【摘要】筆者把變構(gòu)模型理論應(yīng)用到教學(xué)中去，對(duì)概率密度函數(shù)的教學(xué)問題進(jìn)行了有益的探索.借助于學(xué)生的先擁概念提出了一種新穎的概率密度函數(shù)的教學(xué)導(dǎo)入方式，分析了概率密度函數(shù)的說明功能和應(yīng)用功能，結(jié)合統(tǒng)計(jì)方法揭示了概率密度函數(shù)的本質(zhì)屬性.

【關(guān)鍵詞】變構(gòu)模型；概率密度函數(shù)；統(tǒng)計(jì)；直方圖

【基金項(xiàng)目】山東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題資助項(xiàng)目（YBS15002）.

一、引言

概率密度函數(shù)是概率論課程中的一個(gè)重要的概念，它在科學(xué)和工程的許多領(lǐng)域中都扮演了非常重要的角色，是我們研究連續(xù)型隨機(jī)系統(tǒng)及解決相關(guān)問題的必要工具，是廣大的工程技術(shù)人員和教育工作者感興趣的研究課題，許多文獻(xiàn)中都有相關(guān)的論述和結(jié)論[1-5].

數(shù)學(xué)是對(duì)客觀世界的反映，它當(dāng)然應(yīng)該為社會(huì)實(shí)踐服務(wù).許多科技工作者把概率密度函數(shù)與他們的專業(yè)背景結(jié)合起來，得到了許多重要成果.文獻(xiàn)[6]研究了一種面向非線性隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的概率密度函數(shù)形狀控制方法.利用Fokker-Planck-Kolmogorov方程，導(dǎo)出了概率密度函數(shù)指數(shù)部分的泰勒展開式系數(shù)與系統(tǒng)控制增益之間的關(guān)系，并將相應(yīng)的控制問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性跟蹤優(yōu)化問題，針對(duì)該優(yōu)化問題提出了相應(yīng)的粒子群優(yōu)化算法，得出了最優(yōu)控制增益.文獻(xiàn)[7]研究了巖土參數(shù)的概率密度函數(shù)在巖土工程可靠性分析中的應(yīng)用問題，根據(jù)試驗(yàn)樣本矩利用數(shù)值逼近方法和勒讓德正交多項(xiàng)式來擬合巖土隨機(jī)參數(shù)的概率密度函數(shù)，并根據(jù)有限比較法確定了其中的最佳分布概型，所得到的逼近表達(dá)式有很好的擬合性，數(shù)值計(jì)算方法可行，能夠滿足巖土工程可靠性分析的要求.

教育擔(dān)負(fù)著為社會(huì)培養(yǎng)人才的重任，落實(shí)到每門課程的教學(xué)都責(zé)任重大，教學(xué)質(zhì)量直接關(guān)乎能否培養(yǎng)出高水平的人才.因此，廣大的教育工作者進(jìn)行教育教學(xué)研究的熱情也十分高漲.概率密度函數(shù)是概率論教學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，近些年來涌現(xiàn)出許多的教育教學(xué)研究成果.文獻(xiàn)[8]探究了利用牛頓元素法求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的方法問題，所提出的方法不僅與求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布的計(jì)算方法相類似，而且新方法更加直觀簡(jiǎn)便，特別是在求解復(fù)雜的隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)時(shí)，此方法顯得更加優(yōu)越.文獻(xiàn)[9]探討了利用正態(tài)分布逼近統(tǒng)計(jì)量分布時(shí)的最小自由度的估計(jì)問題，研究了采用等距抽樣和簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣兩種不同抽樣方式下，當(dāng)自由度不同情況時(shí)抽樣分布與其漸近正態(tài)分布在分布函數(shù)上的絕對(duì)偏差.建立了均方絕對(duì)偏差與抽樣分布自由度之間的非線性回歸方程，并借助統(tǒng)計(jì)圖形分析，提出了滿足偏差精度要求的運(yùn)用正態(tài)分布近似計(jì)算的最小自由度的估計(jì)方法.但是，目前關(guān)于概率密度函數(shù)的教學(xué)普遍還是采用傳輸式模式進(jìn)行的，基本是按照教材進(jìn)行直接傳授，結(jié)果是學(xué)生難以真正透徹地理解其由來、含義及功用等一系列問題.雖然一般性的問題學(xué)生能夠解決，但那也只是在初步理解基礎(chǔ)上的一種模仿，難以吃透，也談不上借助于教與學(xué)提高素質(zhì)發(fā)展能力.筆者把變構(gòu)模型理論引入到概率密度函數(shù)的教學(xué)中去，效果良好.所謂變構(gòu)模型[10]，概括地說，就是知識(shí)的學(xué)習(xí)以及能力與素質(zhì)的提升需要學(xué)生利用其先擁綜合構(gòu)架提供的知識(shí)儲(chǔ)備、思維模式和評(píng)判體系，并借助于這一知識(shí)和思維的多維框架，在適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)境脈和教師的教學(xué)干預(yù)中對(duì)所研究對(duì)象進(jìn)行反復(fù)煉制，啟動(dòng)和調(diào)用先擁工具及關(guān)聯(lián)，對(duì)不同信息進(jìn)行研究和解碼，然后對(duì)其進(jìn)行重塑的過程.這是一個(gè)解構(gòu)和重新建構(gòu)的過程，通常這兩個(gè)過程并不是涇渭分明的，而是協(xié)同并行的，是對(duì)立統(tǒng)一的.在這個(gè)過程中，學(xué)生的概念體系和心智結(jié)構(gòu)都會(huì)發(fā)生改變，新知識(shí)、新思維與操作模式也就建立起來了.基于變構(gòu)模型理論，針對(duì)概率密度函數(shù)教學(xué)，我們從離散型隨機(jī)變量的分布律入手，導(dǎo)出問題，層層分析，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用相關(guān)知識(shí)及關(guān)聯(lián)并進(jìn)行適當(dāng)教學(xué)干預(yù)，對(duì)問題進(jìn)行解構(gòu)并重新建構(gòu)，從多個(gè)方面展開剖析，進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，從教學(xué)實(shí)踐來看效果是令人滿意的.

二、問題的導(dǎo)入

學(xué)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布問題，遵循認(rèn)知規(guī)律應(yīng)從離散型隨機(jī)變量的分布律講起.離散型隨機(jī)變量的分布律也稱為質(zhì)量分布函數(shù)，它揭示了隨機(jī)變量的取值的偏好問題，反映出了離散型隨機(jī)變量的基本信息.

先解析一個(gè)簡(jiǎn)單例子，假設(shè)隨機(jī)變量X的分布律見下表.

X012

P0.20.10.7

我們來簡(jiǎn)單分析一下它所包含的信息.上述隨機(jī)變量的分布律告訴我們：這個(gè)隨機(jī)變量的取值不是均勻分布的，而是有所偏重、有所偏好的，如果進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，那么，隨機(jī)變量X取值為2的比重大約為七成，取值為0的比重大約為兩成，取值為1的比重大約為一成.離散型隨機(jī)變量的分布律非常直觀地告訴我們隨機(jī)變量取值的偏好.但對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量來說，因?yàn)槠淙≈禐闊o窮不可數(shù)集，不能機(jī)械照搬離散型隨機(jī)變量的質(zhì)量分布函數(shù)，這種情況下就要調(diào)用先擁知識(shí)，對(duì)問題進(jìn)行解構(gòu).兩種隨機(jī)變量的取值情況不同，但都具有隨機(jī)特征、取值偏好特征等等，因此，從拓?fù)湟饬x上來說，它們是有共性的，可是，我們又難以用離散數(shù)值來研究連續(xù)型隨機(jī)變量，考慮到與質(zhì)量分布函數(shù)密切相關(guān)的分布函數(shù)，猜想能否引入一種連續(xù)函數(shù)來幫助研究連續(xù)型隨機(jī)變量呢？把這些情況擺清楚，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生解決問題的渴望，教師再給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)、講解、干預(yù)和思維激勵(lì)，就可使學(xué)生把新知識(shí)融入先擁知識(shí)的框架中去.一方面，可以讀透教材并進(jìn)行深入的探索，另一方面，他們的能力和素質(zhì)又可以得到良好的發(fā)展.

要研究連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，當(dāng)然要從與概率有關(guān)的問題入手，自然會(huì)聯(lián)想到隨機(jī)變量的分布函數(shù).

我們知道離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在其可導(dǎo)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，由隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)知，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)該為一非負(fù)函數(shù).假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），并存在非負(fù)可積函數(shù)f（x）使得F′（x）=f（x），同時(shí)假設(shè)廣義積分

∫+∞-∞f（t）dt

收斂.這種假設(shè)并不苛刻，所對(duì)應(yīng)的實(shí)際背景在生產(chǎn)實(shí)踐中隨處可見.上述假設(shè)告訴我們F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，而變上限積分∫xaf（t）dt也是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，其中a是一個(gè)常數(shù)，則存在常數(shù)C使得endprint

F（x）=∫xaf（t）dt+C，（1）

由 limx→-∞F（x）=0，可得C=∫a-∞f（t）dt，于是，有

F（x）=∫x-∞f（t）dt.（2）

符合上述規(guī)律的隨機(jī)變量就是連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f（x）叫作連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù).

這樣導(dǎo)入連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及其概率密度函數(shù)就自然一些，與直接給出連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)的定義相比，這樣處理教學(xué)效果好得多.當(dāng)然，這樣并不能解決學(xué)生的所有疑惑，需要反復(fù)探索研究和知識(shí)煉制.在學(xué)習(xí)了連續(xù)型隨機(jī)變量的定義之后，再來進(jìn)一步研究其概率密度函數(shù)的性質(zhì)，解釋其重要功能，使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解.

三、概率密度函數(shù)的重要功能

下面將分析概率密度函數(shù)的說明功能和應(yīng)用功能，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解構(gòu)和重新建構(gòu)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行反復(fù)煉制.

由P{a

P{a

由式（2）及分布函數(shù)的定義容易得到

P{X>a}=∫+∞af（t）dt.（4）

上述幾個(gè)式子告訴我們：連續(xù)型隨機(jī)變量X落入某區(qū)間的概率等于其概率密度函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的積分，同時(shí)，f（x）還揭示了隨機(jī)變量取值的偏好，關(guān)于這個(gè)問題到后面再予以進(jìn)一步解釋.計(jì)算隨機(jī)變量落入某區(qū)間的概率以及說明隨機(jī)變量取值的偏好是隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的兩個(gè)重要功用.

易見概率密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：

① f（x）≥0；

② ∫+∞-∞f（t）dt=1；

③ 連續(xù)型隨機(jī)變量X任取一定值a的概率為零，因?yàn)?/p>

P{X=a}=limΔx→0+P{a-Δx

=limΔx→0+∫aa-Δxf（x）dx=0；

④ 若f（x）在x處連續(xù)，則有F′（x）=f（x），

事實(shí)上，由導(dǎo)數(shù)的定義知

f（x）=limΔx→0+F（x+Δx）-F（x）Δx

=limΔx→0+P{x

四、統(tǒng)計(jì)解釋

運(yùn)用元認(rèn)知對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握進(jìn)行評(píng)估，通過上述分析，學(xué)生對(duì)于其概率密度函數(shù)有了一定程度的理解，但對(duì)于其本質(zhì)屬性可能依然不會(huì)有太深刻的理解，仍舊需要進(jìn)一步深入探討，下面再從統(tǒng)計(jì)角度予以解釋.

上述解釋依然不夠直觀，概率密度函數(shù)到底是怎樣描述隨機(jī)變量的分布狀況的，學(xué)生仍然會(huì)對(duì)這類問題及相關(guān)問題存疑，這時(shí)教師還要進(jìn)一步干預(yù)和引導(dǎo).下面利用直方圖予以進(jìn)一步講解，使學(xué)生更加透徹地理解概率密度函數(shù).

研究某連續(xù)型隨機(jī)變量X，采集統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，找出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的最大值和最小值，并以比最小值略小的值作為左端點(diǎn)，以比最大值略大的值作為右端點(diǎn)做區(qū)間，然后將此區(qū)間等分，假設(shè)分成了n個(gè)小區(qū)間，記小區(qū)間的長度為Δ，數(shù)出落入每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)fi，然后自左到右依次在每個(gè)小區(qū)間上以finΔ為高作小矩形，這樣的圖形即所謂的頻率直方圖，這種小矩形的面積就是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)落在該小區(qū)間上的頻率，當(dāng)n很大時(shí)，頻率約等于概率.這種直方圖的輪廓線接近于概率密度曲線.

看到這種直觀解釋，學(xué)生才能對(duì)其概率密度函數(shù)有一個(gè)比較深刻的理解.

五、結(jié)論與認(rèn)識(shí)

把變構(gòu)模型理論運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐中去，對(duì)概率密度函數(shù)的教學(xué)問題進(jìn)行了深入的探索.從離散型隨機(jī)變量的分布律出發(fā)，借助于學(xué)生的有關(guān)微積分的先擁知識(shí)提出了一種新的概率密度函數(shù)的教學(xué)導(dǎo)入方式，通過分析概率密度函數(shù)的說明功能和應(yīng)用功能，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解構(gòu)和重新建構(gòu)，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行反復(fù)煉制，運(yùn)用元認(rèn)知并結(jié)合統(tǒng)計(jì)方法揭示了概率密度函數(shù)的本質(zhì)屬性.

在概率論課程的教學(xué)中，概率密度函數(shù)是教學(xué)重點(diǎn)也是難點(diǎn)問題，采用直接傳授模式等傳統(tǒng)方法進(jìn)行教學(xué)，效果不盡如人意.而把變構(gòu)模型理論應(yīng)用到概率密度函數(shù)教學(xué)中去，引導(dǎo)學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)問題，實(shí)施恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)干預(yù)，幫助學(xué)生進(jìn)行解構(gòu)和建構(gòu)，從認(rèn)知、意向、情緒、元認(rèn)知、潛層認(rèn)知和感知等多個(gè)維度幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)煉制，進(jìn)而達(dá)到其概念的轉(zhuǎn)化，從教學(xué)實(shí)踐來看其效果是良好的.同時(shí)，這種方法具有較大的推廣價(jià)值，對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有較大的現(xiàn)實(shí)意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳平.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

[2]Lingzhi Wang，F(xiàn)ucai Qian，Jun Liu.Shape control on probability density function in stochastic systems[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2014（1）：144-149.

[3]Huabin Ruan，Xiaomeng Huang，Haohuan Fu，Guangwen Yang.A fully pipelined probability density function engine for Gaussian copula model[J].Tsinghua Science and Technology，2014（2）：195-202.

[4]Proppe Carsten.Exact stationary probability density functions for non-linear systems under poisson white noise excitation[J].s.n.，2003（4）：557-564.

[5]王以忠，張化光.一類非線性隨機(jī)區(qū)間系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性分析與綜合[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（3）：252-255.

[6]楊恒占，錢富才，高嵩，江濤.一類隨機(jī)系統(tǒng)的概率密度函數(shù)形狀控制[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2016（9）：2424-2431.

[7]宮鳳強(qiáng)，李夕兵，鄧建，朱純海.巖土參數(shù)概率密度函數(shù)的正交多項(xiàng)式推斷[J].地下空間與工程學(xué)報(bào)，2006（1）：108-111，119.

[8]朱慧敏.運(yùn)用Newton微元法求解概率密度函數(shù)[J].復(fù)旦學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（1）：65-70.

[9]呂書龍，劉文麗.抽樣分布漸近正態(tài)近似計(jì)算中最小自由度的估計(jì)與教學(xué)思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017（3）：81-88.

[10]焦?fàn)柈?dāng)，裴新寧.變構(gòu)模型：學(xué)習(xí)研究的新路徑[M].杭零，譯.北京：教育科學(xué)出版社，2010.