區(qū)域,通過對幾何區(qū)域的取值來完成求解,這樣的方式省去了代數(shù)移項、合并、變形的過程,使求解過程更為直觀,是對以動求靜優(yōu)勢的充分體現(xiàn).

        二、以靜制動,解析軌跡

        數(shù)學上存在眾多的動點問題,往往由于點的動態(tài)軌跡難以捕捉而造成求解的困難,此時可以考慮對條件進行設(shè)定,使動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為相對靜止的狀態(tài)來研究,如解析幾何中的動點問題可以考慮研究某特殊點的位置,或直接建立動點與靜態(tài)條件之間的關(guān)系,也可以設(shè)定某一運動參數(shù),使其轉(zhuǎn)化為相對意義上的靜態(tài)問題.

        例2已知雙曲線過定點A(2,1)的直線l與雙曲線C的圖像相交于點P1,P2,設(shè)線段P1P2的中點為點P,試求點P的運動軌跡方程.

        分析:由于直線l的斜率不確定,則直線與雙曲線圖像的交點也不確定,因此隨著直線l的斜率變化,中點P也會變化,因此,從嚴格意義上來說,求軌跡方程是動態(tài)問題.由于其軌跡較為抽象,可以采用以靜制動的方式.

        設(shè)P(x0,y0)是一個相對靜止的點,可構(gòu)建一條確定的直線l的參數(shù)方程,然后利用參數(shù)的幾何意義,建立關(guān)于x0,y0的函數(shù)關(guān)系,進而研究中點P的軌跡.

        解:設(shè)點P的坐標為(x0,y0),可得直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),聯(lián)立直線方程和雙曲線解析式,可得(2cos2θ-sin2θ)t2+2(2x0cosθ-y0sinθ)t+2x02-y02-2=0.由于點P為直線與雙曲線相交弦P1P2的中點,則有t1+t2=0,即2x0cosθ-y0sinθ=0,聯(lián)立直線的參數(shù)方程,結(jié)合定點A的坐標,消去未知角θ,可得2x02-y02-4x0+y0=0,用x,y代換其中的x0和y0,可得中點P的軌跡方程為2x2-y2-4x+y=0.

        以靜制動在數(shù)學解題中有兩種應(yīng)用方式,一是研究動態(tài)問題的特殊狀態(tài),然后推演整個問題,如特值法;二是將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為相對意義上的靜態(tài)問題,如參數(shù)法.本題目中采用的就是解析幾何上常用的參數(shù)法,用自變量參數(shù)來靜態(tài)描述點的運動軌跡,從而實現(xiàn)問題的求解,其解題策略具有一定的推廣價值.

        三、動靜互換,簡求最值

        物體的運動和靜止是相對的,因此可以互換,同樣地,數(shù)學的研究對象也可以進行互換,即在某些問題中對條件進行設(shè)定,使動態(tài)條件和靜態(tài)條件進行互換,然后通過研究新的問題條件來求解.由于這種互換是一種整體互換,因此在特定情形下的求解是合理的,最為常見的是動點到定直線或動點到定點的距離問題,條件互換后的距離依然不變.

        例3如圖2所示,△ABC為等邊三角形,且三角形的邊長為2,其頂點A在坐標的x軸上運動,頂點B在y軸上運動,設(shè)點C到坐標原點O的距離為d,試求距離d的最值.

        分析:因為點A和B分別為x軸和y軸上的動點,則導(dǎo)致三角形的另一頂點C也必然會相應(yīng)的運動,距離d的取值會隨之變化.原始坐標軸靜止,幾何三角運動,直接求解的方式難以獲得距離d的最值,可以采用動靜互換的策略,假設(shè)△ABC為靜止不動,則根據(jù)運動的相對性,可視坐標軸運動,原點O的運動軌跡規(guī)則可循,可對其進行幾何等效,通過分析幾何距離求解.

        解:假設(shè)△ABC為靜止,坐標軸運動,已知∠AOB=90°,則點O可以視為是在以AB為直徑的圓上運動,問題就可以轉(zhuǎn)化為求點C到以AB為直徑的圓上點的距離最值,因此當直線CO經(jīng)過AB的中點時可以分別取得最大和最小值.分析可知只有當△AOB是以AB為斜邊的等腰直角三角形時d可以取得最值.當O運動到AB的左下側(cè)位于點O的最遠端,此時d取得最大值;運動到AB的右上側(cè)位于點O的近端,此時d取得最小值

        數(shù)學上的條件動靜互換是相對意義上的互換,用以研究問題的核心要素,而忽略了某些細枝末節(jié)問題,因此在互換時需對其進行評估,確保條件互換不會對問題本質(zhì)造成影響.另外這種互換是一種整體互換,因此解題時需要對問題中的條件進行動靜歸類,然后進行全盤互換,確保求解準確.

        四、動靜結(jié)合,釋解幾何

        物體的動與靜之間存在著相互制約的關(guān)系,這種關(guān)系可以合理用于數(shù)學解題,利用動靜條件之間的互為補充、相互完善的特性來全方位的研究問題對象.在解題時要靈活處理條件“動”與“靜”的關(guān)系,充分降低問題的思維難度,高效解題.

        例4圖3所示的為一棱長等于2的正方體ABCD-A1B1C1D1,已知E為棱長BC的中點,點P在線段D1E之上,設(shè)點P到棱CC1的距離為d,試求d的最小值及此時點P的坐標.

        分析:求解立體幾何的最值問題,可以采用動靜結(jié)合的方法,即首先需要建立空間坐標,確定相關(guān)點和向量的坐標值,實現(xiàn)條件的靜態(tài)化.求距離d的最值,可以先將點P看成定點,然后在棱長CC1上取一動點Q,從而建立線段|PQ|的參數(shù)方程,求出其最小值的函數(shù),然后將點P看作是動點,進一步研究函數(shù)的最值,最終確定|PQ|的最小值.

        解:以點D為坐標原點建立空間坐標系,如圖4所示,因為點P在線段D1E之上,則一定存在λ(λ∈[0,1]),使得向量=λ(1,2,-2),進而可得點P的空間坐標為(1-λ,2-2λ,2λ).在棱CC1上取一點Q,設(shè)其坐標為(0,2,z),則d的最小值就為點P和Q之間距離的最小值,將λ視為常數(shù),則點P為定點,而Q為動點,P和Q之間距離的平方|PQ|2=(1-λ)2+4λ2+(2λ-z)2,z∈R,當z=2λ時,|PQ|2取得最小值,則然后使點P運動,即λ變化,設(shè)可知當時,y取得最小值,將λ代入點P和Q的坐標,得因此距離d的最小值為此時點P的坐標為

        動靜結(jié)合是數(shù)學解題較為常用的方式,可以利用條件的互補性來分析問題,立體幾何上的動靜結(jié)合則可以將動態(tài)的問題局部靜態(tài)化,通過逐步分析來求解,是降低思維難度的有效方式.需要注意的是在進行局部靜態(tài)化時要設(shè)定靜態(tài)參數(shù),但后續(xù)還需要對靜態(tài)參數(shù)進行動態(tài)研究,確保結(jié)果的全面性和準確性.

        從嚴格意義上說,動靜變換策略是解題的一種思想方法,是思維層面的解題思想,可以降低思維的難度,指導(dǎo)問題的分析過程,是解題的輔助方法,因此在實際解題中要結(jié)合基礎(chǔ)方法綜合使用.另外在使用動靜變換法時要掌握一定的策略,首先對問題進行動靜分析、評估,然后基于動靜原則對條件進行變換,完成求解.

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