☉江蘇省天一中學 潘 干

在近幾年的高考題與模擬題中，經常會碰到求解三角形面積的最值或取值范圍問題.此類問題的前景往往活潑多樣，而且解答難度較大，解決問題的思維方式多變，解決方法有時也多樣.下面結合一道三角形面積的最值問題來加以實例剖析，結合多維角度切入，達到殊途同歸，多點開花.

例題在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則△ABC面積的最大值為______.

分析：本題給出三角形相關邊與角的關系的兩個關系式，根據射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，接下來解決問題的關鍵是找到三角形面積公式中所需要的一個角的正弦值或是對應的底邊與高線之間的關系，可以借助余弦定理來轉化，可以借助平面直角坐標系來處理，還可以借助海倫公式來巧妙解決，不同的切入點都要巧妙代入三角形的面積公式，綜合利用二次函數的圖像與性質、利用基本不等式、利用不等式的性質等來確定對應的最值即可，進而達到求解問題的目的.根據射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，通過余弦定理得到cosC的值，結合同角三角函數基本關系式求得sinC的關系式，代入三角形的面積公式，通過二次函數的圖像與性質來確定三角形面積的最大值即可.

解法1：根據射影定理得c=acosB+bcosA.

根據射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，通過余弦定理得到cosA的值，結合同角三角函數基本關系式求得sinA的關系式，代入三角形的面積公式，通過二次函數的圖像與性質來確定三角形面積的最大值即可.

解法2：根據射影定理得c=acosB+bcosA.

根據射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，通過構造圖形，利用三角形邊與角之間的關系得到cosB的值，結合同角三角函數基本關系式求得sinB的關系式，代入三角形的面積公式，通過二次函數的圖像與性質來確定三角形面積的最大值即可.

解法3：根據射影定理得c=acosB+bcosA.

如圖1，過A作AD⊥BC交BC于點D，可得|AD|=sinB，

根據射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，結合c=1為定值，要求三角形面積的最大值，只需求出對應的高的最大值即可，而通過建立平面直角坐標系，根據距離公式建立關系式，得到頂點C的軌跡方程為對應的圓的方程，那么點C取得離x軸距離最遠的點，即高為對應的半徑，則可得到三角形面積的最大值.

解法4：根據射影定理得c=acosB+bcosA.

以AB邊所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則

由a=2b可得a2=4b2，即整理可得

根據射影定理與正弦定理得到c=1與a=2b，通過半周長的求解，結合海倫公式得到對應的三角形面積的關系式，利用含參數b的表達式的變形，利用基本不等式來確定三角形面積的最大值即可.

解法5：根據射影定理得c=acosB+bcosA.

總結：涉及三角形的面積的最值問題，解決問題的總體思維是通過代數運算，將幾何模型代數化，利用正弦定理、余弦定理、三角相關公式等來轉化與解題，利用二次函數的圖像與性質、基本不等式、三角函數的圖像與性質、不等式的基本性質等來確定最值.解決此類問題時還要注意的是，在利用二次函數的圖像與性質、基本不等式、三角函數的圖像與性質、不等式的基本性質等確定最值時，一定要考慮等號成立的條件.如果不等式多次放縮，那么等號成立的條件要同時成立，不要忽視.

通過從多個不同角度來處理，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生所言：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”